1、2020-2021 学年山东省济宁市泗水县九年级第一学期期末数学试卷学年山东省济宁市泗水县九年级第一学期期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A B C D 2已知 a 是方程 x2x30 的一个实数根，则a2+a+2020 的值是（ ） A2016 B2017 C2018 D2019 3如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D 4已知
2、点 P1（1，3），它关于原点的对称点是 P2，则点 P2的坐标是（ ） A（3，1） B（1，3） C（1，3） D（3，1） 5已知点 A（1，y1），B（2，y2）是反比例函数 y的图象上的两点，下列结论正确的是（ ） Ay10y2 By20y1 Cy1y20 Dy2y10 6如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值 等于（ ） A B C2 D 7如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y（x0）的图象交于点 C，若 S AOBSBOC1，则 k（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，CD
3、、BE 分别为ABC 的两条中线，CD、BE 相交于点 O，连接 DE，若ABC 的面积为 12，则 ODE 的面积为（ ） A2 B C D1 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y与一次函数 yax+b 在同一坐标系内的大致 图象是（ ） A B C D 10如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 ADC， ABC 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，APQ 的 面积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C
4、D 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填在答题纸上） 11将二次函数 yx24x+5 化成 y（xh）2+k 的形式，则 y 12已知A+B90，若，则 cosB 13O 的直径为 10cm，弦 ABCD，AB8cm，CD6cm，则 AB 和 CD 的距离是 cm 14在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄 膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的 像，这种现象就是小孔成像（如图 1）如图 2，如果火焰 AB 的高度是 2cm，倒立的像 AB的高度为 5cm， 蜡烛火焰根 B 到
5、小孔 O 的距离为 4cm，则火焰根的像 B到 O 的距离是 cm 15如图，已知等边OA1B1，顶点 A1在双曲线 y（x0）上，点 B1的坐标为（2，0）过 B1作 B1A2 OA1，交双曲线于点 A2，过 A2作 A2B2A1B1，交 x 轴于 B2，得到第二个等边B 1A2B2过 B2作 B2A3 B1A2，交双曲线于点 A3，过 A3作 A3B3A2B2交 x 轴于点 B 3得到第三个等边B2A3B3；以此类推， 则点 B2的坐标为 ，Bn的坐标为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16解下列方程： （1）2（x
6、+2）2x24； （2）x23x100 17在一个不透明的纸箱子中放有三张卡片，分别画有三个圆心角，其度数分别为 30，45，60，从 纸箱中任意抽取一个圆心角，放回后再抽取第二个圆心角求两次抽取的两个圆心角的正弦值组成的有 序数对恰好在反比例函数 y上的概率（用列表或树状图解答） 18如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午 8：00 在点 A 处测得小岛 O 在北偏东 60方向，之后轮船 继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛 O 在船的北偏东 30方向 36 海里处 （1）求轮船从 A 处到 B 处的航速； （2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于
7、小岛的东南方向？ 19如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径 的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 的切线； CD2CECA； （2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE3，试求阴影部分的面积 20某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多 售出 2 件求： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均
8、每天盈利最多？ 21我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最 短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离 之和最短这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题请 你尝试解决一下问题： （1）在图 1 中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 ； （2）在图 2 中，相距 4km 的 A、B 两镇位于河岸（近似看做直线 l）的同侧，且到河岸的距离 AC1 千 米，BD2 千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： 作图确定水塔的位置； 求
9、出所需水管的长度 （3）已知 x+y6，求的最小值； 此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下： 如图 3 中，作线段 AB6，分别过点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA3，DB ； 在 AB 上取一点 P， 可设 AP ， BP ；的最小值即为线段 和 线段 长度之和的最小值，最小值 22如图所示，在平面直角坐标系中，M 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A（6，0），B（0， 8）两点 （1）请求出直线 AB 的函数表达式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M，顶点 C 在M 上，开口向下，且经过点 B，求此 抛物线的函数表达式； （3）设
10、（2）中的抛物线交 x 轴于 D，E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 SPDESABC？若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 个小题个小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 解：A不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； B是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C既是轴对称图形，又
11、是中心对称图形，故本选项符合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：C 2已知 a 是方程 x2x30 的一个实数根，则a2+a+2020 的值是（ ） A2016 B2017 C2018 D2019 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 a 代入已知方程，即可求得（a2a）的值，从而求得a2+a 的值，代人代数式后求解即可 解：根据题意，得 a2a30， 解得，a2a3， a2+a（a2a）3， 所以a2+a+20203+20202017 故选：B 3如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与A1B1C1相似的是（ ） A B C D
12、 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可 解：因为A1B1C1中有一个角是 135，选项中，有 135角的三角形只有 B，且满足两边成比例夹角相 等， 故选：B 4已知点 P1（1，3），它关于原点的对称点是 P2，则点 P2的坐标是（ ） A（3，1） B（1，3） C（1，3） D（3，1） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案 解：点 P1（1，3），它关于原点的对称点 P2的坐标是（1，3） 故选：C 5已知点 A（1，y1），B（2，y2）是反比例函数 y的图象上的两点，下列结论正确的是（ ） Ay10y2 By20y1 Cy1y20 Dy2y10 【分
13、析】先根据反比例函数的解析式判断出其函数的图象所在的象限，进而可得出结论 解：反比例函数 y中，k50， 此函数图象的两个分支分别位于二四象限 10，20， 点 A（1，y1）位于第二象限，点 B（2，y2）位于第四象限， y10，y20， y20y1 故选：B 6如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为 1 的O 的圆心 O 在格点上，则AED 的正切值 等于（ ） A B C2 D 【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解 解：EABD， tanAEDtanABD 故选：D 7如图，直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 y（x0）的图象交于点
14、C，若 S AOBSBOC1，则 k（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】 作 CDx 轴于 D， 设 OBa （a0） 由 SAOBSBOC， 根据三角形的面积公式得出 ABBC 根 据相似三角形性质即可表示出点 C 的坐标，把点 C 坐标代入反比例函数即可求得 k 解：如图，作 CDx 轴于 D，设 OBa（a0） SAOBSBOC， ABBC AOB 的面积为 1， OAOB1， OA， CDOB，ABBC， ODOA，CD2OB2a， C（，2a）， 反比例函数 y（x0）的图象经过点 C， k2a4 故选：D 8如图，CD、BE 分别为ABC 的两条中线，CD、BE 相交于点 O，
15、连接 DE，若ABC 的面积为 12，则 ODE 的面积为（ ） A2 B C D1 【分析】 根据三角形的中位线得出 DEBC， DEBC， 根据平行线的性质得出成比例线段， 根据ABC 的面积为 12，即可求出ODE 的面积 解：ABC 的两条中线 CD、BE 相交于点 O， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， ， 又SABC12， SABESABC6， DE 是ABE 的中线， SBDESABE3， ， ， SODESBDE1， 故选：D 9二次函数 yax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y与一次函数 yax+b 在同一坐标系内的大致 图象是（ ） A B C
16、D 【分析】首先利用二次函数图象得出 a，b 的符号，进而结合反比例函数以及一次函数的性质得出答案 解：由二次函数开口向上可得：a0，对称轴在 y 轴左侧，故 a，b 同号，则 b0， 故反比例函数 y图象分布在第一、三象限，一次函数 yax+b 经过第一、二、三象限 故选：C 10如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 ADC， ABC 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，APQ 的 面积为 ycm2，则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 【
17、分析】根据题意结合图形，分情况讨论： 0 x2 时，根据 SAPQAQAP，列出函数关系式，从而得到函数图象； 2x4 时， 根据 SAPQS正方形ABCDSCPQSABQSAPD列出函数关系式， 从而得到函数图象， 再结合四个选项即可得解 解：当 0 x2 时， 正方形的边长为 2cm， ySAPQAQAP x2； 当 2x4 时， ySAPQ S正方形ABCDSCPQSABQSAPD， 22（4x）22（x2）2（x2） x2+2x 所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合 故选：A 二、填空题（将答案填在答题纸上）二、填空题（将答案填
18、在答题纸上） 11将二次函数 yx24x+5 化成 y（xh）2+k 的形式，则 y （x2）2+1 【分析】将二次函数 yx24x+5 的右边配方即可化成 y（xh）2+k 的形式 解：yx24x+5， yx24x+44+5， yx24x+4+1， y（x2）2+1 故答案为：y（x2）2+1 12已知A+B90，若，则 cosB 【分析】根据互为余角的三角函数的关系：一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案 解：由A+B90，若，得 cosB， 故答案为： 13O 的直径为 10cm，弦 ABCD，AB8cm，CD6cm，则 AB 和 CD 的距离是 7 或 1 cm 【分析】 分两种情况考
19、虑： 当两条弦位于圆心 O 一侧时， 如图 1 所示， 过 O 作 OECD， 交 CD 于点 E， 交 AB 于点 F，连接 OA，OC，由 ABCD，得到 OEAB，利用垂径定理得到 E 与 F 分别为 CD 与 AB 的中点，在直角三角形 AOF 中，利用勾股定理求出 OF 的长，在三角形 COE 中，利用勾股定理求出 OE 的长，由 OEOF 即可求出 EF 的长；当两条弦位于圆心 O 两侧时，如图 2 所示，同理由 OE+OF 求出 EF 的长即可 解：分两种情况考虑： 当两条弦位于圆心 O 一侧时，如图 1 所示， 过 O 作 OFAB，交 AB 于点 F，交 CD 于点 E，连接
20、 OA，OC， ABCD， OECD， F、E 分别为 AB、CD 的中点， AFBFAB4，CEDECD3， 在 RtCOE 中， OC5，CE3， OE4， 在 RtAOF 中，OA5，AF4， OF3， EFOEOF431； 当两条弦位于圆心 O 两侧时，如图 2 所示，同理可得 EF4+37， 综上，弦 AB 与 CD 的距离为 7 或 1 故答案为：7 或 1 14在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄 膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的 像，这种现象就是小孔成像（如图 1）如图
21、 2，如果火焰 AB 的高度是 2cm，倒立的像 AB的高度为 5cm， 蜡烛火焰根 B 到小孔 O 的距离为 4cm，则火焰根的像 B到 O 的距离是 10 cm 【分析】由 ABAB知ABOABO，据此可得，解之即可得出答案 解：如图， ABAB， ABOABO， 则，即， 解得：OB10， 故答案为：10 15如图，已知等边OA1B1，顶点 A1在双曲线 y（x0）上，点 B1的坐标为（2，0）过 B1作 B1A2 OA1，交双曲线于点 A2，过 A2作 A2B2A1B1，交 x 轴于 B2，得到第二个等边B 1A2B2过 B2作 B2A3 B1A2，交双曲线于点 A3，过 A3作 A3
22、B3A2B2交 x 轴于点 B 3得到第三个等边B2A3B3；以此类推， 则点 B2的坐标为 （2 ，0） ，Bn的坐标为 （2，0） 【分析】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出 B2、B3、B4的坐标，得出 规律，进而求出点 Bn的坐标 解：如图，作 A2Cx 轴于点 C，设 B1Ca，则 A2Ca， OCOB1+B1C2+a，A2（2+a，a） 点 A2在双曲线 y （x0）上， （2+a）a， 解得 a1，或 a1（舍去）， OB2OB1+2B1C2+2 22， 点 B2的坐标为（2 ，0）； 作 A3Dx 轴于点 D，设 B2Db，则 A3 Db， ODOB2
23、+B2D2+b，A2（2+b，b） 点 A3在在双曲线 y （x0）上， （2+b） b ， 解得 b+，或 b（舍去）， OB3OB2+2B2D2 2+2 2， 点 B3的坐标为（2 ，0）； 同理可得点 B4的坐标为（2，0）即（4，0）； 以此类推， 点 Bn的坐标为（2 ，0）， 故答案为（2，0），（2，0） 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16解下列方程： （1）2（x+2）2x24； （2）x23x100 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得 解：（1）2（x+2）2x24，
24、 2（x+2）2（x+2）（x2）0， （x+2）（2x+4x+2）0， x+20 或 x+60， x12，x26； （2）x23x100， （x5）（x+2）0， x50 或 x+20， x15，x22 17在一个不透明的纸箱子中放有三张卡片，分别画有三个圆心角，其度数分别为 30，45，60，从 纸箱中任意抽取一个圆心角，放回后再抽取第二个圆心角求两次抽取的两个圆心角的正弦值组成的有 序数对恰好在反比例函数 y上的概率（用列表或树状图解答） 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的有序数对恰好在 反比例函数 y上的情况，再利用概率公式即可求得答案 解：画
25、树状图得： 共有 9 种等可能的结果， sin30，sin45，sin60， 有序数对恰好在反比例函数 y上的有 2 种情况， 两次抽取的两个圆心角的正弦值组成的有序数对恰好在反比例函数 y上的概率为： 18如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午 8：00 在点 A 处测得小岛 O 在北偏东 60方向，之后轮船 继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛 O 在船的北偏东 30方向 36 海里处 （1）求轮船从 A 处到 B 处的航速； （2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？ 【分析】（1）过 O 作 OCAB 交 AB 的延长线于 C，
26、解直角三角形即可得到结论； （2）设还需经过 x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，DOC45，解直角三角 形即可得到结论 解：（1）过 O 作 OCAB 交 AB 的延长线于 C， 根据题意得，AOC60，BOC30，OB36 海里， AOBBOCOAB30， OABAOB， ABOB36， 24 海里/小时； 答：轮船从 A 处到 B 处的航速是 24 海里/小时； （2）设还需经过 x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处， 由题意得，DOC45， 在 RtOBC 中，OBC60，OB36， BC18，OC18， 在 RtDOC 中，OCD45，OC18， DCOC
27、18， BD18+18， （小时）， 答：还需经过小时轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处 19如图，在 RtABC 中，B90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，点 E 在 AC 上，以 AE 为直径 的O 经过点 D （1）求证：BC 是O 的切线； CD2CECA； （2）若点 F 是劣弧 AD 的中点，且 CE3，试求阴影部分的面积 【分析】（1）证明 DOAB，即可求解；证明 CDECAD，即可求解； （2）证明OFD、OFA 是等边三角形，S阴影S扇形DFO，即可求解 解：（1）连接 OD， AD 是BAC 的平分线，DABDAO， ODOA，DAOODA， 则DABOD
28、A， DOAB，而B90， ODB90， BC 是O 的切线； 连接 DE， BC 是O 的切线，CDEDAC， CC，CDECAD， CD2CECA； （2）连接 DE、OD、DF、OF，设圆的半径为 R， 点 F 是劣弧 AD 的中点，是 OF 是 DA 中垂线， DFAF，FDAFAD， DOAB，ODADAF， ADODAOFDAFAD， AFDFOAOD， OFD、OFA 是等边三角形，则 DFAC， 故 S阴影S扇形DFO， C30， ODOC（OE+EC），而 OEOD， CEOER3， S阴影S扇形DFO32 20某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40
29、 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多 售出 2 件求： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 【分析】 （1） 设每件衬衫降价 x 元， 商场平均每天盈利 y 元， 可得每件盈利 40 x 元， 每天可以售出 20+2x 件，进而得到商场平均每天盈利（40 x）（20+2x）元，依据方程 1200（40 x）（20+2x）即可得到 x 的值； （2）用“配方法”即可求出 y 的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元 解：（1）
30、设每件衬衫降价 x 元，商场平均每天盈利 y 元， 则 y（40 x）（20+2x）800+80 x20 x2x22x2+60 x+800， 当 y1200 时，1200（40 x）（20+2x）， 解得 x110，x220， 经检验，x110，x220 都是原方程的解，但要尽快减少库存， 所以 x20， 答：每件衬衫应降价 20 元； （2）y2x2+60 x+8002（x15）2+1250， 当 x15 时，y 的最大值为 1250， 答：当每件衬衫降价 15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250 元 21我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根
31、据“两点之间，线段最 短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离 之和最短这种数形结合的思想方法，非常有利于解决一些数学和实际问题中的最大（小）值问题请 你尝试解决一下问题： （1）在图 1 中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 4 ； （2）在图 2 中，相距 4km 的 A、B 两镇位于河岸（近似看做直线 l）的同侧，且到河岸的距离 AC1 千 米，BD2 千米，现要在岸边建一座水塔，分别直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你： 作图确定水塔的位置； 求出所需水管的长度 （3）已知 x+y6，求的最小值； 此问题可以通过数形结合的方法加
32、以解决，具体步骤如下： 如图 3 中，作线段 AB6，分别过点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA3，DB 5 ； 在 AB 上取一点 P，可设 AP x ，BP y ；的最小值即为线段 PC 和线段 PD 长度之和的最小值，最小值 10 【分析】（1）利用二次函数的顶点坐标即可得出函数的最值； （2）延长 AC 到点 E，使 CEAC，连接 BE，交直线 l 于点 P，则点 P 即为所求， 过点 A 作 AFBD， 垂足为 F， 过点 E 作 EGBD， 交 BD 的延长线于点 G， 则有四边形 ACDF、 CEGD 都是矩形，进而利用勾股定理求出即可； （3）作线段 AB6，分别过
33、点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA3，BD5， 在 AB 上取一点 P，可设 APx，BPy， 的最小值即为线段 PC 和线段 PD 长度之和的最小值，最小值利用勾股定理求出即 可 解：（1）抛物线所对应的二次函数的最大值是 4， 故答案为：4； （2）如图，点 P 即为所求 作法：延长 AC 到点 E，使 CEAC，连接 BE，交直线 l 于点 P，则点 P 即为所求， 如延长 BD 到点 M，使 DMBD，连接 AM，同样可得到 P 点 过点 A 作 AFBD， 垂足为 F， 过点 E 作 EGBD， 交 BD 的延长线于点 G， 则有四边形 ACDF、 CEGD 都是矩形 F
34、DACCEDG1，EGCDAF AB3，BD2， BFBDFD1，BGBD+DG3， 在 RtABF 中，AF2AB2BF28， AF2，EG2 在 RtBEG 中，BE2EG2+BG217，BE PA+PB 的最小值为 即所用水管的最短长度为 （3）作线段 AB6，分别过点 A、B，作 CAAB，DBAB，使得 CA3，BD5， 在 AB 上取一点 P，可设 APx，BPy， 的最小值即为线段 PC 和线段 PD 长度之和的最小值， 作 C 点对称点 C，连接 CD，过 C点作 CEDB，交于点 E， ACBE3，DB5，ABCE6， DE8， CD10， 最小值为 10 故答案为：5；x，
35、y；PC，PD，10 22如图所示，在平面直角坐标系中，M 经过原点 O，且与 x 轴、y 轴分别相交于 A（6，0），B（0， 8）两点 （1）请求出直线 AB 的函数表达式； （2）若有一抛物线的对称轴平行于 y 轴且经过点 M，顶点 C 在M 上，开口向下，且经过点 B，求此 抛物线的函数表达式； （3）设（2）中的抛物线交 x 轴于 D，E 两点，在抛物线上是否存在点 P，使得 SPDESABC？若存 在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据“两点法”可求直线 AB 解析式； （2）求直径 AB，得半径 MC 的值，由中位线定理得 MNOB，CNMCMN，又
36、CM 垂直平分线段 AO，可得 C 点横坐标及纵坐标，设抛物线顶点式，把 B 点坐标代入即可求抛物线解析式； （3）由（2）可求线段 DE 的长，ABC 的面积可求，这样可求PDE 中 DE 边上的高，可表示 P 点的 纵坐标，代入抛物线解析式求 P 点横坐标即可 解：（1）设直线 AB 的函数表达式为 ykx+b（k0）， 直线 AB 经过 A（6，0），B（0，8）， 由此可得 解得 直线 AB 的函数表达式为 yx8 （2）在 RtAOB 中，由勾股定理，得， M 经过 O，A，B 三点，且AOB90， AB 为M 的直径， 半径 MA5， 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 N， MNx，
37、 由垂径定理，得 ANONOA3 在 RtAMN 中， CNMCMN541， 顶点 C 的坐标为（3，1）， 设抛物线的表达式为 ya（x+3）2+1， 它经过 B（0，8）， 把 x0，y8 代入上式， 得8a（0+3）2+1，解得 a1， 抛物线的表达式为 y（x+3）2+1x26x8 （3）如图，连接 AC，BC， SABCSAMC+SBMCMCAN+MCON53+5315 在抛物线 yx26x8 中，设 y0，则x26x80， 解得 x12，x24 D，E 的坐标分别是（4，0），（2，0），DE2； 设在抛物线上存在点 P（x，y），使得 SPDESABC151， 则 SPDE DE|y|2|y|1，y1， 当 y1 时，x26x81，解得 x1x23，P1（3，1）； 当 y1 时，x26x81，解得 x13+，x23 ， P2（3+ ，1），P3（3，1） 综上所述，这样的 P 点存在， 且有三个，P1（3，1），P2（3+ ，1），P3（3，1）