1、20202021 学年度第一学期期末教学质量检查学年度第一学期期末教学质量检查 九年级数学试卷九年级数学试卷 （考试时间：（考试时间：90 分钟，满分：分钟，满分：120分）分） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 如图是某几何体的三视图，这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 正方体 【答案】A 【解析】 【分析】 由俯视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由主视图确定具体形状 【详解】解：根据俯视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据主视图是三角形可判断出这个几何体应该是 三棱柱， 故选：A 【点睛】此题主要考查了由三视图
2、判断几何体，俯视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，主 视图为几边形就是几棱柱 2. 下列选项中，是关于 x一元二次方程的是（ ） A. 22 32xxx B. 2 0axbxc C. 2 230 xx D. 2 +5 = 3xy 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次 方程）进行判断即可 【详解】解：A. 22 32xxx整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意； B.当 a=0时，原方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C. 2 230 xx 一元二次方程，故本选项符合题意； D.2 +
3、5 = 3xy ，此方程是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：1.一元二次方程包括三点：是整式方程，只含有一 个未知数，所含未知数的项的最高次数是 2；2.一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a0） 3. 已知点 A，点 B 在反比例函数(0) k yk x 图象的同一支曲线上，则点 A，点 B 的坐标有可能是（ ） A. A（2，3） ，B（2，3） B. A（1，4） ，B（4，1） C. A（4，3） ，B（4，3） D. A（3，3） ，B（2，2） 【答案】B 【解析】 【分析】 在反比例函数图象的同一支上，一定满足同
4、一函数解析式且在同一象限 【详解】解：A. A（2，3） ，B（2，3）两点均在同一反比例函数图象上，但不在同一支上，故选项 A 不符合题意； B. A（1，4） ，B（4，1）两点均在同一反比例函数图象上，且在同一支上，故选项 B 符合题意； C. A（4，3） ，B（4，3）两点不在同一反比例函数图象上，故选项 C不符合题意； D. A（3，3） ，B（2，2）两点不在同一反比例函数图象上，故选项 D 不符合题意 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的特点，掌握两点在反比例函数图象的同一支曲线上的条件是解 答本题的关键 4. 判断一元二次方程 2 210 xx 的根的情况是（ ）
5、 A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用根的判别式判断即可 【详解】解：在 2 210 xx 中， 1,2,1abc ， 22 424 1 ( 1)80bacD =-=-创-=， 一元二次方程 2 210 xx 有两个不相等的实数根 故选：C 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式熟记公式是解题关键 5. 下列判定正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析
6、】 根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理分别进行分析，即可得到答案 【详解】解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故 A 错误； B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故 B 错误； C.四条边相等的四边形是菱形，故 C错误； D.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故 D 正确； 故选：D 【点睛】此题主要考查了特殊四边形的判定，关键是掌握菱形、矩形、平行四边形、正方形的判定定理 6. 布袋里有几百个乒乓球，想要估计球的数量，可以先从口袋中拿出一百个球，做上标记后放回布袋中混 合均匀，若再从中任意摸出 30 个球，统计发现有标记的球有 10个，则布袋中乒乓球数可能有（ ） A. 200 个
7、 B. 300 个 C. 400 个 D. 500 个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数，符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率， 本题求出标记的球的概率之后，可以用初始标记的球数 100除以概率就是乒乓球的总数目. 【详解】解：摸到标记的球的概率是： 101 303 P ， 则布袋中乒乓球数可能有 1001 3 =300， 故选 B. 【点睛】本题考查了用频率估计概率，再利用概率估计总体个数，理解掌握相关概念方法是解题关键. 7. 若32 0ab ab，则下列比例式中正确的是（ ） A. 3 2 a b B. 2 3 b a C. 23 ab
8、D. 32 ab 【答案】C 【解析】 【分析】 根据比例的基本性质直接判断即可. 【详解】由320ab ab，根据比例性质，两边同时除以 6，可得到 23 ab ，故选 C. 【点睛】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键. 8. 某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共 2256张，如果设这个班有 x个学生，则可列 方程（ ） A. (1) 2256 2 x x B. (1)2256x x C. 2 (1)2256x D. (1)2256x x 【答案】B 【解析】 【分析】 一名学生要送（x-1）张照片，x 名学生要送 x（x-1）张照片，便可列出方程 x（x-1）=22
9、56 【详解】每名学生都给其他同学赠送了一张照片，送出了（x-1）张， x名学生一共送出了 x（x-1）张照片，从而 x（x-1）=2256， 故选 B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键 9. 如图， 边长为 4的正方形 OABC 的两边在坐标轴上， 反比例函数 8 y x 的图象与正方形两边相交于点 D， E，点 D 是 BC的中点，过点 D作 DFOA 于点 F，交 OE 于点 G，则 ODG S（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可求得点 D的坐标以及点 E 的坐标， 接着求出直线 OE的解析式， 并求出
10、G 点的坐标， 可知 ODG S 1 2 DG OF，计算后即可得出最终结果 【详解】解：正方形 OABC的边长为 4， 点 D 的纵坐标为 4，点 E的横坐标为 4， 又点 D是 BC的中点， 点 D 的坐标为（2，4） ， 点 E 在反比例 8 y x 图像上， 代入点 E 的横坐标，得 E点的坐标为（4，2） ， 设直线 OE的方程为 OE lykx：，代入 E（4，2） ， 4k=2，解得 k= 1 2 ， 1 2 OE lyx：， 点 G 在直线 OE上，G（2，1） ， ODG S 1 2 DG OF= 1 4 12=3 2 故选：A 【点睛】本题考查反比例函数和几何的综合问题，涉
11、及坐标的求解，一次函数的求解，需要运用数形结合 思想解题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基础知识是解题的关键 10. 如图， 正方形 ABCD 中， BEEFFC， CG2GD， BG 分别交 AE， AF 于 M， N， 下列结论： AFBG； 4 3 BNNF； ABNCGNF SS 四边形 ； 3 8 BM MG ，其中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据正方形的性质可得,90ABBCCDABCC ，再根据线段的和差倍分可得BFCG， 然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BAFCBG ，最后根据角的和差、等量代换即可得；先 在Rt ABF中，根
12、据正切三角函数的定义可得 3 tan 2 AFB，再在Rt BFN中，利用正切三角函数的定 义即可得；先根据全等三角形的性质可得 ABFBCG SS VV ，从而可得 ABFBFNBCGBFN SSSS VVVV ，由 此即可得；设AHDGa，从而可得3 ,ABGHa BEa，再根据相似三角形的判定与性质可得 HOAH BEAB ，从而可得 8 , 33 aa HOGO，然后又根据相似三角形的判定与性质可得 3 8 BMBE GMGO 【详解】四边形 ABCD 是正方形， ,90ABBCCDABCC ， BEEFFCQ， 2 3 BFBC， 2CGGDQ， 22 33 CGCDBCBF， 在A
13、BF和BCG中， ABBC ABFC BFCG ， ()ABFBCG SASVV， BAFCBG ， 又90ABNCBGABC Q， 90ABNBAF， 90ANB，即AFBG，即结论正确； 在Rt ABF中， 3 tan 2 2 3 ABBC AFB BF BC ， 在Rt BFN中， 3 tan 2 BN AFB NF ， 则 3 2 BNNF，结论错误； 由上已证：ABFBCGVV， ABFBCG SS VV ， ABFBFNBCGBFN SSSS VVVV ， 即 ABNCGNF SS 四边形V ，结论正确； 如图，过点 G 作GHAB于点 H，交 AE于点 O，则四边形 ADGH是矩
14、形， ,GHAD AHDG， 设AHDGa，则2BFCGa， 1 3 , 2 ABADGHa BEBFa， ,90GHABABCQ， /GH BC， AHOABEVV， HOAH BEAB ，即 3 HOa aa ， 解得 3 a HO ， 8 3 a GOGHHO， 又/GH BCQ， BEMGOMVV， 3 8 8 3 BMBEa a MGGO ，则结论正确； 综上，结论正确的有， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是，通 过作辅助线，构造相似三角形是解题关键 二、填空题： （每小题二、填空题： （每小题 4 分，共分，共 28分
15、）分） 11. 在比例尺为 1：2000 的地图上，测得 A，B两地间的图上距离为 4.5 cm，则其实际距离为 _m 【答案】90 【解析】 【分析】 根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离 【详解】解：设 A，B 两地的实际距离为 x cm， 则，1：20004.5：x， 解得 x9000， 9000 cm90 m 故答案：90 【点睛】 本题考查了比例尺的定义要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离， 注意单位的换算 12. 一个暗箱里装有 10个黑球，8 个白球，6 个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到 白球的概率是_. 【答案】 1 3
16、 【解析】 分析】 让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率 【详解】 10个黑球， 8 个白球， 6个红球一共是 24个， 所以从中任意摸出一个球， 摸到白球的概率是 81 243 故答案为 1 3 【点睛】本题考查了统计与概率中概率的求法，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比 13. 方程( 2)3(2)x xx的解为 _ 【答案】 12 3,2xx 【解析】 【分析】 先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可得到答案 【详解】解：(2)3(2)x xx， (2)3(2)0 x xx， (2)3(2)0 x xx， (3)(2)0 xx， 12 3,2xx ； 故答案为
17、： 12 3,2xx 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程 14. 若反比例函数 1k y x 的图象经过第二、四象限，则 k的取值范围是_ 【答案】1k 【解析】 【分析】 根据反比例在二、四象限的条件列出不等式再求解即可 【详解】解：反比例函数 1k y x 的图象经过第二、四象限 k+10，解得：1k 故答案为：1k 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象掌握在反比例函数 k y x （k0）中，当 k0 时，反比例函数 图象在一、三象限；当 k0 时，反比例函数图象在二、四象限 15. 如图，矩形 ABCD的对角线相交于点 O，AOB60
18、，AC6，则矩形 ABCD的周长为 _ 【答案】6 6 3+ 【解析】 【分析】 由矩形对角线互相平分的性质得到 AO=OC，BO=OD，结合题意可证明COD是等边三角形，继而解得 CD 的长，再结合勾股定理解得 AD 的长，从而可解题 【详解】在矩形 ABCD中，AC6， AO=OC=BO=OD= 11 22 ACBD=3 AOB60 ， COD是等边三角形， 11 63 22 OCODCDAC 在RtACD中， 2222 633 3ADACCD 矩形 ABCD的周长为: 2 (3 3 3)6 6 3+， 故答案为：6 6 3 + 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
19、等知识，是重要考点，难度较易，掌 握相关知识是解题关键 16. 在矩形 ABCD中，ABC 沿 AC 折叠，点 B 的对应点是点 E，连接 DE，若 1 2 DE AC ，则 BC AB _ 【答案】 3 3 【解析】 【分析】 由矩形的性质和折叠的性质，得到 AD=CE，AE=CD，AC=CA，从而AECCDA，1=2，由等角对等 边得到 AF=CF，从而 DF=EF，再由两边对应成比例且夹角相等证出AFCDFE，根据相似三角形对应 边成比例得到 1 2 DFEFDE AFCFAC ， 设 FE=FD=x， 最后根据数量关系及勾股定理， 用 x 表示出 BC 与 AB， 便可求出其比值. 【
20、详解】记 AE与 CD的交点为 F， 在矩形 ABCD中，AB=DC，AD=BC，ADC=90 ， AEC是由ABC折叠得到， AE=AB，EC=BC， AE=DC，EC=DA， 又AC=CA， AECCDA（SSS） ， 1=2， CF=AF， AEAF=CDCF，即 FE=FD，从而 DFEF AFCF ， 又AFC=DFE， AFCDFE 1 2 DE AB ， 1 2 DFEF AFCF ， 设 FE=FD=x，则 CF=AF=2x，AB=DC=3x， 在 RtADF 中， 2 222 23ADAFDFxxx ，BC=AD= 3x， 33 33 BCx ABx . 【点睛】本题考查了矩
21、形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾 股定理等内容，综合性很强，解题的关键是熟练掌握相应的各个知识点。 17. 如图，四边形 ABCD是正方形，AB1，以 AB为对角线作第二个正方形 AEBF，以 EB为对角线作第三 个正方形 EGBH，以此类推，则第 n 个正方形的面积是_ 【答案】 1 1 2n 【解析】 【分析】 由正方形 ABCD的边长为 1，求出 12 22 AEAFAC ， 11 22 AHAB，分别算出第二个、第 三个正方形的面积，即可推导得出答案； 【详解】正方形 ABCD的边长为 1， 1AB ， 2AC ， 12 22 AEAFAC ，
22、11 22 AHAB， 1正方形 =1 ABCD SS， 2正方形 221 222 AEBF SS ， 3正方形 111 224 HEGB SS, ， 1 1 2 n n S 故答案是： 1 1 2n 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，准确分析计算是解题的关键 三、解答题（一） （每小题三、解答题（一） （每小题 6 分，共分，共 18分）分） 18. 已知菱形的两条对角线长分别为 y与 x，且菱形的面积为 10，请求出 y与 x 的函数关系式并计算当 x5 时，y 的值 【答案】 20 y x ；x=5 时，y=4 【解析】 【分析】 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出 y与 x的
23、函数关系式，再将x的值代入计算即可 【详解】解：由已知可得 1 10 2 xy 即 20 y x ， 把 x=5代入 20 y x ， 得 20 4 5 y 【点睛】本题考查菱形的面积计算，实际问题与反比例函数掌握菱形的面积计算方式是解题关键 19. 若 578 abc ，且3218abc，求243abc的值 【答案】28 【解析】 【分析】 根据比例的性质，可设比值为 k，用 k表示出 a，b，c，然后代入等式求出 k，从而得到 a，b，c，再代入代 数式进行计算即可得解 【详解】解：设 578 abc k ， 578akbkck， 3218abc， 3 52 7818kkk ， 解得2k
24、101416abc， 2432 104 143 1620564828abc 【点睛】 本题考查了比例的性质， 掌握比例的性质并利用“设 k法”表示出 a， b， c 进行求解是解题的关键 20. 小明想购买 70元的玩具汽车，他妈妈口袋里有四张面值分别为 10 元，20元，50 元，100元的纸币，若 从妈妈口袋里随机拿出两张纸币去购买玩具汽车，请你用列表或树状图的方法求出能买到玩具汽车的概率 是多少 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 先根据题意列表确定共有多少种结果数和满足要求的结果数，最后运用概率公式求解即可 【详解】解：依题意列表得： 一 二 10 20 50 100 10 （10，
25、20） （10，50） （10，100） 20 （20，10） （20，50） （20，100） 50 （50，10） （50，20） （50，100） 100 （100，10） （100，20） （100，50） 由上表可得，共有 12种结果，每种结果出现的可能性相同，能买到玩具汽车的有 8 种，概率为 2 3 【点睛】本题主要考查了运用列表法和概率公式求概率，通过列表确定共有多少种结果数和满足要求的结 果数成为解答本题的关键 四、解答题（二） （每小题四、解答题（二） （每小题 8 分，共分，共 24分）分） 21. 某果农在网上销售苹果，每天可销售 40 件，每件盈利 20 元，一段时间
26、的销售发现，若每件降价 1 元， 则每天可多售出 10 件，如果要想顾客得到实惠，且每天盈利 1400 元，每件应降价多少钱？这时他每天售出 苹果多少件 【答案】每件应降价 10 元，这时他每天售出 140件苹果 【解析】 【分析】 利用每件童装盈利 平均每天售出的件数=每天销售这种童装利润列出方程，解答即可 【详解】解，设每件应降价 x元，依题意可列方程： (20)(40 10 )1400 xx 即 2 16600 xx 解得： 12 6,10 xx 为了让顾客得到实惠，取10 x ， 则40 10 10140（件） 故每件应降价 10元，这时他每天售出 140 件苹果 【点睛】此题主要考查
27、了一元二次方程应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数每件盈利=每天 销售的利润是解题关键 22. 如图，身高 1.5 m 的小明（AB）在太阳光下的影子 AG 长 1.8 m，此时，立柱 CD的影子一部分落在地面 CE 上，一部分落在墙 EF上 （1）请你在墙上画出表示 CD 的部分影子 EH； （2）若量得 CE1.2 m，EH1.5 m，求立柱 CD的高 【答案】 （1）作图见解析； （2）2.5 m 【解析】 【分析】 （1）过 D点作 BG 的平行线，交 EF于 H 点，EH即为所求； （2）过点 E作 EM/BG，交 CD 于点 M，则四边形 DHEM 是平行四边形，再运用相似比
28、求解 CM 即可得出 结论 【详解】 （1）如图，线段 EH 为所求； （2）过点 E作 EM/BG，交 CD 于点 M， 则四边形 DHEM 是平行四边形，ABGCME， 即 DM=EH=1.5， ABAG CMCE ， 1.51.8 1.2CM 1CM 1 1.52.5CDCMDM （m） ， 故立柱 CD的高为 2.5 m 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握并运用基本性质是解题 关键 23. 如图，在 RtABC中，ACB90，AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，连接 CE，BF/CE交 DE的延长 线于点 F （1）求证：四边形 BCEF是平行四
29、边形； （2）当A满足什么条件时，四边形 BCEF是菱形？回答并证明你的结论 【答案】 （1）证明见解析； （2）30A ，证明见解析 【解析】 【分析】 （1）先根据垂直平分线和直角证得 DF/BC，再结合 BF/CE，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边 形即可证明； （2）根据有一组临边相等的平行四边形是菱形，所以需添加的条件能证明有一组临边相等据此作答 【详解】解： （1）证明：DF垂直平分 AC，90ACB， DF/BC， 又BF/CE， 四边形 BCEF 是平行四边形； （2）当30A 时，四边形 BCEF是菱形，理由是： DF垂直平分 AC，90ACB，30A ， EA=EC，
30、1903060 ， 230A ，即3903060 ， BCE是等边三角形， BC=EC， 由（1）得四边形 BCEF 是平行四边形， 四边形 BCEF 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定定理，平行四边形的判定定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质熟 练掌握判定定理，并能结合题意选择合适的定理证明是解题关键 五、解答题（三） （每小题五、解答题（三） （每小题 10 分，共分，共 20分）分） 24. 如图，一次函数 ykxb与反比例函数 m y x 的图象相交于 A（2，3） ，B（3，n）两点 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据所给条件，请直接写出不等式 m kxb x 的
31、解集； （3）在 x轴上是否存在一点 P，使得ABP的面积为 10，若存在，求出点 P的坐标，若不存在，请说明理 由 【答案】 （1）一次函数的解析式为 1yx ，反比例函数的解析式为 6 y x ； （2）30 x 或2x ； （3） 存在，P（3，0）或（-5，0） 【解析】 【分析】 （1）由一次函数 y=kx+b 与反比例函数 m y x 的图象相交于 A（2，3） ，B（- -3，n）两点，首先求得反比 例函数的解析式，则可求得 B 点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据图象，观察即可求得答案； （3）先求出直线 AB与 x轴的交点 C的坐标，然后设点 P
32、为（a，0） ，利用三角形的面积分别求出点 P的坐 标即可 【详解】解： （1）点 A（2，3）在反比例函数 m y x 图象上， 3 2 m ，得 m=6， 即 6 y x ； 把 B（- -3，n）代入 6 y x 得， 6 2 3 n ， B(- - 3，- -2)； 把 A（2，3） ，B（- -3，- -2）代入 y=kx+b中得 32 23 kb kb ， 解得： 1 1 k b ； 一次函数的解析式为 1yx ，反比例函数的解析式为 6 y x ； （2）根据题意，则 不等式 m kxb x 的解集是：30 x 或2x ； （3）存在点 P 使得10 ABP S，理由是： 设直线
33、 AB与 x轴交于点 C， 把 y=0代入 1yx 可得：x=- -1， 即 C（- -1，0） ； 设点 P坐标为( ,0) a ，则( 1)1PCaa 11 312110 22 ABPACPBCP SSSaa 解得：3a 或5a ； 因此，存在在点 P 使得10 ABP S，点 P 的坐标为（3，0）或（- -5，0） 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解 答 25. 如图，在ABC中，ABBC10，AC12，动点 D 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 A 移动，同时动点 E 从点 A开始在线段 AE上
34、以每秒 2个单位长度的速度向点 C 移动，当其中一个 点到达终点时，另一个点也随之停止，设点 D，E移动的时间为 t （1）用含 t的代数式表示：AD ，AE ； （2）当 DE/BC时，求 t的值； （3）当 t为何值时，ADE 为直角三角形 【答案】 （1）10-t；2t； （2） 15 4 t ； （3） 30 13 t 或 50 t 11 【解析】 【分析】 （1）根据点 D和点 E的运动方向和速度即可得到结果； （2）当 DE/BC时， ADAE ABAC ，列式计算即可； （3）过点 B作 BHAC于点 H，当 ADAE ABAH 时和当 ADAE AHAB 时，分类讨论即可； 【
35、详解】解： （1）由题意得：AD=AB-BD， AD= 10-t，AE=2t； （2）当 DE/BC时， ADAE ABAC ， 102 1012 tt ，解得 15 4 t 当 DE/BC时， 15 4 t s （3）如图，过点 B 作 BHAC于点 H， AB=BC， 11 126 22 AHAC， A=A， 当 ADAE ABAH 时，ADEABH，ADE为直角三角形， 102 106 tt ，解得 30 13 t ， 当 ADAE AHAB 时，ADEAHB，ADE 为直角三角形， 102 610 tt ，解得 50 t 11 综上所述，当 30 13 t s 或 50 t 11 s 时，ADE 为直角三角形 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，利用分 类讨论是解题的关键