1、22.1.4 二次函数 yax 2bx c 的图象和性质第 1 课时 二次函数 yax 2bx c 的图象和性质01 基础题知识点 1 二次函数 yax 2bxc 的图象和性质1(山西农业大学附中月考)若二次函数 yx 2bx5 配方后为 y(x2) 2k，则 b，k 的值分别为(D)A0，4 B0，1C4，5 D4，12(南充中考)抛物线 yx 24x3 的对称轴是(C)A直线 x1 B直线 x1C直线 x2 D直线 x23(怀化中考)二次函数 y3x 26x1 的开口方向、顶点坐标分别是 (A)A开口向上，顶点坐标为(1，4)B开口向下，顶点坐标为(1，4)C开口向上，顶点坐标为(1，4)
2、D开口向下，顶点坐标为(1，4)4(阳泉市平定县月考)抛物线 yx 22xm 22(m 是常数) 的顶点在(A)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5(天水中考)二次函数 yax 2bx1(a0)的图象经过点 (1，1)，则 ab1 的值是(D)A3 B1C2 D36(吕梁市孝义县期末)已知二次函数 yax 2bxc 的 x、y 的部分对应值如下表：x 1 0 1 2 3y 5 1 1 1 1则该二次函数图象的对称轴为(D)Ay 轴 B直线 x52C直线 x2 D直线 x327点 P1(1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数 yx 22xc 的图象上，则y
3、1，y 2，y 3 的大小关系是(C)Ay 3y2y1 By 3y1y2Cy 1y2y3 Dy 1y 2y38(广东中考)二次函数 yax 2bxc(a 0) 的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是(D)A函数有最小值B对称轴是直线 x12C当 x09(南通中考)已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴的公共点是(4，0)，(2 ，0)，则这条抛物线的对称轴是直线 x110(阳泉市平定县月考)已知抛物线 yx 23x4.先确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点，再在下面网格中画出抛物线解：yx 23x4(x )2 .32 254抛物线开口向上，对称轴为直线 x ，32顶点坐标为(
4、， )32 254画图如图所示知识点 2 二次函数 yax 2bxc 的图象变换11(山西中考)将抛物线 yx 24x4 先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到抛物线的表达式为(D)Ay(x1) 213 By(x5) 23Cy(x5) 213 Dy(x1) 2312(上海中考)如果将抛物线 yx 22x1 向上平移，使它经过点 A(0，3)，那么所得新抛物线的解析式是 yx 22x302 中档题13(牡丹江中考)若抛物线 yx 2bxc 经过点(2，3)，则 2c4b9 的值是(A)A5 B1 C4 D1814(山西农业大学附中月考) 若二次函数 y(m1)x 2mxm
5、22m3 的图象经过原点，则 m 的值为(C)A1 或 3 B1C3 D3 或 115(山西中考)抛物线 y2x 24x5 经过平移得到 y 2x2，平移方法是(D)A向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位D向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位16(眉山中考)若一次函数 y(a1)xa 的图象过第一、三、四象限，则二次函数yax 2ax(B)A有最大值 B有最大值a4 a4C有最小值 D有最小值a4 a417(阳泉市盂县期中)二次函数 yax 2bxc(a ，b，c 为常数，且 a0)中的
6、 x 与 y 的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 给出下列说法：抛物线与 y 轴的交点为(0， 6)；抛物线的对称轴在 y 轴的左侧；抛物线一定经过点(3，0)；在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大从表中可知，其中正确的个数为(B)A4 B3 C2 D118(辽阳中考)如图，抛物线 yx 22x3 与 y 轴交于点 C，点 D 的坐标为(0，1)，在第四象限抛物线上有一点 P.若PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，则点 P 的横坐标为(A)A1 B12 2C. 1 D1 或 12 2 2提示：令 x0，则 y3，点 C 的坐标为(0，3)点 D 的坐标为(
7、0，1)，线段 CD 中点的纵坐标为(13) 2.12PCD 是以 CD 为底边的等腰三角形，点 P 的纵坐标为2.x 22x32，解得 x11 ，x 21 ，2 2点 P 在第四象限，点 P 的横坐标为 1 .故选 A.219如图，抛物线 yax 25ax4a 与 x 轴相交于点 A、B ，且过点 C(5，4) (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式解：(1)把点 C(5，4)代入抛物线 yax 25ax4a，得 25a25a4a4，解得 a1.该二次函数的解析式为 yx 25x4.yx 25x
8、4(x )2 ，52 94顶点 P 的坐标为( ， )52 94(2)答案不唯一，如：先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度，得到的二次函数解析式为 y(x 3) 2 4(x )2 ，即 yx 2x2.52 94 12 7403 综合题20设二次函数 y1，y 2 的图象的顶点坐标分别为(a，b) ，(c，d)若 a2c，b2d，且开口方向相同，则称 y1 是 y2 的“反倍顶二次函数” (1)请写出二次函数 yx 2x1 的一个“反倍顶二次函数 ”；(2)已知关于 x 的二次函数 y1x 2nx 和二次函数 y22x 2nx1.若函数 y1 恰是 y2 的“反倍顶二次函数”
9、，求 n 的值解：(1)y 2x 2x1(x )2 ，顶点坐标为( ， )，12 34 12 34y 1 的顶点坐标为(1， )32又开口方向相同，二次函数 yx 2x1 的一个“反倍顶二次函数”可以是 y1(x1)2 .32(2)y 1x 2nx(x )2 ，y 22x 2nx12(x )2 ，n2 n24 n4 n2 88由题意，得 (2)( )，解得 n2.n24 n2 88第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式01 基础题知识点 1 利用“三点式”求二次函数解析式1已知二次函数 yx 2bx1 的图象经过点(1，3) ，则该二次函数的解析式为yx 2x12(河南中考)已知 A(0
10、，3)，B(2，3)是抛物线 yx 2 bxc 上两点，该抛物线的顶点坐标是(1，4) 3已知二次函数 yax 2bxc，当 x0 时，y1；当 x1 时，y6；当 x1 时，y0.求这个二次函数的解析式解：由题意，得 解得a b c 0，a b c 6，c 1， ) a 2，b 3，c 1. )这个二次函数的解析式为 y2x 23x1.4如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标解：(1)抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0) ，B(3，0)两点， 解得1 b c 0，9 3b c 0.) b 2，c
11、 3.)该抛物线的解析式是 yx 22x3.(2)yx 22x3(x1) 24，抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为(1，4) 知识点 2 利用“顶点式”求二次函数解析式5(上海中考)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为 (0，1)，那么这个二次函数的解析式可以是 y2x 21(答案不唯一) (只需写一个)6若二次函数 yax 2bxc 的 x 与 y 的部分对应值如下表：x 7 6 5 4 3 2y 27 13 3 3 5 3则此二次函数的解析式为 y2x 212x13.7已知抛物线的顶点坐标是(3，1) ，与 y 轴的交点是(0，4)，求这个二次函数的解析式解：抛物线的顶点坐标是(
12、3，1) ，设二次函数解析式为 ya(x3) 21.又图象过点(0，4)，4a(0 3) 21，解得 a .13这个二次函数的解析式为 y (x3) 21.13知识点 3 利用“交点式”求二次函数解析式8(教材 P57 习题 T6 变式)如图所示，抛物线的函数解析式是(D)Ay x2x412By x2x412Cy x2x412Dy x2x4129(教材 P40 练习 T2 变式)(百色中考)经过 A(4，0)，B( 2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是 y (x4)(x 2)(或写成 y x2 x3)38 38 3410已知抛物线与 x 轴交于点 A(3，0) ，对称轴是直线 x1，且
13、过点(2，4)，求抛物线的解析式解：抛物线与 x 轴交于点 A(3，0) ，对称轴是直线 x1，抛物线与 x 轴的另一交点坐标为(1，0) 设抛物线的解析式为 ya(x3)(x1) ，将点(2，4) 代入，得4a(2 3)(21)，解得 a .45抛物线的解析式为 y (x 3)(x1)，45即 y x2 x .45 85 12502 中档题11抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是(D)Ayx 2x2 By x2 x212 12Cy x2 x1 12 12Dyx 2x212二次函数 yx 2bxc 的图象的最高点是(1， 3)，则 b，c 的值分别是(D)Ab2，c4 Bb
14、2，c4Cb2，c 4 Db2，c413二次函数的图象如图所示，则其解析式为 yx 22x314(杭州中考)设抛物线 yax 2bxc(a 0) 过 A(0，2)，B(4，3) ，C 三点，其中点 C 在直线 x2 上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为 y x2 x2 或 y x2 x218 14 18 3415(宁波中考)如图，已知抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0) ，且过点C(0，3)(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 yx 上，并写出平移后抛物线的解析式解：(1)
15、设抛物线解析式为 ya(x1)(x 3)抛物线过点 C(0，3)，3a( 1)(3)解得 a1.y(x1)(x 3)x 24x3.yx 24x3(x2) 21，顶点坐标为(2，1)(2)答案不唯一，如：先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为 yx 2，平移后抛物线的顶点为(0，0) 落在直线 yx 上16(牡丹江中考)如图，抛物线 yx 2bxc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，对称轴是直线 x3，B(1，0)，F(0，1) ，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出抛物线顶点 E 的坐标，并判断 AC 与 EF 的位置关系
16、，不需要说明理由解：(1)B(1，0)，抛物线的对称轴是直线 x3，A( 5，0) 根据题意，得 25 5b c 0， 1 b c 0. )解得 b 6，c 5.)抛物线的解析式为 yx 26x5.(2)E(3，4)，ACEF.03 综合题17(凉山中考)如图，已知抛物线 yax 2bxc(a 0) 经过 A(1，0)、B(3，0) 、C(0，3)三点，直线 l 是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点 P 是直线 l 上的一个动点，当点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短时，求点 P 的坐标解：(1)由题意，得yax 2bx3.将 A( 1，0) 、 B(3，0)代入 yax 2bxc，得a b 3 0，9a 3b 3 0，)解得 a 1，b 2.)抛物线的函数解析式为 yx 22x3.(2)当 P 点在 x 轴上，P ，A，B 三点在一条直线上时，点 P 到点 A、点 B 的距离之和最短，此时直线 l 为 x 1，b2aP(1，0)