1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 1.2.1几个常见函数的导数几个常见函数的导数 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率. 课前导入 导数的几何意义 00 ()() ; f xxf xy xx 0 lim. x y y x （1）求增量 （2）算比值 （3）求极限 课前导入 求函数的导数的方法 我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线
2、的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 课前导入 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数. 导数的计算 常见函数导数 基本初等函数的 导数公式 导数运算法则 课前导入 本节知识结构 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 知识要点 1.函数y=f(x)=c的导数. 新知探究 0 lim. x y =f(x)=C, y =f(x)=C, y y y =f(x+y =f(x+ x)-f(x)=C-C,=0 x)-f(x)=C-C,=0 x x y y f (x)=C=0f (x)=C=0
3、 x x 证明: 新知探究 你能想到什么呢？ 概念理解 0 若 y=c（如图）表示路程关于时间的函数，则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一 直处于静止状态. 新知探究 公式1: C =0(CC =0(C为为常常数数) ) 知识拓展 新知探究 2. 函数y=f(x)=x的导数 00 limlim1 1 1 xx 证证明明： yf(x+yf(x+ x)-f(x)x)-f(x) = x x x x y y y y x x 概念理解 若 y=x（如图1.22）表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀 速直线运动. 新知探究 探究 2 ,3 ,4yx yx yx 在
4、同一直角坐标系中，画出函数 的图像，并根据导数定义，求它们 的导数. 新知探究 0 20 40 60 80 100 1 2 3 4 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 x y=2x y=3x y=4x （1）从图像上看，它们的导数分别表示什么？ 2 ,3 ,4yx yx yx 从图像上看，函数 的导数分别表示这些直线的斜率. 新知探究 （2）这三个函数中，哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？ 在这三个函数中，y=4x增加的最快，y=3x增加的最慢. （3） 函数y=kx(k0)增（减）的快慢与什么有关？ 解：函数增加的快慢与k有关系，
5、即与函数的导数有关系，k越大，增加的越快，反之，越慢. 3. 函数y=f(x)= 的导数 2 x 00 limlim xx 2222 222222 证证明明： yf(x+yf(x+ x)-f(x)(x+x)-f(x)(x+ x) - xx) - x = x x x x x x x +2xx +2x x+(x+( x) - xx) - x = = x x =2x+=2x+ x x y y y(2x+y(2x+ x)=2x.x)=2x. x x 新知探究 概念理解 0 5 10 15 20 25 30 1234567891011 系列2 若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速速度，
6、它在 时刻x的瞬时速度为2x. 2 yx 2yx 新知探究 4. 函数y=f(x)= 的导数 1 1 x x 证 2 2 2222 xx00 xx0 0 明明： yf(x+yf(x+x)-f(x)x-(x)-f(x)x-(x)x) = xxxx(x+xx(x+x)x)x x 1 1 = -= - x +xx +xx x y11y11 y =lim=lim(-)= -y =lim=lim(-)= - xx +xxx +xxxxx 新知探究 1 1 画画出出函函数数y =y =的的图图像像， x x 根根据据图图像像，描描述述它它的的变变化化情情 况况，并并求求出出曲曲线线在在点点（1 1，1 1
7、） 处处的的 切切线线方方程程. . 探究 新知探究 结合函数图像及其导数 发现， 当x0时，函数减少的越来 越慢. 2 1 y x 1 y x 新知探究 x=1x=1 点点（1 1，1 1）处处的的切切线线 的的斜斜率率就就是是y |=-1,y |=-1, 故故斜斜率率为为-1-1，过过点点 (1,1)(1,1)的的切切线线方方程程 y =-x+2.y =-x+2. 新知探究 5. 函数y=f(x)= 的导数 x x x0 0 x x0 0 证证明明： yf(x+yf(x+ x)-f(x)x+x)-f(x)x+ x -xx -x = x x x x x x 1 1 = = x+x+ x +x
8、x +x y11y11 y = lim= lim=y = lim= lim= x xx+x+ x +x2 xx +x2 x 知识拓展 公式2: . )()( 1 Qnnxx nn 请注意公式中的条件是 ,但根据我们所掌握的知识,只能就 的情况加以证 明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. nQ * nN 新知探究 例1 3 (1) (x ) 2 (2) 3x 3 2 1 (x ) = 3x 解解： （ ） 2 (2) 3x ) = 6x（ 新知探究 . 3 1 f(x)f(x) =x +2x+1 2 f (-1) 是是的的导导函函数数， 则则的的值值是是 3 课堂练习 1
9、1 , 1 11 . yx x y yx 解： 联立方程组解得 故交点为（， ） 求双曲线 与抛物线 交点处切线的夹角. 1 y x yx 2 11 1 11 , 1 |1,(1,1) 1; x yy xx kyy x k 双曲线 故双曲线在交点 处的 切线斜率为 1 2 11 2 1 , 2 1 |,(1,1) 2 1 ; 2 x yx yx kyyx k 抛物线 故抛物线在交点 处的切线斜率为 课堂练习 12 1 2 1 1 2 tan| | 3. 1 1 1 ( 1) 2 kk k k arctan3.夹角 由夹角公式： 0 |, () 0,1 lim1; x yx yxxx xyx x
10、x y x 当时则 解： 利用导数的定义求函数y=|x|（x0）的导数. 课堂练习 0 0 ()() ,1, lim1; x x yxxx yx xx y x 当时 10 . 10 x y x 1.根据定义求常用函数 的导数. 2 1 ,yc yx yxy x 课堂小结 2. 根据定义求导数的具体步骤 （1）计算 ，并化简. y x （2）观察当x趋近于0时， 趋近于哪个定值. y x （3） 趋近于的定值就是函数f=f(x)的函数. y x 3. 认识导数不同方面的意义，建立不同意义方面的联系，能够在不同意义间进行转换. 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2