1、讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2 求函数的导数的方法是: 0000 f(x +f(x + x)-f(x )x)-f(x ) y y =;=; x x x x x x0 0 y y y = lim.y = lim. x x （1）求增量 （2）算比值 （3）求极限 课前导入 0 )()( 0 xx xfxf 知识要点 课
2、前导入 2 1)( ), 2)( ), 3)( ), 1 4)( ), yf xc yf xx yf xx yf x x 1y ； 2yx； 2 1 .y x 0y ； 由上节课的内容可知函数y=x2的导数为y=2x，那么，于一般的二次函数y=ax2+bx+c，它的导数 又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则. 课前导入 又如我们知道函数y=1/x2的导数是 =-2/x3，那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢? y 学习了这节课，就可 以解决这些问题了！ 为了方便，今后我们可以直接使用下面的初等函数的导数公式表： 新知探究 ;xf, cxf. 0 01 1则则若若 ;nxx
3、f,Nnxxf. nn1 1 2 2 则则若若 ;xcosxf, xsinxf. 则则若若3 3 ;xsinxf, xcosxf. 则则若若4 4 ;alnaxf,axf. xx 则则若若5 5 基本初等函数的导数公式 ;exf,exf. xx 则则若若6 6 ; alnx xf, xlogxf. a 1 1 7 7则则若若 . x xf, xlnxf. 1 1 8 8则则若若 例1 假设某国家在20年期间的年通货膨胀率为5，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有函数关 系 ，其中 为t=0时的物价.假定某商品的 那么在第10个年头，这 种商品的价格上涨的速度的大约是多少（精确到0.01）？
4、 0 1 5% t p tp 0 p 0 1p 新知探究 1.05 ln1.05. t p t ./.ln.p, 年元所以08080 005051 105051 11010 1010 解：根据基本初等函数的导数公式表，有 因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 如果上式中的某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ 0 5p 新知探究 当 时， ，这时，求P关于t的导数可以看 成函数f(t)=5与g(t)= 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”可以帮助 我们解决两个函数加减乘除的求导问题. 0 5p 5 1.05tp t 1.05t 若u
5、=u(x)，v=v(x)在x可导，则处 根据导数的定义，可以推出可导函数四则运算的求导法则 1.和(或差)的导数 法则1 两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即 (uv)uv 新知探究 1.和(或差)的导数 (uv)uv )()()(xvxuxfy证明： )()()()(xvxxvxuxxu vu x v x u x y x v x u x v x u x y xxxx 0000 limlimlimlim )()( xvxu 新知探究 例2 2 3cosxx y 求y= + sin x的导数. 3 3 x x 解：由导数的基本公式得： 新知探究 例3 3 421xx
6、y 解：由导数的基本公式得： 求 的导数. 42 y = x -x -x+3 新知探究 2.积的导数 法则2 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函 数的导数,即 请同学们自己证明 f xg x= fx g x +f x g x 新知探究 uCCu ) ( :推论 知识拓展 新知探究 22 y = 2x -3x +5x-4？求求的的导导数数 例4 4655yxxx 解：由导数的基本公式得： 新知探究 例5 2 y =(2x +3)(3x-2)求求的的导导数数？ 2 22 3 (4 )(32)(23) 3 12869 1889 yxxx xxx xx 解：
7、由导数的基本公式得： 新知探究 3.商的导数 法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分 母的平方,即 0 0000 2 0 () ()()()f(x) | g(x) () x x fx g xf x g x g x 新知探究 2 x y = sinx 的的导导数数. . 例6 2 2 2 () sin(sin ) sin xxxx y x 解： 2 2 2 sincos sin xxxx x 新知探究 例7 2 x+3 y =x = 3 x +3 求求在在点点处处的的导导数数. . 2 22 1 (3)(3) 2 (3) xxx y x 解： 2
8、 22 63 (3) xx x 3 2 9 183241 | (93)1446 x y 新知探究 2 f xfx g xf x gx 3.g x0 . g x g x 导数的运算法则 1. f(x) g(x) =f(x) g(x) ; 2. f(x) .g(x) =f(x) g(x) f(x) g(x) ; 新知探究 如何求函数y=（x+2）的函数呢？ 我们无法用现有的方法求函数y=（x+2）的导数.下面，我们先分析这个函数的结构特点. 新知探究 若设u=x+2（x-2），则y=ln u.即y=（x+2）可以看成是由y=ln u和u=x+2（x-2）经 过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u
9、表示为自变量x的函数. 名词解释 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数 为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做y=f(g(x). 新知探究 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为 xux y= yu. 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. xux 13 y= yu= lnu3x+2=3 = u3x+2 问题解答 由此可得，y=(3x+2)对x的导数等于y= u对u的导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即 新知探究 例8 2 y = 2x+3求函数的导数. xux y
10、yu 2 23ux 4812.ux 解：函数 可以看作函数 和 的复合函数.由复合函数 求导法则有 2 23yx 3 yu23ux 新知探究 3 3 23 23 yxx xx 解 因为 2 32.x 1、 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数. 3 23yxx 课堂练习 0.051 1; 2sin,. x ye yx 其中均为常数 2、 求下列函数的导数 课堂练习 u-0.05x+1 = -0.05e = -0.05e. xux y= yu u = e-0.05x+1 （1）函数 可以看做函数 和 的复合函数.由复 合函数的求导法则有 -0.05x+1 y =e u y =
11、eu=-0.05x+1 2y = sin x+ y = sinuu = x+. 函数可以看作函数 和的复合函数由复 合函数求导法则有 .xcosucos x u x uyy xusin 课堂练习 1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与 导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数 . 课堂小结 2.导数的运算法则 2 f xfx g x -f x g x 3.=g x0 g x g x 1. f(x) g(x) =f(x) g(x) 2. f(x) .g(x) =f(x) g(x) f(x) g(x) 3.复合函数的复合过程 利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键. 讲解人： 时间：2020.6.1 PEOPLES EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第1章 导数及其应用 人 教 版 高 中 数 学 选 修 2 - 2