1、2021 年中考一轮复习函数部分常考题型专题训练年中考一轮复习函数部分常考题型专题训练 1如图，若 a0，b0，c0，则抛物线 yax2+bx+c 的大致图象为（ ） ABCD 2把抛物线 yx2+1 向左平移 1 个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） Ay（x+1）2+1 By（x1）2+1 Cyx2+2 Dyx2 3点 P1（2，y1） ，P2（2，y2） ，P3（4，y3）均在二次函数 yx2+2x+c 的图象上，则 y1，y2，y3的大小 关系是（ ） Ay2y3y1 By2y1y3 Cy1y3y2 Dy1y2y3 4已知点 A（1，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是函数图
2、象上的三点，则 y1，y2，y3的大小关系是 （ ） Ay1y2y3 By2y3y1 Cy3y2y1 D无法确定 5如图，正方形 ABCD 的顶点 A 的坐标为（1，0） ，点 D 在反比例函数 y的图象上，B 点在反比例 函数 y的图象上，AB 的中点 E 在 y 轴上，则 m 的值为（ ） A2 B3 C6 D8 6已知非负数 a，b，c 满足 a+b2，c3a4，设 Sa2+b+c 的最大值为 m，最小值为 n，则 mn 的值 为（ ）A9 B8 C1 D 7如图，已知抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3，过其顶点 M 的一条直线 ykx+b 与该抛物线的另 一个交点为 N（1，1
3、） 要在坐标轴上找一点 P，使得PMN 的周长最小，则点 P 的坐标为（ ） A （0，2）B （，0）C （0，2）或（，0）D以上都不正确 8如图所示，已知二次函数 yax2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x 1直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C，D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3，则下列结 论：ab+c0；2a+b+c0；x（ax+b）a+b；a1其中正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 9如图，在反比例函数 y的图象上有一动点 A，连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B，在第二象限
4、内有一点 C，满足 ACBC，当点 A 运动时，点 C 始终在函数 y的图象上运动，若 tanCAB2，则 k 的值为（ ） A3 B6 C9 D12 10 如图， 点 A、 B 为直线 yx 上的两点， 过 A、 B 两点分别作 y 轴的平行线交双曲线（x0） 于点 C、 D 两点若 BD2AC，则 4OC2OD2的值为（ ） A5 B6 C7 D8 11甲、乙两名运动员同时从 A 地出发前往 B 地，在笔直的公路上进行骑自行车训练如图所示，反映了 甲、乙两名运动员在公路上进行训练时的行驶路程 S（千米）与行驶时间 t（小时）之间的关系，下列四 种说法：甲的速度为 40 千米/小时；乙的速度
5、始终为 50 千米/小时；行驶 1 小时时，乙在甲前 10 千米处；甲、乙两名运动员相距 5 千米时，t0.5 或 t2其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 12小飞研究二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）性质时得到如下结论： 这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上； 存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形； 点 A（x1，y1）与点 B（x2，y2）在函数图象上，若 x1x2，x1+x22m，则 y1y2； 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m2 其中错误结论的序号是（ ） A B C D
6、13如图，直线 yx 与 y（x0）的图象交于点 A，点 B 为 y 轴负半轴上一点，SAOB+1，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OCOB，连接 BC，BABC，则 k 14设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 m 个交点，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 n 个交 点，则所有可能的数对（m，n）是 15如图，点 A 的坐标为（1，0） ，点 B 的坐标为（0，2） ，点 C 在反比例函数 y（k0，x0）的图象 上，ACAB，过点 C 作 CDAB，交反比例函数于点 D，且 CD2AB，则 k 的值为 16如图，在平面直角坐标系中，菱形 OBCD 的边 O
7、B 在 x 轴正半轴上，反比例函数 y（x0）的图象 经过该菱形对角线的交点 A，且与边 BC 交于点 F若点 D 的坐标为（3，4） ，则点 F 的坐标是 17如图，在直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上，反比例 函数 y（k0，x0）的图象与正方形的两边 AB、BC 分别交于点 M、N，NDx 轴，垂足为 D，连 接 OM、ON、MN下列结论： OCNOAM；ONMN； 四边形 DAMN 与MON 面积相等； 若MON45，MN2，则点 C 的坐标为（0，+1） 其中正确结论的有 18如图，已知直线 y2x+4 与 x 轴交于点 A
8、，与 y 轴交于点 B，将AOB 沿直线 AB 翻折后，设点 O 的 对应点为点 C，双曲线 y（x0）经过点 C，则 k 的值为 19如图，已知抛物线 yx2+bx+2 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点为 M，抛物线的对称轴在 y 轴的右则，若 tanBAM，则 b 的值是 20如图，已知函数 yx+3 的图象与函数 y的图象交于 A、B 两点，连接 BO 并延长交函数 y 的图象于点 C，连接 AC，若ABC 的面积为 12，则 k 的值为 21若整数 a 使关于 x 的二次函数 y（a1）x2（2a+3）x+a+2 的图象在 x 轴的下方，且使关于 x 的分 式方程 2+有负整数解，则
9、所有满足条件的整数 a 的和为 22 如图 1， 在菱形 ABCD 中， 动点 P 从点 C 出发， 沿 CAD 运动至终点 D 设点 P 的运动路程为 x （cm） ， BCP 的面积为 y（cm2） 若 y 与 x 的函数图象如图 2 所示，则图中 a 的值为 23如图，反比例函数 y（k0，x0）经过ABO 边 AB 的中点 D，与边 AO 交于点 C，且 AC：CO 1：2，连接 DO，若AOD 的面积为，则 k 的值为 24已知：a、b、c 是三个非负数，并且满足 3a+2b+c6，2a+b3c1，设 m3a+b7c，设 s 为 m 的最 大值，则 s 的值为 25如图，在平面直角坐
10、标系中，点 B 在 x 轴上，ABO90，ABBO，直线 y3x4 与反比例函数 y （x0）的图象交于点 A，与 y 轴分别交于点 C （1）求 k 的值； （2）点 D 与点 O 关于 AB 对称，连接 AD，CD；证明：ACD 是直角三角形； （3）在（2）的条件下，点 E 在反比例函数的图象上，若 SECDSOCD，请直接写出点 E 的坐标 26如图，函数 yx2+bx+c 的图象经过点 A（m，0） ，B（0，n）两点，m，n 分别是方程 x22x30 的两个实数根，且 mn （1）求 m，n 的值以及函数的解析式； （2）对于（1）中所求的函数 yx2+bx+c，当 0 x3 时，
11、求函数 y 的最大值和最小值； （3）设抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 C，抛物线的顶点为 D，连接 AB，BC，BD，求证： BCDOBA 27如图，已知抛物线 yax2+bx+2 经过 B（2，0） 、C（6，0）二点，与直线 yx+2 交于 A、D 两点， 且点 A 为直线 yx+2 和抛物线 yax2+bx+2 与 y 轴的交点，点 G 为直线 yx+2 与 x 轴的交点 （1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标； （2）点 M 是抛物线上位于直线 AD 下方上的一个动点，当点 M 运动到什么位置时MDA 的面积最大？ 最大值是多少？ （3）在 x 轴上是否存在点 P
12、，使以 A、P、D 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 28在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 yax2+bx3 交 x 轴负半轴于点 A，交 x 轴正半轴于 点 B，交 y 轴于点 C，OBOCOA （1）如图 1，求抛物线的解析式； （2）如图 2，点 D 在抛物线上，且点 D 在第二象限，连接 BD 交 y 轴于点 E，若 tanEBA，求点 D 的坐标； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 P 在抛物线上，且点 P 在第三象限，点 F 在 PB 上，FCFB，过点 F 作 x 轴的垂线，点 G 为垂足，连接 DG 并延
13、长交 BF 于点 H，若DHPCEB，求 BP 的长 29综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4）三点， 点 P（m，n）是直线 BC 下方抛物线上的一个动点 （1）求这个二次函数的解析式； （2）动点 P 运动到什么位置时，PBC 的面积最大，求出此时 P 点坐标及PBC 面积的最大值； （3）在 y 轴上是否存在点 Q，使以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 30如图，二次函数 yax2x+c 经过点 A，与直线 yx2 相交于坐标轴上的 B、C 两点 （1
14、）求此二次函数的解析式； （2）点 P 是直线下方二次函数图象上一点，连接 PB，PC，设点 P 的横坐标为 t，PBC 的面积为 S， 求 S 与 t 的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点 Q 是线段 OB 上一点，连接 CQ，CQCP，若BPCQCB+QBC，求 直线 BP 的解析式 参考答案参考答案 1解：a0， 抛物线的开口方向向下， 故第三个选项错误； c0， 抛物线与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上， 故第一个选项错误； a0、b0，对称轴为 x0， 对称轴在 y 轴右侧， 故第四个选项错误 故选：B 2解：由“左加右减”的原则可知，把抛物线 yx2+1 向左平移 1 个
15、单位，则平移后抛物线的解析式为：y （x+1）2+1， 故选：A 3解：yx2+2x+c（x1）2+1+c， 图象的开口向下，对称轴是直线 x1， A（2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1） ， 24， y2y1y3， 故选：B 4解：点 A（1，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）是函数图象上的三点， y11，y21，y3 11， y2y3y1 故选：B 5解：作 DMx 轴于 M，BNx 轴于 N，如图， 点 A 的坐标为（1，0） ， OA1， AEBE，BNy 轴， OAON1， AN2，B 的横坐标为 1， 把 x1 代入 y，得 y2， B（1，2） ， BN2， 四边形
16、 ABCD 为正方形， ADAB，DAB90， MAD+BAN90， 而MAD+ADM90， BANADM， 在ADM 和BAN 中 ， ADMBAN（AAS） ， DMAN2，AMBN2， OMOA+AM1+23， D（3，2） ， 点 D 在反比例函数 y的图象上， m326， 故选：C 6解：a+b2，c3a4， b2a，c3a+4， b，c 都是非负数， ， 解不等式得，a2， 解不等式得，a， a2， 又a 是非负数， 0a2， Sa2+b+ca2+（2a）+3a+4， a2+2a+6， 对称轴为直线 a1， a1 时，最小值 n6， a2 时，最大值 m22+22+614， mn1
17、468 故选：B 7解：如图，抛物线 yx2+px+q 的对称轴为 x3，点 N（1，1）是抛物线上的一点， ， 解得 该抛物线的解析式为 yx26x4（x+3）2+5， M（3，5） PMN 的周长MN+PM+PN，且 MN 是定值，所以只需（PM+PN）最小 如图 1， 过点 M 作关于 y 轴对称的点 M， 连接 MN， MN 与 y 轴的交点即为所求的点 P 则 M （3， 5） 设直线 MN 的解析式为：yax+t（a0） ，则， 解得， 故该直线的解析式为 yx+2 当 x0 时，y2，即 P（0，2） 同理，如图 2，过点 M 作关于 x 轴对称的点 M，连接 MN，则只需 MN
18、 与 x 轴的交点即为所求的 点 P（，0） 如果点 P 在 y 轴上，则三角形 PMN 的周长；如果点 P 在 x 轴上，则三角形 PMN 的周长 ； 所以点 P 在（0，2）时，三角形 PMN 的周长最小 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是（0，2） 故选：A 8解：抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）左侧， 而抛物线的对称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（1，0）右侧， 当 x1 时，y0， ab+c0，所以正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， 抛物线的对称轴为直线 x1， b2a， 2a+b+c2a2a+cc0，所以正确； x1 时，二次函数有
19、最大值， ax2+bx+ca+b+c， ax2+bxa+b，所以正确； 直线 yx+c 与抛物线 yax2+bx+c 交于 C、D 两点，D 点在 x 轴下方且横坐标小于 3， x3 时，一次函数值比二次函数值大， 即 9a+3b+c3+c， 而 b2a， 9a6a3，解得 a1，所以正确 故选：A 9解：如图，连接 OC，过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 C 作 CFy 轴于点 F， 由直线 AB 与反比例函数 y的对称性可知 A、B 点关于 O 点对称， AOBO 又ACBC， COAB AOE+AOF90，AOF+COF90， AOECOF， 又AEO90，CFO90， AOECO
20、F， ， tanCAB2， CF2AE，OF2OE 又AEOE， CFOF|k|4， k6 点 C 在第二象限， k6， 故选：B 10解：延长 AC 交 x 轴于 E，延长 BD 交 x 轴于 F 设 A、B 的横坐标分别是 a，b， 点 A、B 为直线 yx 上的两点， A 的坐标是（a，a） ，B 的坐标是（b，b） 则 AEOEa，BFOFb C、D 两点在交双曲线（x0）上，则 CE，DF BDBFDFb，ACa 又BD2AC b2（a） ， 两边平方得：b2+24（a2+2） ，即 b2+4（a2+）6 在直角OCE 中，OC2OE2+CE2a2+，同理 OD2b2+， 4OC20
21、D24（a2+）（b2+）6 故选：B 11解：甲的速度为40，故正确； t1 时，已的速度为50，t1 后，乙的速度为35，故错误； 行驶 1 小时时，甲走了 40 千米，乙走了 50 千米，乙在甲前 10 千米处，故正确； 由得：甲的函数表达式为：y40 x， 已的函数表达为：0t1 时，y50 x，t1 时，y35x+15， t0.5 时，甲、乙两名运动员相距50405， t2 时，甲、乙两名运动员相距（352+15）2405， 同理 t4 时，甲、乙两名运动员相距为 5，故错误 故选：B 12解：二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数） 顶点坐标为（m，m+1）且当 xm 时，ym+
22、1 这个函数图象的顶点始终在直线 yx+1 上 故结论正确； 假设存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 令 y0，得（xm）2m+10，其中 m1 解得：x1m，x2m+ 顶点坐标为（m，m+1） ，且顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 |m+1|m（m）| 解得：m0 或 1， 当 m1 时，二次函数 y（x1）2，此时顶点为（1，0） ，与 x 轴的交点也为（1，0） ，不构成三角 形，舍去； 存在 m0，使得函数图象的顶点与 x 轴的两个交点构成等腰直角三角形 故结论正确； x1+x22m 二次函数 y（xm）2m+1（m 为常数）的对称轴
23、为直线 xm 点 A 离对称轴的距离小于点 B 离对称轴的距离 x1x2，且 a10 y1y2 故结论错误； 当1x2 时，y 随 x 的增大而增大，且 a10 m 的取值范围为 m2 故结论正确 故选：C 13解：设 OBOCa，则点 B（0，a） ， 则 BCa， 设点 A 的坐标为（m，m） ，则 km2， 则 SAOB+1BOxAam，即 am2（+1）， 由 BCAB 得：2a2（m+a）2+m2， 由得：ma（负值已舍去） ， 将 m 值代入式得：a（a）2（+1） ， 解得 a22（+1）2， 则 m22k， 故答案为 2 14解： （1）当 m1 时，则 ab， 当 ab0 时
24、，则 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1a2x2+2ax+1，则4a24a20，故 n1， 当 ab0 时，同理函数的表达式为 y1，则 n0； （2）当 m2 时，则 ab， 当 ab0 时，则 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1，则（a+b）24ab（ab）20，故 n 2， 当 ab0 时，同理函数的表达式为 y（a+b）x+1，则 n1； 故答案为： （1，1） 、 （1，0） 、 （2，2） 、 （2，1） 15解：如图，过点 C 作 CHx 轴于 H，过点 D 作 DTOH 于 T，过点 C 作 CGDT 于 G 点 A 的坐标为（1，0）
25、，点 B 的坐标为（0，2） ， OA1，OB2， ACAB， AOBBACAHC90， BAO+CAH90，CAH+ACH90， BAOACH， BOAAHC， ， AH2CH， 设 CHm，AH2m，则 C（1+2m，m） ， CDAB，CGOA， DCGBAO， DGCBOA90， BOADGC， ， CG2，DG4， D（1+2m2，m+4） ，即 D（2m1，m+4） ， D，C 在反比例函数 y上， （1+2m） m（2m1） （m+4） ， 解得 m， C（，） ， k， 故答案为： 16解：过点 D 作 DMOB，垂足为 M， D（3，4） OM3，DM4， OD5， 菱形 O
26、BCD， OBBCCDOD5， B（5，0） ，C（8，4） ， A 是菱形 OBCD 的对角线交点， A（4，2） ，代入 y得，k8， 反比例函数的关系式为：y， 设直线 BC 的关系式为 ykx+b，将 B（5，0） ，C（8，4）代入得： 5k+b0 且 8k+b4， 解得：k，b， 直线 BC 的关系式为 yx， 将反比例函数与直线 BC 联立方程组得： 解得：，（舍去） ， F（6，） ， 故答案为： （6，） 17解：设正方形 OABC 的边长为 a， 得到 A（a，0） ，B（a，a） ，C（0，a） ，M（a，） ，N（，a） ， 在OCN 和OAM 中， ， OCNOAM（
27、SAS） ，结论正确； 根据勾股定理，ON，MN|a2k|， ON 和 MN 不一定相等，结论错误； SODNSOAM， SMONSODN+S四边形DAMNSOAMS四边形DAMN，结论正确； 过点 O 作 OHMN 于点 H，如图所示， OCNOAM， ONOM，CONAOM， MON45，MN2， NHHM1，CONNOHHOMAOM22.5， OCNOHN（ASA） ， CNHN1， 1，即 ka， 由 MN|a2k|得，2|a2a|， 整理得：a22a10， 解得：a1（舍去负值） ， 点 C 的坐标为（0，+1） ，结论正确， 则结论正确的为， 故答案为： 18解：连接 OC，过点
28、C 作 CMx 轴，垂足为 M， 直线 y2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， A（2，0） ，B（0，4） ， OA2，OB4， AB2， ABC 与ABO 关于 AB 对称， OCAB， S四边形OACBOCAB2SAOB， 即OC28， OC， 又COMABO，AOBCMO90， AOBCMO， ， 即， SCMO|k|， k（取正值） ， 故答案为： 19解：过点 M 作 MNx 轴于点 N， 则 tanBAM， 函数的对称轴为 xb，当 xb 时，yx2+bx+22，则 MN2， 令 yx2+bx+2， 则 xA+xBb，xAxB2， 则 AB|xAxB|2AN，
29、则 AN， AN2MN，即 AN2（2） ， 解得 b3， b0， 故 b3， 故答案为3 20解：如图，连接 OA 由题意，可得 OBOC， SOABSOACSABC6 设直线 yx+3 与 y 轴交于点 D，则 D（0，3） ， 设 A（a，a+3） ，B（b，b+3） ，则 C（b，b3） ， SOAB3（ab）6， ab4 过 A 点作 AMx 轴于点 M，过 C 点作 CNx 轴于点 N， 则 SOAMSOCNk， SOACSOAM+S梯形AMNCSOCNS梯形AMNC6， （b3+a+3） （ba）6， 将代入，得 ab3， +，得2b7，b， ，得 2a1，a， A（，） ， k
30、 故答案为 21解：由题意得：a10 且（2a3）24（a1） （a+2）0， 解得 a； 解分式方程 2+得，x， x0 且 x3，即0 且3 解得：a1 且 a3， 故 a且 a3， a5 或11 时，x有负整数解， 故所有满足条件的整数 a 的和为16 故答案为16 22解：从图 2 知，AC5，AD2a， 当点 P 在点 A 时，此时，y4aSBCPSABC， 此时，ABBCAD2a， 即ABC 为等腰三角形， 过点 B 作 BHAC 于点 H，则 CHAHAC， 在ABC 中，SABCACBH5BH4a，解得 BH， 在 RtHBC 中，BC2BH2+CH2，即（2a）2（）2+（）
31、2， 解得 a（舍去负值） ， 故答案为 23解：如图所示，过 C 作 CEBO 于 E，过 A 作 AFBO 于 F， CEAF， OCEOAF， 设 C（x，） ， AC：CO1：2， OC：OA2：3， A（x，） ， D 是 AB 的中点， 点 D 的纵坐标为， 又点 D 在反比例函数 y图象上， 点 D 的横坐标为， 点 B 的横坐标为2xx， AOD 的面积为，OD 是AOB 的中线， BOD 的面积为， 即（x）， 解得 k2， 故答案为：2 24解：3a+2b+c6，2a+b3c1， 解得 a7c4，b911c； a0、b0， 7c40，911c0， c m3a+b7c3c3，
32、 m 随 c 的增大而增大， c 当 c 取最大值，m 有最大值， m 的最大值为 s33 故答案为 25 （1）解：令 ABBOm， ABO90， ABx 轴，则设点 A 的坐标为（m，m） ， 直线 y3x4 过点 A， 3m4m， 解得：m2， 点 A（2，2）在反比例的图像上， k224； （2）证明：由（1）可知 B（2，0） ，AB2， ABBO，点 D 与点 O 关于 AB 对称， D（4，0） ，BD2， AD2AB2+BD222+228， 过点 A 作 AEy 轴，垂足为 E，则点 E（0，2） ，AE2， 直线 y3x4 与 y 轴交于点 C， C（0，4）则 CE6， A
33、C2AE2+CE222+6240， OCD90，OD4，OC4， CD2OD2+OC242+4232， 8+3240， AD2+CD2AC2， ACD 是直角三角形； （3）解：当点 E 在 CD 上方时，如下图， 过点 O、A 作直线 m， 由点 O、A 的坐标知，直线 OA 的表达式为 yx， 由点 C、D 的坐标知，直线 CD 的表达式为 yx4， 则直线 CDm，即 OACD， SECDSOCD，即两个三角形同底， 则点 E 与点 A 重合， 故点 E 的坐标为（2，2） ； 当点 E（E）在 CD 下方时， 在 y 轴负半轴取 CHOC4，则点 H（0，8） ， 则 SECDSOCD
34、， 过点 H 作直线 mCD，则直线 m与反比例函数的交点即为点 E， 直线 m的表达式为 yx8， 联立 yx8 和 y并解得（不合题意值已舍去） ， 故点 E 的坐标为（4+2，24） ， 综上，点 E 的坐标为（4+2，24）或（2，2） 26解： （1）m，n 分别是方程 x22x30 的两个实数根，且 mn， 用因式分解法解方程： （x+1） （x3）0， x11，x23， m1，n3， A （1，0） ，B （0，3） ， 把（1，0） ， （0，3）代入得， ， 解得，； 函数解析式为 yx2+2x+3 综上所述，m1，n3， 函数解析式为：yx2+2x+3 （2）解：抛物线 y
35、x2+2x+3 的对称轴为 x1，顶点为 D（1，4） ， 在 0 x3 范围内， 当 x1 时，y最大值4； 当 x3 时，y最小值0； （3）证明：由 yx2+2x+3， 易得，A（1，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D（1，4） 则， CD2DB2+CB2， BCD 是直角三角形，且DBC90， AOBDBC， 在 RtAOB和 RtDBC中， ， ， BCDOBA 27解： （1）抛物线 yax2+bx+2 经过 B（2，0） 、C（6，0）两点， ， 解得， 抛物线的解析式 yx2x+2， 抛物线 yx2x+2 与直线 yx+2 交于 A、D 两点， ， 解得， D（12，1
36、0） ； （2）如图 1，过点 M 作 y 轴的平行线交线段 AD 于点 N， 设点 N 坐标为 N（x，x+2） ，设 M 坐标为 M（x，x2x+2） ， yNMx+2（x2x+2） ， x2+2x （x6）2+6， S12（x6）2+6）（x6）2+36， a10， yMN有最大值， 当 M 运动到 M（6，0）时，yMN有最大值为 36； （3）当点 P 为直角顶点时，设 P（x，0） ，过点 D 作 DHx 轴，垂足为 H， 则PDHAPO， ， ， x212x+200， x12 x210， 点 P 的坐标为 （2，0）或（10，0） ， 当点 A 为直角顶点时，如图 3，过点 A
37、作 APAD，交 x 轴于点 P，设 P（x，0） ， 则OPAOAG， ， ， x， 点 P 的坐标为（，0） ， 当点 D 为直角顶点时，过点 D 作 DPAD，交 x 轴于点 P，设 P（x，0） ， 则PDHDGH， ， ， x， 点 P 的坐标为（，0） ， 满足条件的点 P 的坐标为（2，0）或（10，0）或（，0）或（，0） 28解： （1）二次函数 yax2+bx3， 当 x0 时，y3，C（0，3） ， OC3， OBOCOA，OB3，OA2， B （3，0） ，A（2，0） ， ， 解得， 抛物线的解析式为 y； （2）过点 D 作 x 轴的垂线，点 M 为垂足，设点 D
38、的横坐标为 t，则点 D 的纵坐标为， 点 D 在第二象限， DM， OMt，OB3， MBt+3， 在 RtDMB 中，tanDBA， tanEBA， 2DMMB，2（）t+3， 解得 t13（舍去） ，t23， 点 D 的纵坐标为33， 点 D 的坐标为（3，3） ； （3）连接 OF， OBOC，FBFC，OFOF， OFBOFC（SSS） ， COFBOF； 过点 F 作 y 轴的垂线，点 T 为垂足， FGOB， FTFG， BOTOTFFGO90， 四边形 OTFG 为矩形； FTFG， 四边形 OTFG 为正方形； 取 OM 的中点 N，连接 DN，过点 G 作 DN 的垂线交
39、DN 的延长线于点 R， 在 RtOEB 中，tanEBO， OE； OM3， MN， MNOE； DMOB3； DMNEOB90， OEBMND（SAS） ， DNMOEB， DHPCEB， DNMDHP， DNMDGN+NDG，DHPHGB+GBF，DGNHGB， NDGGBF； 在 RtOEB 中，OE，BO3，BE2OB2+OE2， BE， DN， 在 RtDNM 中，tanDNM2，DNMGNR， 在 RtGNR 中，tanGNR2， RG2RN； 在 RtGNR 中，NR2+RG2NR2， NR5NG， 四边形 OTFG 为正方形， 设 OGGFm，BG3m，NG+m， NR（+m
40、） ，RG（+m） ， NDGGBF， tanNDGtanGBF， 在 RtDGR 中 tanRDG， 在 RtGBF 中 tanGBF， ， 解得 m13（舍去） ，m21； tanGBF 过点 P 作 x 轴的垂线，点 W 为垂足， 设点 P 的横坐标为 n，则点 P 的纵坐标为3， 点 P 在第三象限， PW+3， 在 RtPWB 中，tanPBW， 2PWBW， OWn BWn+3， 2（+3）n+3， 解得 n13（舍去） ，n21， BW4，PW2 在 RtPWB 中，BP2PW2+BW2， BP2 29解： （1）设二次函数的解析式为 ya（xx1） （xx2） ， 二次函数的图
41、象交坐标轴于 A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，4） ， x11，x23，4a（xx1） （xx2） ， 解得 x11，x23，a， 二次函数的解析式为 y（x+1） （x3）x2x4， 故答案为：y（x+1） （x3）x2x4； （2）设直线 BC 解析式为 ykx+b，将 B（3，0） ，C（0，4）代入得， 解得 b，c4， BC 解析式是 yx4， 如答图 1，过 P 作 PDy 轴，交 BC 于 D， 点 P（m，n）是直线 BC 下方抛物线上的一个动点， 0m3，nm2m4，D（m，m4） ， PD（m4）（m2m4）m2+4m， SPBCPD （xBxC）（m2+4m） （
42、30）2m2+6m2（m）2+， 03， m时，SPBC最大为，此时 nm2m4（）245， P（，5） ， 故答案为：P（，5） ，SPBC最大为； （3A（1，0） ，C（0，4） ，B（3，0） ， ，OB3， 点 Q 在 y 轴上， BOQAOC90， 若以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似，则BOQ 与AOC 对应， 分两种情况： 如答图 2，AOCQOB， 则即，解得 OQ， Q1（0，）或 Q2（0，） ； AOCBOQ， 则即，解得 OQ12， Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 综上所述，存在 y 轴上的点 Q，使以 O，B，Q 为顶点的三角形与AOC 相似，这
43、样的点一共 4 个：Q1 （0，）或 Q2（0，） ， Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 故答案为：存在这样的点 Q，坐标分别是：Q1（0， ）或 Q2（0，） ，Q3（0，12）或 Q4（0，12） ， 30解：直线 yx2 与 x 轴，y 轴相交于的 B、C 两点， 点 B（4，0） ，点 C（0，2） ， 抛物线 yax2x+c 的图象经过点 B，点 C， ， 解得：， 二次函数的解析式为 yx2x2； （2）如图 1，过点 P 作 PEBC 于 E， 点 P 的横坐标为 t， 点 P（t，t2t2） ，点 E（t，t2） PE（t2t2）（t2）t24t， S4（t24t）2t2+8t； （3）如图 3，过点 C 作 CEBP 于 E，延长 BE 交 y 轴于点 K， BPCQCB+QBC，AQCQCB+QBC， AQCCPB， 又CQCP，COQCEP90， COQCEP（AAS） ， COCE2， 又BCBC， RtOCBRtECB（HL） ， OBBE4， tanBKO， ， OK2KE， OK2+OB2KB2， 4KE2+16（4+KE）2， KE， OK， 点 K（0，） ， 设直线 BP 解析式为 ykx+b， 由题意可得：， ， 直线 BP 的解析式为 yx