1、2020-2021 学年江西省萍乡市九年级第一学期期末数学试卷学年江西省萍乡市九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1反比例函数 y的图象位于（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 2对角线互相平分且相等的四边形是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D非以上答案 3已知一元二次方程 x2+kx30 有一个根为 1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 4如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭
2、成，下列说法正确的是（ ） A主视图的面积为 3 B左视图的面积为 4 C俯视图的面积为 4 D三种视图的面积都是 4 5若 m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个根，则 m+nmn 的值是（ ） A3 B3 C1 D1 6如图，已知矩形 ABCD 中，AB3，BE2，EFBC若四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似而不全等， 则 CE（ ） A3 B3.5 C4 D4.5 7某校九年级共有 1、2、3、4 四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到 1 班和 2 班的概率是（ ） A B C D 8如图，四边形 ABCD 为菱形，对角线 AC，BD 相交于点
3、O，DHAB 于点 H，连接 OH，CAD25， 则DHO 的度数是（ ） A20 B25 C30 D35 9如图，点 A 在函数 y（x0）的图象上，点 B 在函数 y（x0）的图象上，且 ABx 轴，BCx 轴于点 C，则四边形 ABCO 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 10如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AB3，E 为 OC 上一点，OE1，连接 BE， 过点 A 作 AFBE 于点 F，与 BD 交于点 G，则 BF 的长是（ ） A B2 C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分
4、，请把答案填在答题卡）分，请把答案填在答题卡） 11若，则 12已知关于 x 的方程 x22x+a0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 13如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 米 14衣橱里挂着 3 套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣 和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 15已知两点 A（5，6），B（7，2），先将线段 AB 向左平移一个单位长度，再以原点 O 为位似中心，在 第一象限内将其缩小为原来的得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为 1
5、6在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90 个红包，那么这个微信 群共有 人 17 如图， 在平面直角坐标系中， ABC 为直角三角形， ACB90， 顶点 A， C 的坐标分别为 A （0， 3） ， C（3，0），AC2BC，函数 y（k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值为 18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 EACA 交 DB 的延长线于点 E，若 AB 3，BC4，则的值为 三、（本大题共三、（本大题共 3 个题，第个题，第 19 题题 8 分，第分，第 20，21 题每题题每题 6 分，共分，共 20 分
6、）分） 19（1）解方程：3（x2）2x24 （2）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BAD90，AB5，BC12，AC13求证：四边形 ABCD 是矩形 20如图，ABC 三个定点坐标分别为 A（1，3），B（1，1），C（3，2） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2） 以原点O为位似中心， 将A1B1C1放大为原来的2倍， 得到A2B2C2， 请在第三象限内画出A2B2C2， 并求出的值 21一个不透明的口袋中有 4 个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1，2，3，4 （1）摇匀后任意摸出 1 个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 （2）摇匀
7、后先从中任意摸出 1 个球（不放回），再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，用列表或画树状 图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率 四、（本大题共四、（本大题共 3 个小题，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 22如图，在ABC 中，BAC90，点 D 是 BC 中点，AEBC，CEAD （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）过点 D 作 DFCE 于点 F，B60，AB6，求 EF 的长 23某种新产品进价是 120 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的 数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 日销售
8、量/件 70 65 60 （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价 1 元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到 1600 元 24如图，小明家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间的地 板 F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D 射进房间的地板 E 处，小明测得窗子距地面的高度 OD 0.8m，窗高 CD1.2m，并测得 OE0.8m，OF3m，求围墙 AB 的高度 五、（本大题共五、（本大题共 1 个小题，共个小题，共 10 分）分） 25如图
9、，在平面直角坐标系中，一次函数 ymx+n（m0）的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y （k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，纵坐标为 4，点 B 在第三象限，BMx 轴，垂足为 点 M，BMOM2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）连接 OB，MC，求四边形 MBOC 的面积 六、（本大题共六、（本大题共 1 个小题，共个小题，共 12 分）分） 26如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）【证明与推断】：求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ； （2）【探究与证明】：将正方
10、形 CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 度（045），如图所示， 试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展与运用】：正方形 CEGF 在旋转过程中，当 A，G，F 三点在同一直线上时，如图所示， 延长 CG 交 AD 于点 H 求证：ACHGAH； 若 AG6，GH2，求 BC 的长 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确选项）分，每小题只有一个正确选项） 1反比例函数 y的图象位于（ ） A第一、二象限 B第一、三象限 C第二、三象限 D第二、四象限 【分析】先根
11、据反比例函数的比例系数 k 的值为 3 得到 k0，再根据反比例函数的性质进行解答即可 解：反比例函数 y中，k30， 反比例函数 y的图象在一、三象限 故选：B 2对角线互相平分且相等的四边形是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D非以上答案 【分析】根据四边形的判定定理即可判断 解：对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 故选：B 3已知一元二次方程 x2+kx30 有一个根为 1，则 k 的值为（ ） A2 B2 C4 D4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把 x1 代入方程得关于 k 的一次方程 13+k0，然后解一 次方程即可 解：把 x1 代入方
12、程得 1+k30， 解得 k2 故选：B 4如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列说法正确的是（ ） A主视图的面积为 3 B左视图的面积为 4 C俯视图的面积为 4 D三种视图的面积都是 4 【分析】根据该几何体的三视图可逐一判断 解：A主视图的面积为 4，此选项不符合题意； B左视图的面积为 3，此选项不符合题意； C俯视图的面积为 4，此选项符合题意； D左视图的面积为与主视图、俯视图的面积不相同，此选项不符合题意； 故选：C 5若 m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个根，则 m+nmn 的值是（ ） A3 B3 C1 D1 【分析】由韦达定理得出
13、m+n 和 mn 的值，再代入计算可得 解：m，n 是一元二次方程 x2+x20 的两个根， m+n1，mn2， 则 m+nmn1（2）1， 故选：D 6如图，已知矩形 ABCD 中，AB3，BE2，EFBC若四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似而不全等， 则 CE（ ） A3 B3.5 C4 D4.5 【分析】可设 CEx，由四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例 式，求解即可 解：设 CEx， 四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似， ， AB3，BE2，EFAB， ， 解得：x4.5， 故选：D 7某校九年级共有 1、2、3、4 四个班
14、，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到 1 班和 2 班的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出恰好抽到 1 班和 2 班的结果数，然后根据概率 公式求解 解：画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到 1 班和 2 班的结果数为 2， 所以恰好抽到 1 班和 2 班的概率 故选：B 8如图，四边形 ABCD 为菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，DHAB 于点 H，连接 OH，CAD25， 则DHO 的度数是（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】先根据菱形的性质得 ODOB，ABCD，BDAC，则
15、利用 DHAB 得到 DHCD，DHB 90，所以 OH 为 RtDHB 的斜边 DB 上的中线，得到 OHODOB，利用等腰三角形的性质得1 DHO，然后利用等角的余角相等即可求出DHO 的度数 解：如图： 四边形 ABCD 是菱形， ODOB，ABCD，BDAC DHAB， DHCD，DHB90， OH 为 RtDHB 的斜边 DB 上的中线， OHODOB， HDODHO， DHCD， GDO+ODC90， BDAC， ODC+DCO90， HDODCO， DHODCA， 四边形 ABCD 是菱形， DADC， CADDCA25， DHO25， 故选：B 9如图，点 A 在函数 y（x0
16、）的图象上，点 B 在函数 y（x0）的图象上，且 ABx 轴，BCx 轴于点 C，则四边形 ABCO 的面积为（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】延长 BA 交 y 轴于 D，则四边形 OCBD 为矩形根据反比例函数系数 k 的几何意义，得出 SOAD 1，S矩形OCBD4，则四边形 ABCO 的面积S 矩形OCBDSOAD3 解：如图，延长 BA 交 y 轴于 D，则四边形 OCBD 为矩形 点 A 在双曲线 y上，点 B 在双曲线 y上， SOAD1，S 矩形OCBD4， 四边形 ABCO 的面积S矩形OCBDSOAD413 故选：C 10如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD
17、 相交于点 O，AB3，E 为 OC 上一点，OE1，连接 BE， 过点 A 作 AFBE 于点 F，与 BD 交于点 G，则 BF 的长是（ ） A B2 C D 【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定定理证明GAOEBO，得到 OGOE1，证明 BFGBOE，根据相似三角形的性质计算即可 解：四边形 ABCD 是正方形，AB3， AOB90，AOBOCO3， AFBE， EBOGAO， 在GAO 和EBO 中， ， GAOEBO， OGOE1， BG2， 在 RtBOE 中，BE， BFGBOE90，GBFEBO， BFGBOE， ，即， 解得，BF， 故选：A 二、填空题（本大题共二
18、、填空题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，请把答案填在答题卡）分，请把答案填在答题卡） 11若，则 【分析】直接利用已知得出 yx，再代入比例式求出答案 解：， yx， 故答案为： 12已知关于 x 的方程 x22x+a0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 a1 【分析】关于 x 的方程 x22x+a0 有两个不相等的实数根，即判别式b24ac0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 解：b24ac（2）241a44a0， 解得：a1 a 的取值范围是 a1 故答案为：a1 13如图，路灯距离地面 8 米，身高 1.6 米的小明站在距
19、离灯的底部（点 O）20 米的 A 处，则小明的影子 AM 长为 5 米 【分析】易得：ABMOCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长 解：根据题意，易得MBAMCO， 根据相似三角形的性质可知，即， 解得 AM5m则小明的影长为 5 米 14衣橱里挂着 3 套不同颜色的服装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣橱里各任取一件上衣 和一条裤子，则它们取自同一套的概率是 【分析】 画树状图， 共有 9 种等可能结果， 其中它们取自同一套的有 3 种可能， 再由概率公式求解即可 解：令 3 件上衣分别为 A、B、C，对应的裤子分别为 a、b、c， 画树状图如下： 由树状图可知，共有 9
20、种等可能结果，其中取自同一套的有 3 种可能， 所以它们取自同一套的概率为， 故答案为： 15已知两点 A（5，6），B（7，2），先将线段 AB 向左平移一个单位长度，再以原点 O 为位似中心，在 第一象限内将其缩小为原来的得到线段 CD，则点 A 的对应点 C 的坐标为 （2，3） 【分析】利用点平移的坐标变换规律得到 A 点平移后的对应点 A的坐标为（4，6），然后把 A的横 纵坐标都乘以得到 C 点坐标 解：如图，将线段 AB 向左平移一个单位长度得到对应线段 AB，则 A（4，6）， 原点 O 为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段 CD， 点 A 的对应点 C 的坐标为（
21、4，6），即 C（2，3） 故答案为（2，3） 16在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90 个红包，那么这个微信 群共有 10 人 【分析】设这个微信群共有 x 人，则每人需发（x1）个红包，根据该微信群共发了 90 个红包，即可得 出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：设这个微信群共有 x 人，则每人需发（x1）个红包， 依题意得：x（x1）90， 整理得：x2x900， 解得：x110，x29（不合题意，舍去） 故答案为：10 17 如图， 在平面直角坐标系中， ABC 为直角三角形， ACB90， 顶点 A， C 的坐标分别为 A （
22、0， 3） ， C（3，0），AC2BC，函数 y（k0，x0）的图象经过点 B，则 k 的值为 【分析】根据 A、C 的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知 OAOC3，进而可求出 AC，由 AC2BC， 又可求 BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点 B 的坐标，再求出 k 的值 解：过 B 点作 BDx 轴于 D，如图， A，C 的坐标分别是（0，3），（3，0） OAOC3， OAC 为等腰直角三角形， ACOC3，ACO45， ACB90， BCD45， BCD 为等腰直角三角形， CDBDBC， AC2BC， BC， CDBD， OD3+， B（，）， 函数 y（k0，x0）的
23、图象经过点 B， k 故答案为 18如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 A 作 EACA 交 DB 的延长线于点 E，若 AB 3，BC4，则的值为 【分析】作 BHOA 于 H，如图，利用矩形的性质得 OAOCOB，ABC90，则根据勾股定理可 计算出 AC5， AOOB， 接着利用面积法计算出 BH， 于是利用勾股定理可计算出 OH， 然后证明OBHOEA，最后利用相似比可求出的值 解：作 BHOA 于 H，如图， 四边形 ABCD 为矩形， OAOCOB，ABC90， 在 RtABC 中，AC5， AOOB， BHACABBC， BH， 在 RtOBH 中，
24、OH， EACA， BHAE， OBHOEA， ， 故答案为 三、（本大题共三、（本大题共 3 个题，第个题，第 19 题题 8 分，第分，第 20，21 题每题题每题 6 分，共分，共 20 分）分） 19（1）解方程：3（x2）2x24 （2）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，BAD90，AB5，BC12，AC13求证：四边形 ABCD 是矩形 【分析】（1）整理后，利用因式分解法求解即可； （2）先通过勾股定理逆定理证得B90，利用平行线的性质证得D90，即可证得结论 【解答】（1）解：3（x2）2（x2）（x+2）0， （x2）（3x6x2）0， x20 或 2x80， x12，
25、x24 （2）证明：AB5，BC12，AC13， AB2+BC225+144169，AC2169， AB2+BC2AC2， ABC 是直角三角形， B90， ABCD，BAD90， D90， BBADD90， 四边形 ABCD 是矩形 20如图，ABC 三个定点坐标分别为 A（1，3），B（1，1），C（3，2） （1）请画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2） 以原点O为位似中心， 将A1B1C1放大为原来的2倍， 得到A2B2C2， 请在第三象限内画出A2B2C2， 并求出的值 【分析】 （1）根据网格结构找出点 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、C1的位置，然后顺
26、次连接即可； （2）连接 A1O 并延长至 A2，使 A2O2A1O，连接 B1O 并延长至 B2，使 B2O2B1O，连接 C1O 并延长至 C2，使 C2O2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答 解：（1）A1B1C1如图所示； （2）A2B2C2如图所示， A1B1C1放大为原来的 2 倍得到A2B2C2， A1B1C1A2B2C2，且相似比为 ， SA1B1C1：SA2B2C2（ ）2 21一个不透明的口袋中有 4 个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1，2，3，4 （1）摇匀后任意摸出 1 个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为 （2
27、）摇匀后先从中任意摸出 1 个球（不放回），再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，用列表或画树状 图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2） 画树状图展示所有 12 种等可能的结果数， 找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数， 然后根据公式求解 解：（1）摇匀后任意摸出 1 个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率； 故答案为； （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为 8， 所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率 四、（本大题共四、（本大题共 3 个小题
28、，每小题个小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 22如图，在ABC 中，BAC90，点 D 是 BC 中点，AEBC，CEAD （1）求证：四边形 ADCE 是菱形； （2）过点 D 作 DFCE 于点 F，B60，AB6，求 EF 的长 【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形 ADCE 是平行四边形，进而利用菱形的判定得出 平行四边形 ADCE 是菱形； （2） 根据已知条件得到ABD 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得到ADB60， ADAB6， 解直角三角形得到 CECD3，根据菱形的性质得到结论 【解答】（1）证明：AEDC，ECAD， 四边形 ADCE 是平行
29、四边形， BAC90，点 D 是 BC 的中点， ADBDCD， 平行四边形 ADCE 是菱形； （2）解：B60，ADBD， ABD 是等边三角形， ADB60，ADAB6， ADCE， DCE60， CDAD6， CFCD3， 四边形 ADCE 是菱形， CECD6， EF3 23某种新产品进价是 120 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的 数量关系： 每件销售价格/元 130 135 140 日销售量/件 70 65 60 （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，回答：当每件产品每涨价 1 元时，日销售量是怎样变化的？ （2）在不改变上述关系的情况下，请
30、你帮助商场经理策划每件产品定价为多少元时，每日盈利可达到 1600 元 【分析】（1）由每件的销售价格与日销售量之和为定值，可得出当每件产品每涨价 1 元时，日销售量减 少 1 件； （2）设每件产品定价为 x 元（x120），则产品的日销量为（200 x）元，利用商场每天销售该产品的 利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 解：（1）130+70200，135+65200，140+60200， 每件的售价与产品的日销量之和为 200， 当每件产品每涨价 1 元时，日销售量减少 1 件 （2）设每件产品定价为 x 元（x120），则产品的日销量为（200
31、 x）元， 依题意得：（x120）（200 x）1600， 整理得：x2320 x+256000， 解得：x1x2160 答：每件产品定价为 160 元时，每日盈利可达到 1600 元 24如图，小明家窗外有一堵围墙 AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间的地 板 F 处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D 射进房间的地板 E 处，小明测得窗子距地面的高度 OD 0.8m，窗高 CD1.2m，并测得 OE0.8m，OF3m，求围墙 AB 的高度 【分析】首先根据 DOOE0.8m，可得DEB45，然后证明 ABBE，再证明ABFCOF，可 得，然后代入数值可得方程，解
32、出方程即可得到答案 解：延长 OD， DOBF， DOE90， OD0.8m，OE0.8m， DEB45， ABBF， BAE45， ABBE， 设 ABEBxm， ABBF，COBF， ABCO， ABFCOF， ， ， 解得：x4.4 经检验：x4.4 是原方程的解 答：围墙 AB 的高度是 4.4m 五、（本大题共五、（本大题共 1 个小题，共个小题，共 10 分）分） 25如图，在平面直角坐标系中，一次函数 ymx+n（m0）的图象与 y 轴交于点 C，与反比例函数 y （k0）的图象交于 A，B 两点，点 A 在第一象限，纵坐标为 4，点 B 在第三象限，BMx 轴，垂足为 点 M，
33、BMOM2 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）连接 OB，MC，求四边形 MBOC 的面积 【分析】（1）根据题意可以求得点 B 的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点 A 的坐 标，从而可以求得一次函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得点 C，从而可以求得四边形 MBOC 是平行四边形，根据面积公 式即可求得 解：（1）BMOM2， 点 B 的坐标为（2，2）， 反比例函数 y（k0）的图象经过点 B， 则2，得 k4， 反比例函数的解析式为 y， 点 A 的纵坐标是 4， 4，得 x1， 点 A 的坐标为（1，4）， 一次函数 ymx+n（m0）的图象
34、过点 A（1，4）、点 B（2，2）， ，解得， 即一次函数的解析式为 y2x+2； （2）y2x+2 与 y 轴交于点 C， 点 C 的坐标为（0，2）， 点 B（2，2），点 M（2，0）， OCMB2， BMx 轴， MBOC， 四边形 MBOC 是平行四边形， 四边形 MBOC 的面积是：OMOC4 六、（本大题共六、（本大题共 1 个小题，共个小题，共 12 分）分） 26如图，已知点 G 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，GEBC，垂足为点 E，GFCD，垂足为点 F （1）【证明与推断】：求证：四边形 CEGF 是正方形； 推断：的值为 ； （2）【探究与证明】：将正方形
35、CEGF 绕点 C 顺时针方向旋转 度（045），如图所示， 试探究线段 AG 与 BE 之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展与运用】：正方形 CEGF 在旋转过程中，当 A，G，F 三点在同一直线上时，如图所示， 延长 CG 交 AD 于点 H 求证：ACHGAH； 若 AG6，GH2，求 BC 的长 【分析】 （1）由 GEBC、GFCD 结合BCD90可得四边形 CEGF 是矩形，再由ECG45 即可得证； 由正方形性质知CEGB90、ECG45，据此可得、GEAB，利用平行线分线 段成比例定理可得； （2）连接 CG，只需证ACGBCE 即可得； （3）利用“两边及夹角法”证得结
36、论； 证AHGCHA 得，设 BCCDADa，知 ACa，由得 AHa、 DHa、CH a，由可得 a 的值 解：（1）四边形 ABCD 是正方形， BCD90，BCA45， GEBC、GFCD， CEGCFGECF90， 四边形 CEGF 是矩形，CGEECG45， EGEC， 四边形 CEGF 是正方形； 由知四边形 CEGF 是正方形， CEGB90，ECG45， ，GEAB， ， 故答案为：； （2）连接 CG， 由旋转性质知BCEACG， 在 RtCEG 和 RtCBA 中， cos45，cos45， ， ACGBCE， ， 线段 AG 与 BE 之间的数量关系为 AGBE； （3）由（2）知BCEACG， AGCBEC135， CGF45， AGC+CGF180， A、G、F 三点共线 CEF45，点 B、E、F 三点共线， BEC135， ACGBCE， AGCBEC135， AGHCAH45， CHAAHG， ACHGAH； 由知，ACHGAH，则， 设 BCCDADa，则 ACa， ， ， AHa， 则 DHADAHa，CHa， 得， 解得：a3，即 BC3