1、2020-2021 学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷 一、单选题（每题一、单选题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 2若 x1 是方程 ax2+bx+c0 的解，则（ ） Aa+b+c1 Bab+c0 Ca+b+c0 Dabc0 3已知：，则：（ ） A B C D 4一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其它完全相同的小球，其中有 6 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定 在 30%，那么可以推
2、算出 n 大约是（ ） A6 B10 C18 D20 5如图，ABCDMN，点 M，N 分别在线段 AD，BC 上，AC 与 MN 交于点 E，则（ ） A B C D 6如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D若 AC，BC2，则 sinACD 的值为 （ ） A B C D 7某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高 1.5m，测量其影子为 1.2m，建 筑物的影长为 14m，则建筑物的高是（ ）m A16.5 B17 C17.5 D18 8如图，ABC 与DEF 位似，其位似中心为点 O，且 D 为 AO 的中点，则ABC 与DEF 的面积比是 （
3、 ） A2：1 B4：1 C3：1 D9：1 9已知点（2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，那么 y1，y2与 y3的 大小关系是（ ） Ay3y1y2 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2 10如图，点 P 是 RtABC 中斜边 AC（不与 A，C 重合）上一动点，分别作 PMAB 于点 M，作 PNBC 于点 N，连接 BP、MN，若 AB6，BC8，当点 P 在斜边 AC 上运动时，则 MN 的最小值是（ ） A1.5 B2 C4.8 D2.4 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11已知线段
4、AB 的长为 2 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，那么 BP 的长是 厘米 12把抛物线 yx2向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位后，所得的抛物线的表达式是 13双曲线 y1、y2在第一象限的图象如图，过 y1上的任意一点 A，作 x 轴的平行线交 y2于 B，交 y 轴于 C，若 SAOB1，则 y2的解析式是 14如图，四边形 ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点 B 与顶点 D 重合，EF 为折痕，若 AB 6、BC8，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（三、解答题（11 道题，共道题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：4cos30+
5、（1）0+|2| 16 （5 分）如图，ABC 中，BAC90，尺规作图：在 BC 上求作 E 点，使得ABE 与ABC 相似 （保 留作图痕迹，不写作法） 17 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点 （1）求证：MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由 18 （5 分）如图，小丽在观察某建筑物 AB请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物 AB 在阳光下的投 影 19 （7 分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 5000 元/m2下降到 5 月份的 4050 元/m2
6、 （1）问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 3000 元/m2？请说明理由 20 （8 分）如图，等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60 （1）求证：ABDDCE； （2）若 BD2，CE，求等边ABC 的边长 21 （8 分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保 护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，大雁塔的塔尖点
7、B 正好在同一直线上，测得 EC4 米，将 标杆向后平移到点 G 处， 这时地面上的点 F， 标杆的顶端点 H， 大雁塔的塔尖点 B 正好在同一直线上 （点 F，点 G，点 E，点 C 与大雁塔底处的点 A 在同一直线上） ，这时测得 FG6 米，CG60 米，请你根据 以上数据，计算大雁塔的高度 AB 22 （6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，1） ，B（1，1） ，C（0，3） （1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C； （2） 在网格内画出ABC 以点 O 为位似中心的位似图形A2B2C2 AB
8、C 与A2B2C2的位似比为 1： 2， 并写出 A2，B2，C2的坐标 23 （7 分） 2020 年 10 月 20 日上午 7： 30 西安国际马拉松赛鸣枪开跑 本届赛事设有马拉松、 半程马拉松、 欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组 中的一个 （1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 （2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率 24 （8 分）如图，一次函数 y1k1x+b（k1，b 为常数，k0）的图象与反比例函数 y2（k20，x0） 的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2） （1）求一次函数与反比例函数的解析
9、式； （2）根据图象直接写出当 x 为何值时，k1x+b0； （3）求出AOB 的面积 25 （12 分）如图，已知 A，B 两点的坐标分别为 A（18，0） ，B（8，6） ，点 P，Q 同时出发分别作匀速运 动， 其中点 P 从点 A 出发沿 AO 向终点 O 运动， 速度为每秒 3 个单位长度， 点 Q 从点 O 出发沿 OB 运动， 速度为每秒 2 个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设 P，Q 运动时 间为 t 秒 （1）求 t 的取值范围； （2）若以 O，P，Q 为顶点的三角形与ABO 相似，求此时 t 的值； （3）是否存在 t，使得OPQ 为等腰三
10、角形？若存在，求出运动时间 t；若不存在，请说明理由 2020-2021 学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷学年陕西省宝鸡市凤翔县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（每题一、单选题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1如图所示的几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中 【解答】解：从左往右看，易得一个长方形，正中有一条横向虚线 故选：C 2若 x1 是方程 ax2+bx+c0 的解，则（ ） Aa+b+c1 Bab+c0 Ca+b+c0 Dabc0 【分析】一元二
11、次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用 这个数代替未知数所得式子仍然成立；将 x1 代入原方程可以求得 a、b、c 的关系 【解答】解：把 x1 代入 ax2+bx+c0， 可得：a+b+c0； 故选：C 3已知：，则：（ ） A B C D 【分析】由已知条件，可得 4a3b，而所求式子根据分式的基本性质得，然后将 4a 3b 代入即可 【解答】解：， 4a3b， 故选：C 4一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其它完全相同的小球，其中有 6 个黄球每次摸球前先将盒子里的 球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的
12、频率稳定 在 30%，那么可以推算出 n 大约是（ ） A6 B10 C18 D20 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系 入手，列出方程求解 【解答】解：由题意可得，100%30%， 解得，n20（个） 故估计 n 大约有 20 个 故选：D 5如图，ABCDMN，点 M，N 分别在线段 AD，BC 上，AC 与 MN 交于点 E，则（ ） A B C D 【分析】根据平行线分线段成比例定理，利用 MECD 得到，则利用比例的性质可判断 D 选项 正确 【解答】解：MECD， ， 故选：D 6如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB
13、，垂足为 D若 AC，BC2，则 sinACD 的值为 （ ） A B C D 【分析】在直角ABC 中，根据勾股定理即可求得 AB，而BACD，即可把求 sinACD 转化为求 sinB 【解答】解：在直角ABC 中，根据勾股定理可得：AB3 B+BCD90，ACD+BCD90， BACD sinACDsinB， 故选：A 7某数学兴趣小组利用阳光下的影子测量建筑物的高度，已知小明的身高 1.5m，测量其影子为 1.2m，建 筑物的影长为 14m，则建筑物的高是（ ）m A16.5 B17 C17.5 D18 【分析】设该建筑物的高为 xm，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度
14、与其影长的比 相等，列出方程，解方程即可 【解答】解：设该建筑物的高为 xm，根据题意得 1.5：1.2x：14， 解得：x：17.5 故该建筑物的高是 17.5m 故选：C 8如图，ABC 与DEF 位似，其位似中心为点 O，且 D 为 AO 的中点，则ABC 与DEF 的面积比是 （ ） A2：1 B4：1 C3：1 D9：1 【分析】根据位似图形的概念得到 DFAC，ABCDEF，根据相似三角形的性质解答即可 【解答】解：ABC 与DEF 位似， DFAC，ABCDEF， ODFOAC， ， DEF 与ABC 的面积比（）2， ABC 与DEF 的面积比为 4：1， 故选：B 9已知点（
15、2，y1） ， （1，y2） ， （1，y3）都在反比例函数 y（k0）的图象上，那么 y1，y2与 y3的 大小关系是（ ） Ay3y1y2 By3y2y1 Cy1y2y3 Dy1y3y2 【分析】先根据反比例函数中 k0 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可 得出结论 【解答】解：反比例函数 y（k0）中 k0， 函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， 20，10， 点（2，y1） ， （1，y2）位于第二象限， y10，y20， 21， 0y1y2 10， （1，y3）在第四象限， y30， y3y1y2 故选：A 10如
16、图，点 P 是 RtABC 中斜边 AC（不与 A，C 重合）上一动点，分别作 PMAB 于点 M，作 PNBC 于点 N，连接 BP、MN，若 AB6，BC8，当点 P 在斜边 AC 上运动时，则 MN 的最小值是（ ） A1.5 B2 C4.8 D2.4 【分析】先由勾股定理求出 AC10，再证四边形 BNPM 是矩形，得 MNBP，然后由垂线段最短可得 BPAC 时，线段 MN 的值最小，最后由三角形的面积求出 BP 即可 【解答】解：ABC90，AB6，BC8， AC10， PMAB，PNBC，C90， 四边形 BNPM 是矩形， MNBP， 由垂线段最短可得 BPAC 时，线段 MN
17、 的值最小， 此时，SABCBCABACBP， 即8610BP， 解得：BP4.8， 即 MN 的最小值是 4.8， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 12 分）分） 11已知线段 AB 的长为 2 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APBP） ，那么 BP 的长是 1 厘 米 【分析】根据黄金比是进行计算即可 【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点，APBP， BPAB1 厘米 故答案为：1 12 把抛物线 yx2向左平移 3 个单位， 再向下平移 2 个单位后， 所得的抛物线的表达式是 y （x+3） 22 【分析】直接根据“上加下减，左加右
18、减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 yx2向左平移 3 个单位所得的抛物线的表达式 是 y（x+3）2； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y（x+3）2向下平移 2 个单位所得的抛物线的表达式是 y （x+3）22 故答案为：y（x+3）22 13双曲线 y1、y2在第一象限的图象如图，过 y1上的任意一点 A，作 x 轴的平行线交 y2于 B，交 y 轴于 C，若 SAOB1，则 y2的解析式是 y2 【分析】根据，过 y1上的任意一点 A，得出CAO 的面积为 2，进而得出CBO 面积为 3，即可 得出 y2的解析式 【解答】解：，过 y1上的任意一
19、点 A，作 x 轴的平行线交 y2于 B，交 y 轴于 C， SAOC42， SAOB1， CBO 面积为 3， kxy6， y2的解析式是：y2 故答案为：y2 14如图，四边形 ABCD 是一张长方形纸片，将该纸片对折，使顶点 B 与顶点 D 重合，EF 为折痕，若 AB 6、BC8，则图中阴影部分的面积为 【分析】由折叠的性质可得 AEAE，ABAD6，AA90，由勾股定理可求 AE 的长， 进而可求 DE 的长，由三角形面积公式可求解 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， A90，ADBC8， 由折叠的性质得：AEAE，ABAD6，AA90， 设 AEAEx，则 DE8x， 在 Rt
20、AED 中，AEx，ADAB6， 由勾股定理得：x2+362（8x）2， 解得 x， AE， DE8， 图中阴影部分的面积6， 故答案为 三、解答题（三、解答题（11 道题，共道题，共 78 分）分） 15 （5 分）计算：4cos30+（1）0+|2| 【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式4+12+2 22+3 3 16 （5 分）如图，ABC 中，BAC90，尺规作图：在 BC 上求作 E 点，使得ABE 与ABC 相似 （保 留作图痕迹，不写作法） 【分析】过点 A 作 AEBC 于 E，则ABECBA 【解答】解：如图所示
21、，点 E 即为所求 17 （7 分）如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，P、Q 分别是 BM、DN 的中点 （1）求证：MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由 【分析】 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BMDN，再有中点得到 PMNQ，再通过证明 MQDNPB 得到 MQPN， 从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形， 利用三角形中位线的性质可得： MPMQ，进而证明四边形 MQNP 是菱形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是矩形
22、， ABCD，ADBC，AC90， 在矩形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点， AMAD，CNBC， AMCN， 在MAB 和NDC 中， ， MBANDC（SAS） ； （2）四边形 MPNQ 是菱形 理由如下：连接 AP，MN， 则四边形 ABNM 是矩形， AN 和 BM 互相平分， 则 A，P，N 在同一条直线上， 易证：ABNBAM， ANBM， MABNDC， BMDN， P、Q 分别是 BM、DN 的中点， PMNQ， ， MQDNPB（SAS） 四边形 MPNQ 是平行四边形， M 是 AD 中点，Q 是 DN 中点， MQAN， MQBM， MPBM， MPM
23、Q， 平行四边形 MQNP 是菱形 18 （5 分）如图，小丽在观察某建筑物 AB请你根据小亮在阳光下的投影，画出建筑物 AB 在阳光下的投 影 【分析】直接利用平行投影的性质得出建筑物 AB 在阳光下的投影 【解答】解：如图：线段 BC 即为 AB 的影子 19 （7 分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 5000 元/m2下降到 5 月份的 4050 元/m2 （1）问 4、5 两月平均每月降价的百分率是多少？ （2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月份该市的商品房成交均价是否会跌破 3000 元/m2？请说明理由 【分析】 （1）设 4、5 两月
24、平均每月降价的百分率是 x，那么 4 月份的房价为 5000（1x） ，5 月份的房 价为 5000（1x）2，然后根据 5 月份的 4050 元/m2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出 7 月份商品房成交均价，然后和 3000 元/m2进行比较即可作出判断 【解答】解： （1）设两月平均每月降价的百分率是 x，根据题意得： 5000（1x）24050， （1x）20.81， 解得：x110%，x21.9（不合题意，舍去） 答：4、5 两月平均每月降价的百分率是 10%； （2）不会跌破 3000 元/m2 如果按此降价的百分率继续回落，估计 7 月份该市的商品房成交均价
25、为： 4050（1x）240500.923280.53000 由此可知 7 月份该市的商品房成交均价不会跌破 3000 元/m2 20 （8 分）如图，等边ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，ADE60 （1）求证：ABDDCE； （2）若 BD2，CE，求等边ABC 的边长 【分析】 （1）由等边三角形的性质及“一线三等角”推出有两个角相等，从而证得结论； （2）设等边ABC 的边长为 x，由ABDDCE，得比例式，求出 x 值即可 【解答】解： （1）证明：ABC 是等边三角形 BC60 又ADE60 ADB+CDE18060120，ADB+DAB18060120 CDEDA
26、B ABDDCE； （2）设等边ABC 的边长为 x， BD2，CE， BCABx，DCx2 ABDDCE 解得：x6 等边ABC 的边长为 6 21 （8 分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保 护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，大雁塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC4 米，将 标杆向后平移到点 G 处， 这时地面上的点 F， 标杆的顶端点 H， 大雁塔的塔尖点 B 正好在同一直线上 （点 F，点 G，点 E，点 C 与大雁塔
27、底处的点 A 在同一直线上） ，这时测得 FG6 米，CG60 米，请你根据 以上数据，计算大雁塔的高度 AB 【分析】 易知EDCEBA， FHGFBA， 可得， 因为 DCHG， 推出， 列出方程求出 CA，由，由此即可解决问题 【解答】解：由题意可得：DCAB， EDCEBA， ， GHAB， FHGFBA， ， DCHG， ， ， CA120（米） ， ， ， AB62（米） ， 答：大雁塔的高度 AB 为 62 米 22 （6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，1） ，B（1，1） ，C（0，3） （
28、1）画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C； （2） 在网格内画出ABC 以点 O 为位似中心的位似图形A2B2C2 ABC 与A2B2C2的位似比为 1： 2， 并写出 A2，B2，C2的坐标 【分析】 （1）根据轴对称性质即可画出ABC 关于 y 轴对称的A1B1C1； （2）根据位似图形的性质即可画出ABC 以点 O 为位似中心的位似图形A2B2C2，ABC 与A2B2C2 的位似比为 1：2，根据网格特点写出 A2，B2，C2的坐标 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求； （2）如图，A2B2C2即为所求； A2（6，2） ，B2（2，2） ，C2（0，6） 23 （7 分
29、） 2020 年 10 月 20 日上午 7： 30 西安国际马拉松赛鸣枪开跑 本届赛事设有马拉松、 半程马拉松、 欢乐跑三个项目，小智和小慧参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组 中的一个 （1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为 （2）用树状图或列表法求小智和小慧被分到同一个项目组的概率 【分析】 （1）直接利用概率公式计算可得； （2）先画树状图展示所有 9 种等可能的结果数，再找出其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数， 然后根据概率公式计算 【解答】解： （1）小智被分配到欢乐跑项目组的概率为：， 故答案为：； （2）记马拉松、半程马拉松、欢乐跑这三个项目分
30、别为 A、B、C， 画树状图为： 共有 9 个等可能的结果数，其中小智和小慧被分到同一个项目组的结果数为 3 个， 小智和小慧被分到同一个项目组的概率为 24 （8 分）如图，一次函数 y1k1x+b（k1，b 为常数，k0）的图象与反比例函数 y2（k20，x0） 的图象交于点 A（m，8）与点 B（4，2） （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出当 x 为何值时，k1x+b0； （3）求出AOB 的面积 【分析】 （1）把 B 点坐标代入反比例函数解析式可求得 k2的值，把点 A（m，8）代入求得的反比例函数 的解析式求得 m，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解
31、析式； （2）直接由 A、B 的坐标可求得答案； （3）设直线与 y 轴交于点 C，求出 C 点坐标，根据 SAOBSCOBSAOC列式计算即可求解 【解答】解（1）把点 B（4，2）代入反比例函数得，k2428， 反比例函数的解析式为； 将点 A（m，8）代，解得 m1，A（1，8） 将 A、B 的坐标代入 y1k1x+b， 得，解得， 一次函数的解析式为 y12x+10 故一次函数的解析式为 y12x+10，反比例函数的解析式为； （2）如图，A（1，8） ，B（4，2） ， ，即的解集为 0 x1 或 x4； （3）如图：连接 AO、BO，设直线与 y 轴交于点 C y12x+10， C
32、（0，10） ，即 OC10， SAOBSCOBSAOC 104101 205 15 25 （12 分）如图，已知 A，B 两点的坐标分别为 A（18，0） ，B（8，6） ，点 P，Q 同时出发分别作匀速运 动， 其中点 P 从点 A 出发沿 AO 向终点 O 运动， 速度为每秒 3 个单位长度， 点 Q 从点 O 出发沿 OB 运动， 速度为每秒 2 个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设 P，Q 运动时 间为 t 秒 （1）求 t 的取值范围； （2）若以 O，P，Q 为顶点的三角形与ABO 相似，求此时 t 的值； （3）是否存在 t，使得OPQ 为等腰三角
33、形？若存在，求出运动时间 t；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由点 P 在 OA 上运动和点 Q 在 OB 上运动，即可得出结论； （2）如果以 O、P、Q 为顶点的三角形与OAB 相似，由于POQAOB，那么 O 与 O 是对应点， 所以分两种情况进行讨论：POQAOB；POQBOA；根据相似三角形对应边成比例列出 比例式，即可求解； （3）分三种情况进行讨论：OPOQ；POPQ；QOQP 【解答】解：由运动知，OQ2t，AP3t， 点 B（8，6） ， OB10， 02t10， 0t5， A（18，0） ， OA18， 03t16， 0t6， 0t5； （2）设从出发起，运动了 t
34、秒钟，以 O、P、Q 为顶点的三角形与OAB 相似 AP3t，OQ2t， OP183t 分两种情况：如图 1， 如果POQAOB，那么， ， 解得 t； 如果POQBOA，那么， ， 解得 t； 故以 O、P、Q 为顶点的三角形与OAB 相似时，t 的值为或； （3）OPQ 为等腰三角形时，分三种情况： 如果 OPOQ，那么 183t2t，t； 如果 POPQ，如图 2，过点 P 作 PFOQ 于 F， 则 OFFQOQ2tt 在 RtOPF 中，OFP90， OFOPcosPOF（183t） （183t） ， t（183t） ， 解得 t； 如果 QOQP，如图 3，过点 Q 作 QGOP 于 G， 则 OGGPOP （183t）9t 在 RtOQG 中，OGQ90， OGOQcosQOG2tt， 9tt， 解得 t 综上所述，所求 t 的值为或或