1、2020-2021 学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1 “保护生态，人人有责” 下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2方程（x2） （x+3）0 的解是（ ） Ax2 Bx3 Cx12，x23 Dx12，x23 3用配方法解方程 x26x80
2、 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 4将抛物线 y2x2平移，得到抛物线 y2（x+4）2+1，下列平移正确的是（ ） A先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 5在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有 x 个队参赛，根据题意， 可列方程为（ ） Ax（x1）36 Bx（x+1）36 Cx（x1）36 Dx（x+1）36 6已知点 A（
3、4，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在函数 y3（x2）2+m（m 为常数）的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1y2 Dy2y1y3 7利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案如图 2 中的图案是由图 1 所示的基本图案以点 O 为旋转中 心，顺时针（或逆时针）旋转角度 ，依次旋转五次而组成，则旋转角 的值不可能是（ ） A36 B72 C144 D216 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aabc0 B2a+b0 C关于 x 的方程 ax2+bx+c+30 有两个相等的实数根 D9
4、a+3b+c0 9对于二次函数 yx2+bx+c（b，c 是常数）中自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 下列结论正确的是（ ） A函数图象开口向下 B当 x5 时，y10 C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D方程 x2+bx+c0 有两个不相等的实数根 10日历中含有丰富的数学知识，如在图 1 所示的日历中用阴影圈出 9 个数，这 9 个数的大小之间存在着 某种规律小慧在 2020 年某月的日历中也按图 1 所示方式圈出 9 个数（如图 2） ，发现这 9 个数中最大 的数与最小的数乘积是 297，则这 9 个数中，中
5、间的数 e 是（ ） A17 B18 C19 D20 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11在平面直角坐标系中，已知点 A（4，3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 12已知关于 x 的一元二次方程 x2kx+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 13 “十三五”时期，我国新型城镇化建设坚持以人的城镇化为核心，更加注重提升人民群众的获得感和幸 福感2019 年，我国城镇常住人口达到 84843 万人，常住人口城镇化率为超过 60%如图是 2015 年 2019 年我国城镇常住人口统计图若设 2017 年到 2019 年我国城镇常住人口的年平均
6、增长率为 x，则可 列方程 14 如图， 在 RtABC 中， C90， BAC30， AB4 将ABC 以点 A 为中心， 逆时针旋转 60， 得到ABC，连接 BC则 BC 15 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁古时乾隆皇 帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月” ，立碑于桥 头卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 OA 约为 22 米，若按如图所示方式建立平面 直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为 y（x11）2+k，则主桥拱最高点 P 与其在水中 倒影 P之间的距离为 米 三、解答题
7、（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）求出抛物线 y3x2+12x9 与 x 轴，y 轴的交点坐标； （2）已知抛物线的顶点坐标为（2，4） ，且经过点（0，1） ，求出该抛物线的函数关系表达式 17 （5 分）如图，O 中，AC，AB 与 CD 交于点 P求证 DPBP 18 （6 分）利用如图所示正方形网格，解决下列问题 实践操作： （1）将ABC 以点 O 为中心，顺时针旋转 90得到A1B1C1，画出A1B1C1； （2）作出ABC 关于 x 轴
8、对称的A2B2C2 观察发现： （3）A1B1C1经过一次图形变化就可以得到A2B2C2，这种图形变化是 （填“平移” “旋转” 或“轴对称” ） 19 （10 分）阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用 “配方法、 公式法、 因式分解法” 解一元二次方程， 对于关于 x 的一元二次方程 x2+px+q 0，还可以利用下面的方法求解 将方程整理，得 x（x+p）q第 1 步 变形得第 2 步 得q第 3 步 于是得q，即第 4 步 当 p24q0 时，得 x+第 5 步 得 x1，x2第 6 步 当 p24q0 时，该方程无实数解第 7 步 学习任务： （1） 上述材料的第 2 步到
9、第 3 步依据的一个数学公式是 ； 以第 4 步到第 5 步将一元二次方程 “降 次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 （2）请用材料中提供的方法，解下列方程： x2+10 x+90； 2x2+6x30 20 （10 分）图 1 所示是某广场地面示意图，该地面是由图 2 所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的 同学测量图 2 所示地砖，得到 AB100cm，AEAHCFCG，且 AEBE于是他们抽象出如下两个 数学问题： 问题（1） ：若中间区域 EFGH 的边 EF2EH，求 AE 的长度； 问题（2） ：若中间区域 EFGH 的面积为 4800cm2，求 AE 的长度 请你帮助他
10、们解决上面的两个问题 21 （10 分）新冠疫情发生以来，中国蓬勃发展的消费市场、数字经济成为经济发展新的增长点，短视频和 直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金 秋消费季”为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品公司在直播带货销售期间发现， 该农产品每天的销售量 y （kg） 与销售单价 x （元/kg） 之间近似满足一次函数关系， 其函数图象如图所示： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该农产品的成本价为 10 元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为 W 元，求：当销售单价 x 为多少元/千克时，每天的销售利
11、润最大？最大利润为多少元？ 22 （12 分）综合与实践 问题情境 从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图 形具有的普遍规律 如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 上一点，将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC，AD 的延长线交线段 BF 于点 P探究线段 EP，FP，BP 之 间的数量关系 数学思考 （1）请你在图 1 中证明 APBF； 特例探究 （2）如图 2，当 CE 垂直于 AD 时，求证：EP+FP2BP； 类比再探 （3）请判断（2）的结论在图 1 中是否仍然
12、成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 23 （12 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（0，4） ，B（1，0） ，与 x 轴交于另一点 C（点 C 在点 B 的右侧） ， 点 P（m，n）是第四象限内抛物线上的动点 （1）求抛物线的函数解析式及点 C 的坐标； （2）若APC 的面积为 S，请直接写出 S 关于 m 的函数关系表达式，并求出当 m 的值为多少时，S 的值 最大？最大值为多少？ （3）是否存在点 P，使得PCOACB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2020-2021 学学年山西省吕梁市孝义市九年级（上）期中数学试卷年山西省吕梁市
13、孝义市九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1 “保护生态，人人有责” 下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图
14、形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 2方程（x2） （x+3）0 的解是（ ） Ax2 Bx3 Cx12，x23 Dx12，x23 【分析】根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解： （x2） （x+3）0， x20，x+30， x12，x23， 故选：D 3用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果 【解答】解：用配方法解方程 x26x80 时，配方结果为（x3）217， 故选：A 4将抛物线 y2x
15、2平移，得到抛物线 y2（x+4）2+1，下列平移正确的是（ ） A先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 B先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 C先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位 D先向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位 【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况 【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ，抛物线 y2（x+4）2+1 的顶点坐标为（4，1） ，而 点（0，0）先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位可得到点（4，1） ， 所以抛物线 y2x2先向左平移 4 个单位，再向上平移
16、 1 个单位得到抛物线 y2（x+4）2+1 故选：A 5在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛 36 场设有 x 个队参赛，根据题意， 可列方程为（ ） Ax（x1）36 Bx（x+1）36 Cx（x1）36 Dx（x+1）36 【分析】关系式为：球队总数每支球队需赛的场数236，把相关数值代入即可 【解答】解：设有 x 个队参赛，根据题意，可列方程为： x（x1）36， 故选：A 6已知点 A（4，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3）在函数 y3（x2）2+m（m 为常数）的图象上，则 y1， y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y1
17、y2 Dy2y1y3 【分析】对二次函数 y3（x2）2+m，对称轴 x2，在对称轴两侧时，则三点的横坐标离对称轴越 近，则纵坐标越大，由此判断 y1、y2、y3的大小 【解答】解：在二次函数 y3（x2）2+m，对称轴 x2， 在图象上的三点 A（4，y1） ，B（1，y2） ，C（3，y3） ，点 C（3，y3）离对称轴的距离最远，B（1， y2）离对称轴的距离最近， y2y1y3， 故选：D 7利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案如图 2 中的图案是由图 1 所示的基本图案以点 O 为旋转中 心，顺时针（或逆时针）旋转角度 ，依次旋转五次而组成，则旋转角 的值不可能是（ ） A36 B
18、72 C144 D216 【分析】根据图形间的关系可得答案 【解答】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度 ，依次旋转五次而组成， 这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转五次旋转而得到， 每次旋转的度数为 360除以 5 为 72，即旋转角是 72的倍数， 故旋转角 的值不可能是 36 故选：A 8二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Aabc0 B2a+b0 C关于 x 的方程 ax2+bx+c+30 有两个相等的实数根 D9a+3b+c0 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根
19、据 对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：A、抛物线开口向下，则 a0，对称轴在 y 轴右侧，则 ab 异号，而 c0，则 abc0，故 本选项不符合题意 B、函数对称轴 x1，则 2a+b0，故本选项不符合题意 C、关于 x 的方程 ax2+bx+c+30 的解就是抛物线 yax2+bx+c 与直线 y3 的交点，根据抛物线的性 质知， 它们有两个交点， 则关于 x 的方程 ax2+bx+c+30 有两个不相等的实数根， 故本选项不符合题意 D、由抛物线的对称性知，当 x3 时，y0，即 9a+3b+c0，故本选项符合题意 故选：D 9对于二次函数 y
20、x2+bx+c（b，c 是常数）中自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 1 0 1 2 3 4 y 10 5 2 1 2 5 下列结论正确的是（ ） A函数图象开口向下 B当 x5 时，y10 C当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D方程 x2+bx+c0 有两个不相等的实数根 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以 解答本题 【解答】解：由表格可得，当 x2 时，y 随 x 的值增大而减小；当 x2 时，y 随 x 的值增大而增大， 该函数开口向上，故选项 A、C 不符合题意； 由表格可得，当 x1 和点 x3 时，y2，故
21、该抛物线的对称轴是直线 x2 点（1，10）的对称点是（5，10） ， 点（5，10）在该函数的图象上，故选项 B 符合题意； 由表格可得，该抛物线开口向上，且最小值是 1，则该抛物线与 x 轴没有交点， 方程 x2+bx+c0 无实数根，故选项 D 不符合题意 故选：B 10日历中含有丰富的数学知识，如在图 1 所示的日历中用阴影圈出 9 个数，这 9 个数的大小之间存在着 某种规律小慧在 2020 年某月的日历中也按图 1 所示方式圈出 9 个数（如图 2） ，发现这 9 个数中最大 的数与最小的数乘积是 297，则这 9 个数中，中间的数 e 是（ ） A17 B18 C19 D20 【
22、分析】根据日历表中各数之间的关系可找出 ae8，ie+8，根据这 9 个数中最大的数与最小的数乘 积是 297，即可得出关于 e 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：由图 1 可知：ae8，ie+8， 依题意得：ai297， 即（e8） （e+8）297， 整理得：e2361， 解得：e119，e219（不合题意，舍去） 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 11在平面直角坐标系中，已知点 A（4，3）与点 B 关于原点对称，则点 B 的坐标是 （4，3） 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案 【解答】解：点 A（4，3）与
23、点 B 关于原点对称， 点 B 的坐标是（4，3） 故答案为： （4，3） 12已知关于 x 的一元二次方程 x2kx+k0 有两个相等的实数根，则 k 的值是 0 或4 【分析】利用判别式的意义得到（k）24k0，然后解关于 k 的方程即可 【解答】解：根据题意得（k）24k0， 解得 k10，k24， 所以 k 的值为 0 或4 故答案为 0 或4 13 “十三五”时期，我国新型城镇化建设坚持以人的城镇化为核心，更加注重提升人民群众的获得感和幸 福感2019 年，我国城镇常住人口达到 84843 万人，常住人口城镇化率为超过 60%如图是 2015 年 2019 年我国城镇常住人口统计图若
24、设 2017 年到 2019 年我国城镇常住人口的年平均增长率为 x，则可 列方程 81347（1+x）284843 【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的城镇常住人口（1+增长率）22019 年的城镇常住人口， 根据等量关系列出方程即可 【解答】解：设 2017 年到 2019 年我国城镇常住人口的年平均增长率为 x，则可列方程 81347（1+x）2 84843， 故答案为：81347（1+x）284843 14 如图， 在 RtABC 中， C90， BAC30， AB4 将ABC 以点 A 为中心， 逆时针旋转 60， 得到ABC，连接 BC则 BC 2 【分析】 由直角三角形的
25、性质可得 BCAB2， ACBC2， 由旋转的性质可得 ACAC2， CAC60，由勾股定理可求解 【解答】解：C90，BAC30，AB4， BCAB2，ACBC2， 将ABC 以点 A 为中心，逆时针旋转 60，得到ABC， ACAC2，CAC60， BAC90， BC2， 故答案为：2 15 “卢沟晓月”是著名的北京八景之一，每当黎明斜月西沉，月色倒影水中，更显明媚皎洁古时乾隆皇 帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月” ，立碑于桥 头卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度 OA 约为 22 米，若按如图所示方式建立平面 直角坐标系，则主
26、桥拱所在抛物线可以表示为 y（x11）2+k，则主桥拱最高点 P 与其在水中 倒影 P之间的距离为 26 米 【分析】把 A（22，0）代入 y（x11）2+k 求出 k，根据镜面对称可得 PP2k，即可求得结 果 【解答】解：由二次函数的图象可知，A（22，0）在抛物线上， 把 A（22，0）代入 y（x11）2+k 得： 0（2211）2+k， 解得：k13， y（x11）2+13， P 和 P关于 x 轴对称， PP21326（米） ， 故答案为：26 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，共个小题，共 75 分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答题应写出文字
27、说明、证明过程或演算步骤） 16 （10 分） （1）求出抛物线 y3x2+12x9 与 x 轴，y 轴的交点坐标； （2）已知抛物线的顶点坐标为（2，4） ，且经过点（0，1） ，求出该抛物线的函数关系表达式 【分析】 （1）令 x0，求得 y2，得到抛物线与 y 轴的交点坐标，令 y0 得3x2+12x90，可求得 抛物线与 x 轴交点的坐标； （2）设顶点式 ya（x2）24，然后把（0，1）代入求出 a 即可得到抛物线解析式 【解答】解： （1）令 x0 得 y9， 抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，9） 令 y0 得：3x2+12x90， 解得：x1 或 x3 抛物线与 x 轴的交点
28、坐标为（1，0）和（3，0） （2）设抛物线的解析式为 ya（x2）24， 把（0，1）代入得1a（02）24，解得 a， 所以二次函数表达式为 y（x2）24 17 （5 分）如图，O 中，AC，AB 与 CD 交于点 P求证 DPBP 【分析】 求出， 根据圆心角、 弧、 弦之间的关系求出 ADCB， 根据全等三角形的判定得出ADP CBP，根据全等三角形的性质得出即可 【解答】证明：， ， ADCB， 在ADP 和CBP 中， ， ADPCBP（AAS） ， DPBP 18 （6 分）利用如图所示正方形网格，解决下列问题 实践操作： （1）将ABC 以点 O 为中心，顺时针旋转 90得到
29、A1B1C1，画出A1B1C1； （2）作出ABC 关于 x 轴对称的A2B2C2 观察发现： （3） A1B1C1经过一次图形变化就可以得到A2B2C2， 这种图形变化是 轴对称 （填 “平移” “旋转” 或“轴对称” ） 【分析】 （1）分别作出三个顶点以点 O 为中心，顺时针旋转 90得到对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于 x 轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）结合图形可得答案 【解答】解： （1）如图所示，A1B1C1即为所求； （2）如图所示，A2B2C2即为所求 （3）如图所示，A1B1C1与A2B2C2关于直线 yx 对称， 故答案为：轴对称 19 （
30、10 分）阅读下列材料，完成相应任务： 我们已经学习过利用 “配方法、 公式法、 因式分解法” 解一元二次方程， 对于关于 x 的一元二次方程 x2+px+q 0，还可以利用下面的方法求解 将方程整理，得 x（x+p）q第 1 步 变形得第 2 步 得q第 3 步 于是得q，即第 4 步 当 p24q0 时，得 x+第 5 步 得 x1，x2第 6 步 当 p24q0 时，该方程无实数解第 7 步 学习任务： （1） 上述材料的第 2 步到第 3 步依据的一个数学公式是 平方差公式 ； 以第 4 步到第 5 步将一元二次 方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是 转化 （2）请用材
31、料中提供的方法，解下列方程： x2+10 x+90； 2x2+6x30 【分析】 （1）观察阅读材料中的方法，确定出公式及数学思想即可； （2）仿照材料中的方法求出方程的解即可 【解答】解： （1）上述材料的第 2 步到第 3 步依据的一个数学公式是平方差公式；以第 4 步到第 5 步将 一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想主要是转化； 故答案为：平方差公式，转化； （2）x2+10 x+90， 方程整理得：x（x+10）9， 变形得： （x+55） （x+5+5）9， 得： （x+5）2259， 于是得： （x+5）216， 开方得：x+54 或 x+54， 解得：x11，
32、x29； 2x2+6x30， 方程整理得：x（x+3）， 变形得： （x+） （x+）， 得： （x+）2， 于是得： （x+）2， 开方得：x+或 x+， 解得：x1，x2 20 （10 分）图 1 所示是某广场地面示意图，该地面是由图 2 所示正方形地砖铺砌而成，某综合实践小组的 同学测量图 2 所示地砖，得到 AB100cm，AEAHCFCG，且 AEBE于是他们抽象出如下两个 数学问题： 问题（1） ：若中间区域 EFGH 的边 EF2EH，求 AE 的长度； 问题（2） ：若中间区域 EFGH 的面积为 4800cm2，求 AE 的长度 请你帮助他们解决上面的两个问题 【分析】问题
33、1：由正方形的性质可求 BEDHDGBF（100AE）cm，即可求解； 问题 2：由面积和差关系列出方程可求解 【解答】解：问题 1：AB100cm，AEAHCFCG， BEDHDGBF（100AE） （cm） ，EHAE（cm） ， EFBE（cm） ， EF2EH， BE2AE， 100AE2AE， AE（cm） ； 问题 2：AB100cm，AEAHCFCG， BEDHDGBF（100AE） （cm） ，EHAE（cm） ， EFBE（cm） ， EFGH 的面积为 4800cm2， 1002AE2BE24800， AE（100AE）4800， 又AEBE AE40（cm） 21 （10
34、 分）新冠疫情发生以来，中国蓬勃发展的消费市场、数字经济成为经济发展新的增长点，短视频和 直播带货等新零售的快速崛起，让中国互联网经济持续火爆吕梁某乡镇农贸公司以“吕梁有好礼，金 秋消费季”为主题，开展直播带货活动，销售当地的一种特色农产品公司在直播带货销售期间发现， 该农产品每天的销售量 y （kg） 与销售单价 x （元/kg） 之间近似满足一次函数关系， 其函数图象如图所示： （1）求出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该农产品的成本价为 10 元/千克，该农贸公司每天销售该特产的利润为 W 元，求：当销售单价 x 为多少元/千克时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【分析
35、】 （1）由图象知，设 ykx+b，将（14，640） ， （30，320）代入解析式列方程组，解方程组即可 得到结论； （2）求得函数解析式为 W（x10） （20 x+920）20（x28）2+6480，根据二次函数的性质即可 得到结论 【解答】解： （1）设 ykx+b（k0） ， 将（14，640） ， （30，320）代入得：， 解得：， y 与 x 之间的函数关系式为 y20 x+920； （2）由题意得：W（x10） （20 x+920）20（x28）2+6480， 则对称轴是 x28， 200， 当销售单价 x 为 28 元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为 6480 元
36、 22 （12 分）综合与实践 问题情境 从“特殊到一般”是数学探究的常用方法之一，类比特殊图形中的数量关系和探究方法可以发现一般图 形具有的普遍规律 如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 上一点，将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC，AD 的延长线交线段 BF 于点 P探究线段 EP，FP，BP 之 间的数量关系 数学思考 （1）请你在图 1 中证明 APBF； 特例探究 （2）如图 2，当 CE 垂直于 AD 时，求证：EP+FP2BP； 类比再探 （3）请判断（2）的结论在图 1 中是否仍然成立？若成立，请证明；若不
37、成立，请说明理由 【分析】 （1）由旋转的性质可得CAECBF，由余角的性质可求APB90，可得结论； （2）先证四边形 CEPF 是正方形，可得 EPPFCECF，EPF90，由“AAS”可证CDE BDP，可得 CEBP，可得结论； （3）过点 C 作 CNAD 于 N，作 CMBF，交 BF 的延长线于 M，先证四边形 CNPM 是正方形，可得 CNCMNPMP，由“AAS”可证CDNBDP，可得 CNBP，由线段的和差关系可求解 【解答】证明： （1）如图 1，将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC， AECBFC， CAECBF， ACB90， CAE+EAB+C
38、BA90， CBF+EAB+CBA90， APB90， APBF； （2）如图 2，CEAD， AEC90CEP， 将AEC 以点 C 为旋转中心，逆时针旋转 90得到BFC， AECBFC，ECF90， AECBFC90，CECF， 四边形 CEPF 是正方形， EPPFCECF，EPF90， AD 为 BC 边上的中线， CDBD， 又CDEBDP，CEDBPD90， CDEBDP（AAS） ， CEBP， EPPFBP， EP+FP2BP； （3）结论仍然成立， 理由如下：如图 1，过点 C 作 CNAD 于 N，作 CMBF，交 BF 的延长线于 M， 将AEC 以点 C 为旋转中心，
39、逆时针旋转 90得到BFC， CAECBF，CECF， ACB90， CAE+EAB+CBA90， CBF+EAB+CBA90， APB90， 又CNAD，CMBM， 四边形 CNPM 是矩形， CAECBF，ANCBMC90，ACBC， ACNBCM（AAS） ， CMCN， 四边形 CNPM 是正方形， CNCMNPMP， AD 为 BC 边上的中线， CDBD， 又CDNBDP，CNDBPD90， CDNBDP（AAS） ， CNBP， CNBPNPMP， EP+FPEN+NP+FPNP+MF+PFNP+MP2BP 23 （12 分）综合与探究 如图，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A
40、（0，4） ，B（1，0） ，与 x 轴交于另一点 C（点 C 在点 B 的右侧） ， 点 P（m，n）是第四象限内抛物线上的动点 （1）求抛物线的函数解析式及点 C 的坐标； （2）若APC 的面积为 S，请直接写出 S 关于 m 的函数关系表达式，并求出当 m 的值为多少时，S 的值 最大？最大值为多少？ （3）是否存在点 P，使得PCOACB？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）由 SSPHA+SPHCPHCO，即可求解； （3）PCOACB，即射线 CP 和 CA 关于 x 轴对称，则设直线 PC 的
41、表达式为 yx+r，求出直线 PC 的表达式为 yx4，进而求解 【解答】解： （1）将点 A、B 的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为 yx2x+4， 令 yx2x+40，解得 x1 或 5， 故点 C 的坐标为（5，0） ； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 AC 于点 H， 设直线 AC 的表达式为 ykx+t，则，解得， 故直线 AC 的表达式为 yx+4， 点 P 的坐标为（m，n） ，则 nym2m+4， 则点 H（m，m+4） ， 则 SSPHA+SPHCPHCO（m+4m2+m4）52m2+10m（0m5） ； （3）存在，理由： PCOACB，即射线 CP 和 CA 关于 x 轴对称， 则设直线 PC 的表达式为 yx+r， 将点 C 的坐标代入上式得：05+r，解得 r4， 故直线 PC 的表达式为 yx4， 联立得：x2x+4x4，解得 x2 或 5（舍去 5） ， 当 x2 时，yx4， 故点 P 的坐标为（2，）