1、2021 年佛山市中考数学一模模拟试卷年佛山市中考数学一模模拟试卷 一、选择题（一、选择题（本大题本大题 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的， 请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑 12020 的倒数是（ ） A2020 B2020 C 1 2020 D 1 2020 2下列四个图分别是我国四家航空公司的 logo，其中属于中心对称图形的是（ ） A B CD 南方航空 东海航空 重庆航空 海南航空 34 月 24 日是中国航天日，1970 年的这
2、一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号” 成 功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439000 米，将 439000 用科学记 数法表示应为（ ） A0.439106 B4.39106 C4.39105 D439103 4如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A B C D 5 3 5如图，ABCD，ACBC，BAC65，则BCD 的度数等于（ ） A20 B25 C35 D50 6我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定 9 名同学参加决赛，他们的决赛 成绩各不相同， 其中小辉已经知道自己的成
3、绩， 但能否进前5 名， 他还必须清楚这9 名同学成绩的 （ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 7下列命题正确的是（ ） A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是正方形 C16 的平方根是4 D有两条边对应相等的两个直角三角形全等 8关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 9如图，在三角形 ABC 中，ABAC，BC6，三角形 DEF 的周长是 7，AFBC 于 F，BEAC 于 E， 且点 D 是 AB 的中点，则 AF（ ） A B C D7
4、10 已知二次函数 yax2+bx+c （a0） 的图象如图所示， 对称轴为 x 1 下列结论中， 正确的是 （ ） 2 Aabc0 Ba+b0 C2b+c0 D4a+c2b 二、填空题（二、填空题（本大题本大题 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置 上上 11因式分解：x2y4y 12在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有 3 个红球，每次将球充分搅匀 后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 0.25 左 右，
5、则白球的个数约为 13端午节那天， “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买 了 3 个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方程为 14 如图， 在ABC 中， CD 平分ACB， DEBC， 交 AC 于点 E 若AED50， 则D 的度数为 15如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60，此时航 拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 米 16观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形中共
6、有 个 17如图，已知点 A 在反比例函数 y k （x0）上，作 RtABC，点 D 是斜边 AC 的中点，连接 DB 并 x 延长交 y 轴于点 E，若BCE 的面积为 7，则 k 的值为 三、解答题（一三、解答题（一） （本大题本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18计算： 19先化简，再求值： 其中 a5 20如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角A108 （1）在 BC 上作一点 D，使 ADCD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） （2）求证：ABD 是等腰三角形 四、解答题（二）四、解答题（二） （本大题（本大题 3 小题，每小题小
7、题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去年销量较好 的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 A、B、C、D 表示）这四种不同口味粽子的 喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整） 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中 C 所对圆心角的度数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画树状图的方法， 求他第二个吃到的恰好是 C 粽
8、的概率 22某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑经招投标，购买一台电子白板比购买 2 台台式电脑多 3000 元，购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共需 2.7 万元 （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为 24，并且台式电脑的台数不超过电子白 板台数的 3 倍问怎样购买最省钱？ 23如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AEBC 交 CB 延长线于 E，CFAE 交 AD 延长 线于点 F （1）求证：四边形 AECF 为矩形； （2）连接 OE，若 AE4，AD5，求 tanO
9、EC 的值 五、解答题（三五、解答题（三） （本大题本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24如图，在RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心，OC 为半径作O （1）求证：AB 是O 的切线 （2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD 1 ，求 AE 2 AC （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 的值 25如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式；
10、 （2）如图 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNM BMD，请求出点 M 的坐标 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）2020 的倒数是（ ） A2020 B2020 CD 【分析】乘积是 1 的两数互为倒数依据倒数的定义回答即可 【解答】解：2020 的倒数是， 故选：D 【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义
11、是解题的关键 2 （3 分）下列四个图分别是我国四家航空公司的 logo，其中属于中心对称图形的是（ ） A南方航空 B东海航空 C重庆航空 D海南航空 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的 图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案 【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心 3 （3 分）4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这
12、一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方 红一号” 成功发射， 标志着中国从此进入了太空时代， 它的运行轨道， 距地球最近点 439000 米， 将 439000 用科学记数法表示应为（ ） A0.439106 B4.39106 C4.39105 D439103 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 2 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 439000 用科学记数法表示为 4.39105 故选：C 【
13、点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）如图是一个由 6 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） AB C D 【分析】画出从正面看到的图形即可得到它的主视图 【解答】解：从正面看，共有 3 列，每列的小正方形的个数从左到右依次为 1、1、2 故选：B 【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象， 再画它的三视图 5 （3 分）如图，ABCD，ACBC，BAC65，则BCD 的度数等于（ ） A20 B25 C3
14、5 D50 【分析】首先，根据直角三角形的性质，可求出ABC 的度数，然后，根据平行线的性质，可得ABC BCD，即可解答出 【解答】解：ACBC，BAC65， ABC90BAC906525， ABCD， 3 BCDABC， BCD25 故选：B 【点评】本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握两直线平行线，内错角相等 6 （3 分）我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定 9 名同学参加决赛，他 们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前 5 名，他还必须清楚这 9 名同学成 绩的（ ） A众数 B平均数 C中位数 D方差 【分析】9 人
15、成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名，只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 名的成绩是中位数，要判断是否进入前 5 名，故应知道自己的成绩和中位数 故选：C 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义反映数据集中程度的 统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 7 （3 分）下列命题正确的是（ ） A一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B对角线相等的平行四边形是正方形 C16 的平方根是4 D有两
16、条边对应相等的两个直角三角形全等 【分析】根据平行四边形和等腰梯形的判定定理、矩形的判定定理、平方根的概念、全等三角形的判定 定理判断即可 【解答】 解： A、 一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形， 本选项说法错误； B、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法错误； C、16 的平方根是4，本选项说法正确； D、有两条边对应相等的两个直角三角形不一定全等，本选项说法错误； 故选：C 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真 假关键是要熟悉课本中的性质定理 8 （3 分）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x+10
17、有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ） 4 Ak0 Bk0 Ck0 且 k1 Dk0 且 k1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且（2）24（k+1）0，然后求 出两个不等式的公共部分即可 【解答】解：根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）0， 解得 k0 且 k1 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程 无实数根 9 （3 分）如图，在三角形 ABC 中，ABAC，BC6，三角形 DEF 的周长是 7
18、，AFBC 于 F，BEAC 于 E，且点 D 是 AB 的中点，则 AF（ ） A B C D7 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 DEDFAB，EFBC，然后代入数 据计算即可得解 【解答】解：AFBC，BEAC，D 是 AB 的中点， DEDFAB， ABAC，AFBC， 点 F 是 BC 的中点，BFFC3， BEAC， EFBC3， DEF 的周长DE+DF+EFAB+37， AB4， 由勾股定理知 AF， 故选：B 5 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟 记各性质是解题的关键 10 （3 分）已知二次函数
19、yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为 x下列结论中，正确 的是（ ） Aabc0 Ba+b0 C2b+c0 D4a+c2b 【分析】由二次函数的性质，即可确定 a，b，c 的符号，即可判定 A 是错误的；又由对称轴为 x， 即可求得 ab；由当 x1 时，a+b+c0，即可判定 C 错误；然后由抛物线与 x 轴交点坐标的特点，判 定 D 正确 【解答】解：A、开口向上， a0， 抛物线与 y 轴交于负半轴， c0， 对称轴在 y 轴左侧， 0， b0， abc0， 故 A 选项错误； B、对称轴：x， ab， 故 B 选项错误； C、当 x1 时，a+b+c2b+c0， 故 C
20、选项错误； D、对称轴为 x，与 x 轴的一个交点的取值范围为 x11， 与 x 轴的另一个交点的取值范围为 x22， 6 当 x2 时，4a2b+c0， 即 4a+c2b， 故 D 选项正确 故选：D 【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应 用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 28 分，每小题分，每小题 4 分）分） 11 （4 分）因式分解：x2y4y y（x2） （x+2） 【分析】首先提取公因式 y，再利用平方差公式分解因式即可 【解答】解：x2y4yy（x24
21、）y（x2） （x+2） 故答案为：y（x2） （x+2） 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键 12 （4 分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有 3 个红球，每次将球充 分搅匀后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 0.25 左右，则白球的个数约为 9 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球 的频率稳定在 0.25 左右得到比例关系，列出方程求解即可 【解答】解：设白球的个数约为 a，根据题意得， 解得：a9， 经
22、检验：a9 是分式方程的解， 故答案为：9 【点评】本题考查利用频率估计概率，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率关键是根据 红球的频率得到相应的等量关系 13 （4 分）端午节那天， “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱，比平 时多买了 3 个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方程为 +3 【分析】根据端午节那天， “味美早餐店”的粽子打 9 折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了 54 元钱， 比平时多买了 3 个，设平时每个粽子卖 x 元，可以列出相应的分式方程 【解答】解：由题意可得， +3， 7 故答案为：+3 【点评】本
23、题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出 相应的分式方程 14 （4 分）如图，在ABC 中，CD 平分ACB，DEBC，交 AC 于点 E若AED50，则D 的度 数为 25 【分析】根据平行线的性质求得ACB 度数，然后根据角平分线的定义求得DCB 的度数，然后利用 两直线平行，内错角相等即可求解 【解答】解：DEBC，AED50， ACBAED50， CD 平分ACB， BCDACB25， DEBC， DBCD25， 故答案为：25 【点评】本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目 15 （4 分）如图，航拍无人机从 A 处
24、测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 30，测得底部 C 的俯角为 60， 此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 60 米，那么该建筑物的高度 BC 约为 80 米 【分析】分别利用锐角三角函数关系得出 BD，DC 的长，进而求出该建筑物的高度 【解答】解：由题意可得：tan30， 解得：BD20（米） ， tan60， 解得：DC60（米） ， 8 故该建筑物的高度为：BCBD+DC80（米） 故答案为 80 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键 16 （4 分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 2019 个图形
25、中 共有 6056 个 【分析】根据已知图形得出第 n 个图形中圆的个数为 2n+n1，据此可得 【解答】解：第一个图形中圆的个数 221+0， 第二个图形中圆的个数 522+1， 第三个图形中圆的个数 823+2， 第四个图形中圆的个数 1124+3， 第 2019 个图形中圆的个数为 22019+20186056， 故答案为：6056 【点评】本题主要考查图形的变化规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什 么规律变化的 17 （4 分）如图，已知点 A 在反比例函数 y（x0）上，作 RtABC，点 D 是斜边 AC 的中点，连接 DB 并延长交 y 轴于点 E，若BC
26、E 的面积为 7，则 k 的值为 14 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义，证明ABCEOB，根据相似比求出 BABO 的值，从 而求出AOB 的面积 【解答】解：连接 OA BCE 的面积为 7， 9 BCOE7， BCOE14， 点 D 为斜边 AC 的中点， BDDCAD， DBCDCBEBO， 又EOBABC90， EOBABC， ， ABOBBCOE， OBAB， kABBOBCOE14， 故答案为 14 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，解决本题的关键是证明EOBABC，得到 AB OBBCOE 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 62 分）
27、分） 18 （6 分）计算：2sin60+|2|+（1） 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式2+21+2 +21+2 3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 19 （6 分）先化简，再求值：，其中 a5 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 10 【解答】解：原式 ， 当 a5 时， 原式1 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则 20 （6 分）如图，已知等腰三角形 ABC 的顶角A108 （1）在 BC 上作一点 D，使
28、 ADCD（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） （2）求证：ABD 是等腰三角形 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质即可在 BC 上作一点 D，使 ADCD； （2）结合（1）根据等腰三角形的判定即可证明ABD 是等腰三角形 【解答】解： （1）如图，点 D 即为所求； （2）连接 AD， ABAC，A108， BC36， 由（1）得：ADCD， DACC36， ADBDAC+C72，BADBACDAC1083672， BADBDA， ABBD， ABD 是等腰三角形 【点评】本题考查了作图基本作图、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分 11 线的性质和
29、等腰三角形的判定与性质 21 （8 分） “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗我市某食品厂为了解市民对去 年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用 A、B、C、D 表示）这四种不同 口味粽子的喜爱情况， 在节前对某居民区市民进行了抽样调查， 并将调查情况绘制成如下两幅统计图 （尚 不完整） 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）求扇形统计图中 C 所对圆心角的度数； （4）若有外型完全相同的 A、B、C、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个用列表或画树状图的方法， 求他第二个吃到的恰好是 C 粽
30、的概率 【分析】 （1）根据 B 类有 60 人，所占的百分比是 10%即可求解； （2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得 C 类型的人数，然后根据百分比的意义求解； （3）利用 360乘以对应的百分比即可求解； （4）利用列举法即可求解 【解答】解： （1）本次参加抽样调查的居民人数是：6010%600（人） ； （2）C 类的人数是：60018060240120（人） ， C 类所占的百分比是：100%20%， A 类所占的百分比是：100%30% ； （3）扇形统计图中 C 所对圆心角的度数是：36020%72； （4）画树状图如下： 12 则他第二个吃到的恰好是 C 粽的概率是：
31、【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要 的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总 体的百分比大小 22 （8 分）资中某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和台式电脑经招投标，购买一台电子 白板比购买 2 台台式电脑多 3000 元，购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共需 2.7 万元 （1）求购买一台电子白板和一台台式电脑各需多少元？ （2）根据该校实际情况，购买电子白板和台式电脑的总台数为 24，并且台式电脑的台数不超过电子白 板台数的 3 倍问怎样购买最省钱？ 【分析】 （1
32、）先设购买一台电子白板需 x 元，一台台式电脑需 y 元，根据购买一台电子白板比购买 2 台 台式电脑多 3000 元， 购买 2 台电子白板和 3 台台式电脑共需 2.7 万元列出方程组， 求出 x， y 的值即可； （2）先设需购买电子白板 a 台，则购买台式电脑（24a）台，根据台式电脑的台数不超过电子白板台 数的 3 倍列出不等式，求出 a 的取值范围，再设总费用为 w 元，根据一台电子白板和一台台式电脑的 价格列出 w 与 a 的函数解析式，根据一次函数的性质，即可得出最省钱的方案 【解答】解： （1）设购买一台电子白板需 x 元，一台台式电脑需 y 元， 根据题意得：，解得： 答：
33、购买一台电子白板需 9000 元，一台台式电脑需 3000 元； （2）设需购买电子白板 a 台，则购买台式电脑（24a）台， 根据题意得：24a3a， 解得：a6， 设总费用为 w 元，则 w9000a+3000（24a）6000a+72000， 60000， w 随 x 的增大而增大， a6 时，w 有最小值 答：购买电子白板 6 台，台式电脑 18 台最省钱 【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意， 找出题目中的等量关系与不等关系，列出关系式 13 23 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，AEBC 交
34、CB 延长线于 E，CFAE 交 AD 延长线于点 F （1）求证：四边形 AECF 为矩形； （2）连接 OE，若 AE4，AD5，求 tanOEC 的值 【分析】 （1）根据菱形的性质得到 ADBC，推出四边形 AECF 是平行四边形，根据矩形的判定定理即 可得到结论； （2）根据菱形的性质得到 ADABBC5，AOCO，求得OECOCE，根据矩形的性质得到 AEC90，根据勾股定理得到 BE3，由三角函数的定义即可得到结论 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形， ADBC， CFAE， 四边形 AECF 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECF 是矩形； （2）连接 OE，
35、 在菱形 ABCD 中，ADABBC5，AOCO， OECOCE， 由（1）知，四边形 AECF 为矩形； AEC90， AE4， BE3， CE3+58， tanOECtanACE 14 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键 24 （10 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，AO 是ABC 的角平分线以 O 为圆心，OC 为半径 作O （1）求证：AB 是O 的切线 （2）已知 AO 交O 于点 E，延长 AO 交O 于点 D，tanD，求的值 （3）在（2）的条件下，设O 的半径为 3，求 AB 的长 【分析】 （1）由于题目没有说
36、明直线 AB 与O 有交点，所以过点 O 作 OFAB 于点 F，然后证明 OC OF 即可； （2） 连接 CE， 先求证ACEODC， 然后可知ACEADC， 所以， 而 tanD； （3）由（2）可知，AC2AEAD，所以可求出 AE 和 AC 的长度，由（1）可知，OFBABC，所 以，然后利用勾股定理即可求得 AB 的长度 【解答】 （1）如图，过点 O 作 OFAB 于点 F， AO 平分CAB， OCAC，OFAB， OCOF， AB 是O 的切线； （2）如图，连接 CE， ED 是O 的直径， ECD90， 15 ECO+OCD90， ACB90， ACE+ECO90， AC
37、EOCD， OCOD， OCDODC， ACEODC， CAECAE， ACEADC， ， tanD， ， ； （3）由（2）可知：， 设 AEx，AC2x， ACEADC， ， AC2AEAD， （2x）2x（x+6） ， 解得：x2 或 x0（不合题意，舍去） ， AE2，AC4， 由（1）可知：ACAF4， OFBACB90， BB， OFBACB， ， 设 BFa， 16 BC， BOBCOC3， 在 RtBOF 中， BO2OF2+BF2， （3）232+a2， 解得：a或 a0（不合题意，舍去） ， ABAF+BF 【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明ACEADC本题涉及
38、勾股定理，解方程，圆 的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高 25 （10 分）如图 1，抛物线 yax2+bx+c（a0）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 BD 上方抛物线上一点，若 SPBD3，请求出点 P 的坐标 （3）如图 3，M 为线段 AB 上的一点，过点 M 作 MNBD，交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNM BMD，请求出点 M 的坐标 17 【分析】 （1）设抛物线的解析式为 ya（x1）2+4
39、，将点 B 的坐标代入求出 a 的值即可得出答案； （2）过点 P 作 PQy 轴交 DB 于点 Q，求出直线 BD 的解析式，设 P（m，m2+2m+3） ，则 Q（m， m+3） ，可得出 SPBDm，解方程可求出 m 的值，则答案可求出； （3）设 M（a，0） ，证明AMNABD，可得，再由DNMBMD，可得，得出 关于 a 的方程，解方程即可得出答案 【解答】解： （1）设抛物线的解析式为 ya（x1）2+4， 将点 B（3，0）代入得， （31）2a+40 解得：a1 抛物线的解析式为：y（x1）2+4x2+2x+3 （2）过点 P 作 PQy 轴交 DB 于点 Q， 抛物线的解析
40、式为 yx2+2x+3 D（0，3） 设直线 BD 的解析式为 ykx+n， ， 解得：， 直线 BD 的解析式为 yx+3 设 P（m，m2+2m+3） ，则 Q（m，m+3） ， PQm2+2m+3（m+3）m2+3m 18 SPBDSPQD+SPQB， SPBDPQ（3m）PQm， SPBD3， m3 解得：m11，m22 点 P 的坐标为（1，4）或（2，3） （3）B（3，0） ，D（0，3） ， BD3， 设 M（a，0） ， MNBD， AMNABD， ， 即 MN（1+a） ，DM， DNMBMD， ， DM2BDMN 9+a23（1+a） 解得：a或 a3（舍去） 点 M 的坐标为（，0） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和三 角形的面积；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，能灵活运用相似三角形的判定与 性质