1、讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 1 - 2 2 . 2 . 2 反 证 法反 证 法 第2章 推理与证明 人 教 版 高 中 数 学 选 修 1 - 2 路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么? 课前导入 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 如果当时你在场，你
2、会怎么办？ 王戎是怎样知道李子是苦的呢?你认为他的判断方法正确吗？他运用了怎样的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦, 这与“多子”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李. 则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了, 课前导入 你能举出一个类似故事路边苦李中的推理的例子吗？ 动动脑 请大家结合路边苦李的故事及课本上的思考题，自己总结一下这些推理的共同点. 课前导入 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考.这种从“正 面难解决就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的间接解法中的一种反证法. 这些推理的共同点是： 进入我们今天学习的内容. 新知探究
3、【知识与能力】 1. 了解反证法的自身特点，从中体会反证法的思考过程和内涵. 2. 运用反证法解决数学问题. 教学目标 【过程与方法】 1. 通过丰富的实例，让学生合作探讨，从中体会反证法的思想. 2. 结合实例，让学生们归纳总结应用反证法解题的情形. 【情感态度与价值观】 培养学生的逆向思维，使思维发散，培养学生观察的能力、归纳总结的能力. 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 知识要点 在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知:
4、直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. l3 l1 l2 P 提示 根据反证法的定义做下面的题. 知识要点 这与“_ _”矛盾. 证明: 假设_,那么 _. 因为已知_, 所以 _ ,即求证的命题正确. 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, l3与l2 不相交. l3l2 l1l2 经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 假设不成立 假设 推理 矛盾 命题成立 l3 l1 l2 P 新知探究 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 知识要点 反证法的步骤 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出
5、与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“.”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立. 写出下列各结论的反面： （1）a/b； （2）a0； （3）b是正数； （4）ab ab a0 b是0或负数 a不垂直于b 练一练 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3 l1， 求证： l3l2 l1 l2 l3 练一练 提示 你会首先选择哪一种证明方法（直接证明还是反证法）？ 如果选择反证法，先怎样假设？ 假设l3l2，即l3与l2相交 下面我们用直接证明法和反证法来
6、分别证明. 问题解决的四个基本步骤： 理解题意 制定计划 执行计划 回顾 画出图形，写出已知求证 选择证明方法，找出证明思路 写出证明过程 比较两种证明方法的特点 练一练 下面我们用反证法来证明此题. 已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3 l1， 求证： l3l2 证明： 假设l3l2，即l3与l2相交，记交点为P 而l1l2,l3 l1 这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”相矛盾， 所以假设不成立即l3l2 l1 l2 l3 P 练一练 下面我们用直接证明法来证明此题. 已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1l2,l3 l1， 求证：
7、l3l2. 证明：作直线l交直线 l 1 于点P. l 1 l 2，l3 l1 （已知） 直线l必定与直线l2,l3相交 l3 l2 l1 l P 1 2 3 练一练 （在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条直线也相交） 1 = 2 =3(两直线平行，同位角相等) l 3 l2（同位角相等，两直线平行 ） l1 l2 l1 l P 2 3 归纳 请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点. 练一练 结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？ 思考 由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与
8、假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等. 新知探究 反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形. 知识要点 用反证法证题时,应注意的事项 : （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的. （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； 知识要点 （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以
9、“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等. 宜用反证法证明的题型 知识要点 1.反证法的概念： 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛 盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 课堂小结 2.反证法的一般步骤: (1)提出假设 (2)推理论证(3)得出矛盾 (4)结论成立 3. 反证法的关键： 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾
10、可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或 与定义、公理、定理、事实矛盾等. 4.反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形. 讲解人： 时间：2020.6.1 P E O P L E S E D U C A T I O N P R E S S H I G H S C H O O L M A T H E M A T I C S E L E C T I V E 1 - 2 感 谢 你 的 聆 听感 谢 你 的 聆 听 第2章 推理与证明 人 教 版 高 中 数 学 选 修 1 - 2