1、2020-2021 学年福建省莆田学年福建省莆田市三校联考市三校联考中九年级（上）期末数学试卷中九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）求的） 1sin30（ ） A B C D 2下列图形中一定属于中心对称图形的是（ ） A教室的三叶片电风扇 B等腰三角形 C等边三角形 D平行四边形 3如图几何体的左视图是（ ） A B C D 4 “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A随机事件 B必然事件 C
2、不可能事件 D确定事件 5方程 x24 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx11，x24 Dx12，x22 6二次函数 y（x1）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 7如图，AB 是O 的弦，OCAB，交O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若ABC20，则BAO 的度 数是（ ） A40 B45 C50 D55 8去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如下表所示今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树 进行种植，应选的品种是（ ）
3、甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 1.9 2.1 2 1.9 A甲 B乙 C丙 D丁 9已知ABCDEF，且ABC 与DEF 的面积比为 9：4，ABC 的最短边为 4.5cm，则DEF 的最 短边为（ ） A6cm B2cm C3cm D4cm 10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat2+bt+c（a，b，c 是常数） ，如图记录了三次实验的 数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ） A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟
4、 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11已知函数 y在二、四象限，则 m 的取值范围是 12已知 x2 是方程 x2+ax20 的根，则 a 13如图，若 AB 是O 的直径，AB10cm，CAB30，则 BC cm 14将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB2，则阴影部分的面积是 15如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、BA 的延长线与 O 的交点，则图中阴影部分的面积是 （结果保留 ） 16如图，含 30的直角三角板 ABC（其中ABC90）的三个顶点均在反比例
5、函数 y的图象上，且 斜边 AC 经过原点 O，则直角三角板 ABC 的面积为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）计算： （） 1+|sin301|20200 18 （8 分）已知函数 ymx2+（2m+1）x+m（m 为常数）的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值 19 （8 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，AEBF，请找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明 20 （8 分）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情， 某工厂及时引进了 1
6、 条口罩生产线生产口罩经调查发现：1 条生产线最大产能是 1500 万个/天，若每增 加 1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少 50 万个/天，是否能增加生产线，使得每天生产口罩 15000 万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由 21 （8 分）如图，ABC 中，AB8，AC6 （1）请用尺规作图的方法在 AB 上找点 D，使得ACDABC（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD 的长 22 （10 分）如图， “和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶 端的距离 OA75 厘米展开小桌板使桌面保持水平，此时 CBAO，A
7、OBACB37，且支架长 OB 与 BC 的长度之和等于 OA 的长度 （1）求CBO 的度数； （2）求小桌板桌面的宽度 BC （参考数据 sin370.6，cos370.8，tan370.75） 23 （10 分）4 月 23 日，为迎接“世界读书日” ，某书城开展购书有奖活动顾客每购书满 100 元获得一次 摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有 4 个小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4，它们除所标 数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应 关系如下： 两球所标数字之和 3 4 5 6 7 奖励的购书券金额（元） 0 0 30 6
8、0 90 （1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得 90 元购书券的概率； （2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得 30 元的购书券在“参加摸奖”和“直 接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均数的方法说明理由 24 （12 分）已知 P 是O 上一点，过点 P 作不过圆心的弦 PQ，在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、B （不与 P，Q 重合） ，连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2） 如图 2， 连接 AB， 交 PQ 于点 M， 点 N 在线段 PM 上 （不与 P
9、、 M 重合） ， 连接 ON、 OP， 若NOP+2 OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并证明 25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，2） ，B（p，q）在直线 l 上，抛物线 m 经过点 B，C（p+4， q） ，且它的顶点 N 在直线 l 上 （1）若 B（2，1） ， 请在如图的平面直角坐标系中画出直线 l 与抛物线 m 的示意图； 设抛物线 m 上的点 Q 的横坐标为 e（2e0）过点 Q 作 x 轴的垂线，与直线 l 交于点 H若 QH d，当 d 随 e 的增大而增大时，求 e 的取值范围； （2）抛物线 m 与 y 轴交于点 F，当抛物线
10、m 与 x 轴有唯一交点时，判断NOF 的形状并说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的）求的） 1sin30（ ） A B C D 【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可 【解答】解：sin30 故选：B 2下列图形中一定属于中心对称图形的是（ ） A教室的三叶片电风扇 B等腰三角形 C等边三角形 D平行四边形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、教室的三叶片电风扇，不
11、是中心对称图形，故本选项不合题意； B、等腰三角形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、等边三角形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意 故选：D 3如图几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据左视图是从物体左面看所得到的图形即可解答 【解答】解：从物体的左面看得，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形 故选：C 4 “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（ ） A随机事件 B必然事件 C不可能事件 D确定事件 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可 【解答】解： “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件
12、是随机事件，属于随机事件， 故选：A 5方程 x24 的解是（ ） Ax2 Bx2 Cx11，x24 Dx12，x22 【分析】直接开平方法求解可得 【解答】解：x24， x12，x22， 故选：D 6二次函数 y（x1）2+3 图象的顶点坐标是（ ） A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3） 【分析】由抛物线顶点式可求得答案 【解答】解：y（x1）2+3， 顶点坐标为（1，3） ， 故选：A 7如图，AB 是O 的弦，OCAB，交O 于点 C，连接 OA，OB，BC，若ABC20，则BAO 的度 数是（ ） A40 B45 C50 D55 【分析】 根据垂径定理求出，
13、求出AOCBOC， 根据圆周角定理求出AOC2ABC40， 求出AOB，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出即可 【解答】解：AB 是O 的弦，OCAB，OC 过 O， ， AOCBOC， 即AOB2AOC， ABC20， AOC2ABC40， AOB40+4080， OAOB， BAOABO（180AOB）50， 故选：C 8去年某果园随机从申、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了 10 棵，每棵产量的平均数 （单位：千 克）及方差 S2（单位：千克 2）如下表所示今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树 进行种植，应选的品种是（ ） 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20
14、 S2 1.9 2.1 2 1.9 A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到甲组的状态稳定，据此求解即可 【解答】解：甲的平均数最大，方差最小，最稳定 应选的品种是甲 故选：A 9已知ABCDEF，且ABC 与DEF 的面积比为 9：4，ABC 的最短边为 4.5cm，则DEF 的最 短边为（ ） A6cm B2cm C3cm D4cm 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解 【解答】解：设DEF 的最短边边长是 xcm， ABCDEF，面积比为 9：4， ABC 与DEF 的对应边之比 3：2 4.5：x3：2 则 x3 故选：C
15、10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t（单位：分钟）满足的函数关系 pat2+bt+c（a，b，c 是常数） ，如图记录了三次实验的 数据根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（ ） A4.25 分钟 B4.00 分钟 C3.75 分钟 D3.50 分钟 【分析】先结合函数图象，利用待定系数法求出函数解析式，将解析式配方成顶点式后，利用二次函数 的性质可得答案 【解答】解：由题意知，函数 pat2+bt+c 经过点（3，0.7） ， （4，0.8） ， （5，0.5） ， 则， 解得：， pat2+bt+c0
16、.2t2+1.5t20.2（t3.75）2+0.8125， 最佳加工时间为 3.75 分钟， 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11已知函数 y在二、四象限，则 m 的取值范围是 m 【分析】直接根据反比例函数的性质即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y在二、四象限 2m30， 解得 m 故答案为：m 12已知 x2 是方程 x2+ax20 的根，则 a 1 【分析】把 x2 代入方程 x2+ax20 得到关于 a 的一元一次方程，解之即可 【解答】解：把 x2 代入方程 x2+ax20 得： 4+2a20， 解得
17、：a1， 故答案为：1 13如图，若 AB 是O 的直径，AB10cm，CAB30，则 BC 5 cm 【分析】根据圆周角定理可得出ABC 是直角三角形，再由含 30角的直角三角形的性质即可得出 BC 的长度 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB90， 又AB10cm，CAB30， BCAB5cm 故答案为：5 14将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB2，则阴影部分的面积是 【分析】 在等腰直角三角形 ABC 中， 求得 AC 的值， 再在直角三角形 ACF 中， 由勾股定理解得 CF 的值， 然后按照三角形的面积公式计算即可 【解答】解：设 AE 交 BC 于点 F，如图： 在等腰直
18、角三角形 ABC 中，AB2， AC2， 在直角三角形 ACF 中，CAF30， 设 CFx，则 AF2x， 22+x2（2x）2， 4+x24x2， 3x24， x1，x2（舍） ， CFx， 阴影部分的面积为：2 故答案为： 15如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中心与半径为 2 的O 的圆心重合，E、F 分别是 AD、BA 的延长线与 O 的交点，则图中阴影部分的面积是 1 （结果保留 ） 【分析】延长 DC，CB 交O 于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论 【解答】解：延长 DC，CB 交O 于 M，N， 则图中阴影部分的面积（S圆OS正方形ABCD）（44）1， 故答
19、案为：1 16如图，含 30的直角三角板 ABC（其中ABC90）的三个顶点均在反比例函数 y的图象上，且 斜边 AC 经过原点 O，则直角三角板 ABC 的面积为 8 【分析】 连接 OB， 由题意，可得OAB 为等边三角形， 即点 A， B 关于直线 yx 对称， 设点 A （a， ） ， 则点 B（，a） ，根据 OA2AB2，可得 a2+（a）2+（a）2，化简得 a2+16，所以 S ABC2SOAB2OA2（a2+）8 【解答】解：如图，连接 OB， 含 30的直角三角板 ABC（其中ABC90） ，OAOC， OBACOA，ABACOA， OAOBAB， OAB 为等边三角形，
20、点 A，B 在反比例函数 y的图象上， 点 A，B 关于直线 yx 对称， 设点 A（a，） ，则点 B（，a） ， OA2AB2， a2+（a）2+（a）2， 化简得 a2+16， SABC2SOAB2OA2（a2+）8 故答案为：8 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分）分） 17 （8 分）计算： （） 1+|sin301|20200 【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 【解答】解： （） 1+|sin301|20200 2+|0.51|1 2+0.51 1.5 18 （8 分）已知函数 ymx2+（2m+1）x+m（m 为
21、常数）的图象与 x 轴只有一个公共点，求 m 的值 【分析】根据函数图象与 x 轴只有一个公共点，分两种情况：函数是一次函数；函数是二次函数， 则方程 mx2+（2m+1）x+m0 有两个相等的实数根，利用根的判别式即可求的 m 的值 【解答】解：当 m0 时，函数 yx 是一次函数，与 x 轴只有一个交点 当 m0 时，函数 ymx2+（2m+1）x+m 是二次函数 函数图象与 x 轴只有一个公共点， 关于 x 的方程 mx2+（2m+1）x+m0 有两个相等的实数根， 0， 又（2m+1）24m24m2+4m4m24m+1， 4m+10，解得：m 综上所述，当 m0 或时，函数图象与 x
22、轴只有一个公共点 19 （8 分）如图，AB 是O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，AEBF，请找出线段 OE 与 OF 的数量关系，并给予证明 【分析】过点 O 作 OHAB 于点 H，根据垂径定理得到 OEOF 即可 【解答】解：OEOF 理由如下：过点 O 作 OHAB 于点 H， OH 过圆心，OHAB AHBH， 又AEBF AHAEBHBE 即 EHFH， EHFH，OHEF OH 垂直平分 EF， OEOF 20 （8 分）全球疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情， 某工厂及时引进了 1 条口罩生产线生产口罩经调查发现：
23、1 条生产线最大产能是 1500 万个/天，若每增 加 1 条生产线，每条生产线的最大产能将减少 50 万个/天，是否能增加生产线，使得每天生产口罩 15000 万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由 【分析】设增加 a 条生产线，则每条生产线的最大产能为（150050a）万件/天,依题意可以列出方程， 再判断方程是否有解即可 【解答】解：设增加 a 条生产线，则每条生产线的最大产能为（150050a）万件/天, 依题意，得：(1+a)(150050a)15000, 化简得:a229a+2700, (29)2412702390 方程无解 不能增加生产线，使得每天生产口罩 15000
24、 万件 21 （8 分）如图，ABC 中，AB8，AC6 （1）请用尺规作图的方法在 AB 上找点 D，使得ACDABC（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD 的长 【分析】 （1）以 CA 为边，C 为顶点，作ACDB，角的另外一条边与 AB 的交点即为所求点 D （2）由ACDABC 知，将相关线段代入计算可得 【解答】解： （1）如图所示，点 D 即为所求 （2）ACDABC， ，即， 解得 AD 22 （10 分）如图， “和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶 端的距离 OA75 厘米展开小桌板使桌面保持水平，此时 CBAO，
25、AOBACB37，且支架长 OB 与 BC 的长度之和等于 OA 的长度 （1）求CBO 的度数； （2）求小桌板桌面的宽度 BC （参考数据 sin370.6，cos370.8，tan370.75） 【分析】 （1）如图延长 CB 交 OA 于 E，根据OBCAOB+BEO 即可计算 （2）延长 OB 交 AC 于 F设 BCx，则 OBOABC75x，在 RTBCF 中求出 BF，再在 RTAOF 中根据 cos37，列出方程即可解决问题 【解答】解： （1）如图延长 CB 交 OA 于 E， OABC， BEO90， AOB37， OBCAOB+BEO37+90127 （2）延长 OB
26、交 AC 于 F设 BCx，则 OBOABC75x， AOBACB，OBECBF，AOB+OBE90， ACB+CBF90， BFC90 在 RtBFC 中，sin37， BF0.6x，OF750.4x， 在 RTOAF 中，cos37， 0.8， x37.5 厘米 小桌板桌面的宽度 BC 的长度为 37.5 厘米 23 （10 分）4 月 23 日，为迎接“世界读书日” ，某书城开展购书有奖活动顾客每购书满 100 元获得一次 摸奖机会，规则为：一个不透明的袋子中装有 4 个小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4，它们除所标 数字外完全相同，摇匀后同时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之
27、和与奖励的购书券金额的对应 关系如下： 两球所标数字之和 3 4 5 6 7 奖励的购书券金额（元） 0 0 30 60 90 （1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得 90 元购书券的概率； （2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得 30 元的购书券在“参加摸奖”和“直 接获得购书券”两种方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均数的方法说明理由 【分析】 （1）首先通过列表或画树状图的方法求出两球所标数字之和为 7 的数目，进而可求出摸奖一次 获得 90 元购书券的概率； （2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率，进而可求出在“参加摸球”和“直
28、接 获得购书券”两种方式中，对顾客更合算 【解答】解： （1）列表如下： 第 1 球 第 2 球 1 2 3 4 1 （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） 由上表可知，共有 12 种等可能的结果其中“两球数字之和等于 7”有 2 种， P（获得 90 元购书券）； （2）由（1）中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下： 数字之和 3 4 5 6 7 获奖金额 （元） 0 0 30 60 90 相应的概率 摸球一次平均获得购书券金额为 0+0+30+60+9035， 3
29、530， 在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算 24 （12 分）已知 P 是O 上一点，过点 P 作不过圆心的弦 PQ，在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、B （不与 P，Q 重合） ，连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2） 如图 2， 连接 AB， 交 PQ 于点 M， 点 N 在线段 PM 上 （不与 P、 M 重合） ， 连接 ON、 OP， 若NOP+2 OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并证明 【分析】（1） 连接 AB， 由已知得到APBAPQ+B
30、PQ90， 根据圆周角定理证得 AB 是O 的直径， 然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径； （2）连接 OA、OB、OQ，由APQBPQ 证得，即可证得 OQAB，然后根据三角形内角和 定理证得NOQ90，即 NOOQ，即可证得 ABON 【解答】解： （1）连接 AB， APQBPQ45， APBAPQ+BPQ90， AB 是O 的直径， AB3， O 的半径为； （2）ABON， 证明：连接 OA、OB、OQ， APQBPQ， ， AOQBOQ， OAOB， OQAB， OPOQ， OPNOQP， OPN+OQP+PON+NOQ180， 2OPN+PON+NOQ180， NOP+2OP
31、N90， NOQ90， NOOQ， ABON 25 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（0，2） ，B（p，q）在直线 l 上，抛物线 m 经过点 B，C（p+4， q） ，且它的顶点 N 在直线 l 上 （1）若 B（2，1） ， 请在如图的平面直角坐标系中画出直线 l 与抛物线 m 的示意图； 设抛物线 m 上的点 Q 的横坐标为 e（2e0）过点 Q 作 x 轴的垂线，与直线 l 交于点 H若 QH d，当 d 随 e 的增大而增大时，求 e 的取值范围； （2）抛物线 m 与 y 轴交于点 F，当抛物线 m 与 x 轴有唯一交点时，判断NOF 的形状并说明理由 【分析】
32、（1）根据点 B 和点 A 的坐标可以画出直线 l 的图象，根据点 B 可以得到点 C 的坐标，从而可 以得到抛物线顶点 N 的坐标，从而可以将抛物线 m 的函数图象画出来； 根据已画出的函数图象和题意，可以用含 e 的代数式表示出 d，然后根据二次函数的性质即可求得 e 的取值范围； （2）根据题意可以求得点 N 和点 F 的坐标，从而可以判断出NOF 的形状 【解答】解： （1）点 B（2，1） ， 点 C（2，1） ， 该抛物线的顶点坐标为（0，2） ， 直线 l 与抛物线 m 的示意图如右图所示； 设直线 l 的函数解析式为 ykx+b， 直线 l 过点 A（0，2） ，点 B（2，1
33、） ， ，得， 直线 l 的解析式为 yx+2， 点 B（2，1） ，点 C（2，1）在抛物线上， 抛物线的顶点坐标为（0，2） ， 设抛物线 m 的函数解析式为 yax2+2， 1a（2）2+2，得 a， 抛物线 m 的函数解析式为 yx2+2， 点 Q 的横坐标为 e（2e0）过点 Q 作 x 轴的垂线，与直线 l 交于点 H， 设点 Q 的坐标为（e，e2+2） ，点 H 的坐标为（e，e+2） ， 2e0， 点 Q 总在点 H 上方， QHd， d（e2+2）（e+2）， 0， 当 d 随 e 的增大而增大时，e 的取值范围2e1； （2）NOF 是等腰直角三角形， 理由：抛物线 m
34、经过点 B（p，q） ，C（p+4，q） ， 抛物线 m 的对称轴是直线 xp+2， 又抛物线与 x 轴只有一个交点， 这个交点为抛物线 m 的顶点， 设抛物线顶点 N 的坐标为（p+2，0） ，则抛物线的解析式为 ya（xp2）2， 当 x0 时，yFa（p+2）2， 即点 F 的坐标为（0，a（p+2）2） ， 点 B（p，q）在抛物线 m 上， qa（pp2）24a， 设直线 l 的解析式为 ykx+2， 点 B（p，q） ，点 N（p+2，0）在直线 l 上， ， ，得 a， 点 F（0，p+2） ， OF|p+2|， 又点 N（p+2，0） ， ON|p+2|， ONOF， NOF90， NOF 是等腰直角三角形