1、2020-2021 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 ）题目要求的 ） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 2下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A （3，2） B （3，2） C （2，3） D （2，3） 3关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2
2、4抛物线 y（3x）2+5 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 5O 的半径为 3，圆心是原点，点 P（2，2） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D无法确定 6如图，正方形二维码的边长为 2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大 量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.8 左右，据此可估计白色部分的面积为（ ） A0.4cm2 B0.8cm2 C1.6cm2 D3cm2 7某商店于今年元旦三天假期期间举行促销活动， 元旦当天的销售额是 2000 元， 1
3、 月 3 日的销售额是 4500 元，从元旦到 1 月 3 日，该店销售额平均每天的增长率是（ ） A15% B20% C25% D50% 8如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，BOC140，则D 的度数是（ ） A15 B20 C30 D40 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、DC 上，ABEDEF，AB6，AE9，DE2，则 EF 的长是（ ） A4 B5 C D 10随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上 每百米拥有车的数量 x（辆）的关系如图所示，当 x8 时，y 与 x 成反比例函数关系，当车速度低于
4、 20 千米/时， 交通就会拥堵， 为避免出现交通拥堵， 公路上每百米拥有车的数量 x 应该满足的范围是 （ ） Ax32 Bx32 Cx32 Dx32 11如图，我市在建地铁的某段路基横断面为梯形 ABCD，ABCD，BC 长 6 米，坡 AD 的坡比 i1：2， 坡 BC 的坡比 i1：1，则 AD 长为（ ） A12 米 B3米 C3米 D6米 12二次函数 yax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a0） ，对称轴为直线 x1，函数图象的一部分如图所 示，下列说法中：b0；2a+b0；b24ac0；（a+c）2b2；3a+c0正确的结论有 （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5
5、 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DEBC，若 AD1，BD2，则 14在 RtABC 中，C90，BC6，AB10，则 cosA 15如图，四边形 ABCD 内接于O，若它的一个外角DCE70，则BOD 16如图，等边ABO 的顶点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上，边 BO 在 x 轴上，O 是坐标原点， BO2，则 k 17如图，在矩形 ABCD 中，BC1，以点 A 为圆心，以 AD 长为半径画弧交 BC 于点 E，DAE60， 则图中
6、阴影部分的面积为 18如图，已知 CD 是ABC 的高，BD4AD，CD2AD，点 E 是 BC 上一点，EFEA，AGEG，tan EFA 的值为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或潢算步骤）分请写出文字说明、证明过程或潢算步骤） 19 （6 分）计算： tan45+cos602sin30 20 （6 分）解方程：x23x+20 21 （6 分）如图，楼和塔之间的距离 AC 为 50m，小明在楼底 A 处测得塔顶的仰角为 60，爬到楼顶 D 测 得塔顶的仰角为 30，求楼高 AD 22 （8 分）某初中初三年级开展数学课题学习，
7、设置了“视力的变化” ， “哪种方式更合算” ， “设计遮阳棚” 三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了 如下表格： 课题 选择次数 频率 A“视力的变化” 4 a B“哪种方式更合算” b 0.4 C“设计遮阳棚” 20 0.5 请综合上述信息回答下列问题： （1）a ；b ； （2）若该校有 400 名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数； （3） 某班有 3 男 1 女四名学生选择了 “视力的变化” 课题， 老师决定从这四人中随机选取两人作为组长， 这两人正好是 1 男 1 女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明
8、理由 23 （8 分）如图，AD 与O 相切于点 D，点 A 在直径 CB 的延长线上 （1）求证：DCBADB； （2）若DCB30，AC3，求 AD 的长 24 （10 分）如图，小亮的父亲想用长为 80m 的栅栏，再借助一面长为 50m 的墙，围成一个长方形的羊圈 ABCD （1）当羊圈的面积是 600m2时，此时矩形的边长各是多少？ （2）若要使羊圈的面积最大，矩形的边长各是多少？ 25 （10 分）如图 1，点 A 和点 D 在反比例 y（x0）的图象上，C，D 分别是 OA，OB 的中点，点 B （4，4） ，连接 CD，AB （1）确定反比例函数的表达式； （2）若点 A（m，1
9、） ，求此时OCD 的面积； （3）如图 2，连接 BC，当 BCy 轴时，求线段 BC 的长 26 （12 分）小明同学用两个形状相同都含有 30角的直角三角板进行研究，通过不同的摆放探究图形中 的边角关系 （一）猜测探究 （1）如图 1，使直角三角板的两个 30锐角BAC 和DAE 重合，斜边 AB 和 AD 重合，此时的值 为 ； （2）如图 2，将图（1）中的ABC 绕点 A 逆时针旋转 30，使 AC 与 AD 重合，连接 BD，CE， （1） 中结论是否改变，若不变，请加以证明；若改变，请说明理由； （二）拓展应用 （3）在图 2 中，小明发现BDC45，求此时DCE 的度数 27
10、 （12 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0）和点 C（0，3） ，抛物线与 x 轴的正半轴交于 点 B，点 D 是抛物线上的一点 （1）求抛物线的表达式； （2）如图 2，连接 OD，BD，若点 D 是抛物线的顶点，求此时OBD 的面积； （3）如图 3，连接 OD，BD，CD，CB，设OCD 的面积为 S1，BCD 的面积为 S2，是否存在点 D， 使 S1S2，若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷学年山东省济南市历下区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析
11、一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 ）题目要求的 ） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看，是一列 2 个矩形 故选：C 2下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A （3，2） B （3，2） C （2，3） D （2，3） 【分析】根据反比例函数中 kxy 的特点进行解答即可 【解答】解：A、3（2）6，此点在反比例函数的图象上，故本选项
12、正确； B、3266，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、2366，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、（2）（3）66，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误 故选：A 3关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根为1，则 m 的值为（ ） A3 B1 C1 D2 【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将 x1 代入求出答案 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 的一个根是1， （1）22（1）+m0， 解得：m3 故选：A 4抛物线 y（3x）2+5 的顶点坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 【分析
13、】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可 【解答】解：抛物线的解析式为：y（3x）2+5（x3）2+5 故其顶点坐标为： （3，5） 故选：C 5O 的半径为 3，圆心是原点，点 P（2，2） ，则点 P 与O 的位置关系是（ ） A点 P 在圆内 B点 P 在圆上 C点 P 在圆外 D无法确定 【分析】先根据勾股定理求出 OP 的长，再与O 的半径为 3 相比较即可 【解答】解：P 的坐标为（2，2） ， OP2 O 的半径为 3，32， 点 P 在O 内 故选：A 6如图，正方形二维码的边长为 2cm，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区城内随机掷点，经过大 量重复试验，发现点落入黑色部分
14、的频率稳定在 0.8 左右，据此可估计白色部分的面积为（ ） A0.4cm2 B0.8cm2 C1.6cm2 D3cm2 【分析】利用频率估计概率，可得到落入白色部分的概率，再乘以正方形的面积即可 【解答】解：落入黑色部分的频率稳定在 0.8 左右， 落入白色部分的概率约为 0.2， 估计白色部分的面积为 220.20.8（cm2） ， 故选：B 7某商店于今年元旦三天假期期间举行促销活动， 元旦当天的销售额是 2000 元， 1 月 3 日的销售额是 4500 元，从元旦到 1 月 3 日，该店销售额平均每天的增长率是（ ） A15% B20% C25% D50% 【分析】设该店销售额平均每
15、天的增长率是 x，根据 1 月 1 日及 1 月 3 日的销售额，即可得出关于 x 的 一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设该店销售额平均每天的增长率是 x， 依题意得：2000（1+x）24500， 解得：x10.550%，x22.5（不合题意，舍去） 故选：D 8如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，BOC140，则D 的度数是（ ） A15 B20 C30 D40 【分析】连接 BD，如图，根据圆周角定理得到ADB90，BDC70，然后计算ADBBDC 即可 【解答】解：连接 BD，如图， AB 为直径， ADB90， BDCBOC14070， ADCADBBDC
16、907020 故选：B 9如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、DC 上，ABEDEF，AB6，AE9，DE2，则 EF 的长是（ ） A4 B5 C D 【分析】由ABEDEF，AB6，AE9，DE2，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 DF 的长，然后利用勾股定理，求得 EF 的长 【解答】解：ABEDEF， ， AB6，AE9，DE2， ， 解得：DF3， 四边形 ABCD 是矩形， D90， EF 故选：C 10随着私家车的增加，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上车辆的行驶速度（千米/时）与路上 每百米拥有车的数量 x（辆）的关系如图所示，当 x8 时，y
17、与 x 成反比例函数关系，当车速度低于 20 千米/时， 交通就会拥堵， 为避免出现交通拥堵， 公路上每百米拥有车的数量 x 应该满足的范围是 （ ） Ax32 Bx32 Cx32 Dx32 【分析】利用已知反比例函数图象过（8，80） ，得出其函数解析式，再利用 y20 时，求出 x 的最值， 进而求出 x 的取值范围 【解答】解：设反比例函数的解析式为：y（x8） ， 则将（8，80） ，代入得：y， 故当车速度为 20 千米/时，则 20， 解得：x32， 故高架桥上每百米拥有车的数量 x 应该满足的范围是：x32 故选：B 11如图，我市在建地铁的某段路基横断面为梯形 ABCD，ABC
18、D，BC 长 6 米，坡 AD 的坡比 i1：2， 坡 BC 的坡比 i1：1，则 AD 长为（ ） A12 米 B3米 C3米 D6米 【分析】过 A 作 AECD 于 E，过 B 作 BFCD 于 F，则四边形 AEFB 是矩形，得 AEBF，由坡度的 定义求出 BF、DE 的长，即可解决问题 【解答】解：过 A 作 AECD 于 E，过 B 作 BFCD 于 F，如图所示： 则四边形 AEFB 是矩形， AEBF， 坡 BC 的坡比为 i1：1，BC 长 6 米， BFCF， AEBFCFBC3（米） ， 坡 AD 的坡比 i1：2， AE：DE1：2， DE2AE6（米） ， AD3（
19、米） ， 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（其中 a，b，c 是常数，a0） ，对称轴为直线 x1，函数图象的一部分如图所 示，下列说法中：b0；2a+b0；b24ac0；（a+c）2b2；3a+c0正确的结论有 （ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a，由抛物线与 y 轴的交点判断 c，根据对称轴的位置判断 b 及 a、b 关系，根据抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断 【解答】解：开口向下， a0 对称轴在 y 轴右边，故 b0，故错误 由图知：对称轴 x1，即 2a+b0，故正确 抛物线于 x 轴有两个交点故 b
20、24ac0故正确 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和1 之间，在两个交点之间时，y0， 当 x1 时，y0，即：ab+c0 a+cb （a+c）2b2故正确 根据当 x1 时，y0，即：ab+c0由将 b2a代入 ab+c0 3a+c0，故错误 故正确的个数为：3 个 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分 ）分 ） 13如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DEBC，若 AD1，BD2，则 【分析】通过证明ADEABC，可得，即可求解 【解答】解：AD1，BD2， AB3， DEBC，
21、 ADEABC， ， ， 故答案为： 14在 RtABC 中，C90，BC6，AB10，则 cosA 【分析】利用勾股定理求出 AC，再根据 cosA，求解即可 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C90，AB10，BC6， AC8， cosA， 故答案为： 15如图，四边形 ABCD 内接于O，若它的一个外角DCE70，则BOD 140 【分析】根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，求得A70，再根据一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半求解 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， ADCE70， BOD2A140 故答案为 140 16如图，等边ABO 的顶点 A 在反比例函数
22、y（x0）的图象上，边 BO 在 x 轴上，O 是坐标原点， BO2，则 k 【分析】根据等边三角形的性质求得 A 的坐标，代入反比例函数 y（x0）即可求得 k 的值 【解答】解：如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D， AOB 是等边三角形， OAOB2，AOD60， OD1，ADOA， A（1，） ， 点 A 在反比例函数 y（x0）的图象上， k 故答案为：， 17如图，在矩形 ABCD 中，BC1，以点 A 为圆心，以 AD 长为半径画弧交 BC 于点 E，DAE60， 则图中阴影部分的面积为 【分析】根据 S阴S矩形ABCDS扇形ADE求解即可 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形
23、， ADBC1，ADBC， AEBDAE60， B90，AEAD1， ABAEsin60， S阴S矩形ABCDS扇形ADE， 故答案为 18如图，已知 CD 是ABC 的高，BD4AD，CD2AD，点 E 是 BC 上一点，EFEA，AGEG，tan EFA 的值为 【分析】设 ADx，则 CD2x，BD4x，先证明ADCCBD 得到CADBCD，再证明ACB 90，则 CG 为斜边 AE 上的中线，使用 CGAGGE，接着证明AGDEFA，在 RtAGD 中， 设 DGt，则 AGCG2xt，利用勾股定理得到 x2+t2（2xt）2，解得 tx，于是可计算出 tan AGD 的值，从而得到
24、tanEFA 的值 【解答】解：设 ADx，则 CD2x，BD4x， CD 为高， CDBCDA90， 2， ADCCBD， CADBCD， CAD+ACD90， ACD+BCD90，即ACB90， AGGE， CGAGGE， EFEA， EFA+DAE90， DAE+AGD90， AGDEFA， 在 RtAGD 中，设 DGt，则 AGCG2xt， x2+t2（2xt）2， tx， tanAGD， tanEFA 故答案为 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 9 个小题，共个小题，共 78 分请写出文字说明、证明过程或潢算步骤）分请写出文字说明、证明过程或潢算步骤） 19 （6 分）计算：
25、tan45+cos602sin30 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案 【解答】解：原式1+2 1+1 20 （6 分）解方程：x23x+20 【分析】把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x1） （x2） ，再利用积为 0 的特点求解即可 【解答】解：x23x+20， （x1） （x2）0， x10 或 x20， x11，x22 21 （6 分）如图，楼和塔之间的距离 AC 为 50m，小明在楼底 A 处测得塔顶的仰角为 60，爬到楼顶 D 测 得塔顶的仰角为 30，求楼高 AD 【分析】根据题意，可得BDE30，BAC60，四边形 ACED 是矩形，然后根据锐角三角函数 即可求
26、出楼高 AD 【解答】解：由题意，可知BDE30，BAC60，四边形 ACED 是矩形， DEAC50m 在 RtDBE 中， tanBDE， ， BE（m） 在 RtABC 中， tanCAB， ， BC50（m） ， ADCEBCBE50（m） 答：大楼 AD 的高为m 22 （8 分）某初中初三年级开展数学课题学习，设置了“视力的变化” ， “哪种方式更合算” ， “设计遮阳棚” 三种课题供学生选择，每名同学只选择一项课题进行学习，根据初三（一）班学生的选择情况，绘制了 如下表格： 课题 选择次数 频率 A“视力的变化” 4 a B“哪种方式更合算” b 0.4 C“设计遮阳棚” 20
27、0.5 请综合上述信息回答下列问题： （1）a 0.1 ；b 16 ； （2）若该校有 400 名初三学生，请估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数； （3） 某班有 3 男 1 女四名学生选择了 “视力的变化” 课题， 老师决定从这四人中随机选取两人作为组长， 这两人正好是 1 男 1 女的概率是多少？请你用列表或画树状图的方法说明理由 【分析】 （1）先根据 C 课题的次数及频率求出总人数，再根据次数频数总数求解即可； （2）用总人数乘以样本中选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可 【解答】解：
28、（1）被调查的总人数为 200.540（人） ， a4400.1，b400.416， 故答案为：0.1、16； （2）估计选择“设计遮阳棚”课题学习的学生人数为 4000.5200（人） ； （3）这两人正好是 1 男 1 女的概率是，理由如下： 列表如下： 男 1 男 2 男 3 女 男 1 男 2，男 1 男 3，男 1 女，男 1 男 2 男 1，男 2 男 3，男 2 女，男 2 男 3 男 1，男 3 男 2，男 3 女，男 3 女 男 1，女 男 2，女 男 3，女 所有可能出现的结果共 12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等其中一男一女的情况有 6 种， 这两人正好是 1 男
29、 1 女的概率是 23 （8 分）如图，AD 与O 相切于点 D，点 A 在直径 CB 的延长线上 （1）求证：DCBADB； （2）若DCB30，AC3，求 AD 的长 【分析】 （1）连接 OD，根据切线的性质和圆周角定理即可证明； （2）证明ADBACD，对应边成比例，根据特殊角三角函数即可求出结果 【解答】 （1）证明：如图，连接 OD， AD 与O 相切于点 D， ODAD， ODB+ADB90， CB 是直径， CDB90， ODB+ODC90， ODCADB， ODOC， ODCOCD， CADB； （2）解：DCBADB，DACCAD， ADBACD， ， CB 是直径， CD
30、B90，DCB30， tanDCB， ， AC3， AD3 24 （10 分）如图，小亮的父亲想用长为 80m 的栅栏，再借助一面长为 50m 的墙，围成一个长方形的羊圈 ABCD （1）当羊圈的面积是 600m2时，此时矩形的边长各是多少？ （2）若要使羊圈的面积最大，矩形的边长各是多少？ 【分析】 （1）设 AB 长为 xm，则 BC 的长为（802x） m，利用矩形面积公式得出关于 x 的方程，求解 并根据墙的长为 50m 作出取舍，再算出另外一边长即可； （2）设羊圈的面积为 Sm2，AB 长为 xm，则 BC 的长为（802x） m，写出 S 关于 x 的二次函数，将其 写成顶点式，
31、根据二次函数的性质及问题的实际意义作出取舍，则问题可解 【解答】解： （1）设 AB 长为 xm，则 BC 的长为（802x） m，由题意得： x（802x）600， 解得：x110，x230， 802x50， x15， x10 不合题意，舍去， 802x20， 当羊圈的面积是 600m2时，矩形的边长分别为 20m 和 30m （2）设羊圈的面积为 Sm2，AB 长为 xm，则 BC 的长为（802x） m，由题意得： Sx（802x） 2x2+80 x 2（x20）2+800， 802x50， x15， 当 x20 时，S 有最大值，最大值为 800 此时 802x40， 若要使羊圈的面积
32、最大，矩形的边长分别是 20m 和 40m 25 （10 分）如图 1，点 A 和点 D 在反比例 y（x0）的图象上，C，D 分别是 OA，OB 的中点，点 B （4，4） ，连接 CD，AB （1）确定反比例函数的表达式； （2）若点 A（m，1） ，求此时OCD 的面积； （3）如图 2，连接 BC，当 BCy 轴时，求线段 BC 的长 【分析】 （1）根据题意求得 D 的坐标，然后根据待定系数法求得即可； （2）先求得 A 的坐标，进而求得 C 的坐标，从而证得 CDx 轴，然后根据三角形面积公式求得即可； （3）先求得 A 的坐标，然后根据三角形中位线定理求得 C 的纵坐标，进而即可
33、求得 BC 的长 【解答】解： （1）作 BFy 轴，垂足为 F，DEy 轴，垂足为 E，B（4，4） ， BFOF4， D 是 OB 的中点， DEOE2， D（2，2） ， 设反比例的数的表达式为 y（x0） ，则有 2， k4， y（x0） ； （2）作 CPx 轴，垂足为 P，AQx 轴，垂足为 Q， 点 A（m，1） ，y（x0） ， A（4，1） OQ4，AQ1， C 是 OA 的中点， OP2，CP0.5， C（2，0.5） ， 又D（2，2） ， CDx 轴， CD1.5， SOCDOPCD21.51.5； （3）BCy 轴，B（4，4） ， 设 C（4，m） ， C 是 OA
34、 的中点， A（8，2m） ， 将 A（8，2m）代入 y得，m0.25， C（4，0.25） ， 又B（4，4） ， BC3.75 26 （12 分）小明同学用两个形状相同都含有 30角的直角三角板进行研究，通过不同的摆放探究图形中 的边角关系 （一）猜测探究 （1）如图 1，使直角三角板的两个 30锐角BAC 和DAE 重合，斜边 AB 和 AD 重合，此时的值 为 ； （2）如图 2，将图（1）中的ABC 绕点 A 逆时针旋转 30，使 AC 与 AD 重合，连接 BD，CE， （1） 中结论是否改变，若不变，请加以证明；若改变，请说明理由； （二）拓展应用 （3）在图 2 中，小明发现
35、BDC45，求此时DCE 的度数 【分析】 （1）先判断出，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出BADCAE，即可得出结论； （3）先求出CEA45，再利用三角形的外角的性质，即可得出结论 【解答】解： （1）在 RtABC 中，A30， cosAcos30， ACBAED90， BCDE， ， ， 故答案为：； （2）不变，理由：在 RtABC 中，BAC30， cosBACcos30， 在 RtAED 中，DAE30， cosDAEcos30， ， ， BADCAE30， BADCAE， ； （3）由（2）知，BADCAE， BDACEA45， DAE30， DCEDAE+
36、CEA30+4575 27 （12 分）如图 1，抛物线 yx2+bx+c 过点 A（1，0）和点 C（0，3） ，抛物线与 x 轴的正半轴交于 点 B，点 D 是抛物线上的一点 （1）求抛物线的表达式； （2）如图 2，连接 OD，BD，若点 D 是抛物线的顶点，求此时OBD 的面积； （3）如图 3，连接 OD，BD，CD，CB，设OCD 的面积为 S1，BCD 的面积为 S2，是否存在点 D， 使 S1S2，若存在，请直接写出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用待定系数法即可求解解析式 （2）求出定点坐标，即可求出三角形的面积 （3）假设存在，先求出直线 BC 的解
37、析式，设点出点 P 的坐标，利用坐标表示出 S1面积，利用铅垂高 表示 S2的面积，最后利用面积相等即可求解 【解答】解： （1）将点（1，0） 、 （0，3）代入 yx2+bx+c 解得： 抛物线的表达式：yx2+2x+3 （2）yx2+2x+3（x1）2+4 D（1，4） 令 y0，x2+2x+30 x11，x23 A（1，0） 、B（3，0） OBD 的面积为： （3）设点 D（m，m2+2m+3） OCD 的面积为 S1为：|m|m| 设直线 BC 的解析式为：ykx+b 将 B（3，0） 、C（0，3）代入 直线 BC 的解析式为：yx+3 作 DEy 轴，交 BC 于点 E E（m，m+3） DE|m2+3m| 根据铅垂高定义，BCD 的面积为 S2为：|m2+3m|m2+3m| S1S2 |m|m2+3m| 解得：m2 或 4 D（2，3）或 D（4，5）