1、2021 年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（二二） 一、单项选择题：本题共 8 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知复数 z 满足 z（1i）（2-i）i，则 z 的共轭复数z A 31 i 22 B 31 i 22 C 11 i 22 D 11 i 22 2已知集合 Ax|x2-x-60，Bx|yln（1-x），则 AB A （-2，1） B （-，2） C （-，3） D （-2，3） 3已知 1 3 4a ，blog23，clog310，则 Aacb Babc Cbac Dcab 4函数 2 ( ) 22 xx
2、 x f x 的部分图象大致为 A B C D 5中国古典乐器一般按“八音”分类这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于 周礼 春官 大师 ，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p o） 、竹”八音其中“金、石、木、革”为打击乐 器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，则“两音”同为吹 奏乐器的概率为 A 1 10 B 1 5 C 3 10 D 2 5 6已知数列an是公差不为 0 的等差数列，函数 f（x）在3，）上单调，且满足 f（6-x）f（x） ，若 f （a5a6）f（a35a36） ，则an的前 40 项的和为 A-
3、60 B30 C60 D120 7借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计 算，例如：求 ln1.01，我们先求得 ylnx 在 x1 处的切线方程为 yx-1，再把 x1.01 代入切线方程，即 得 ln1.010.01，类比上述方式，则 4000 e A1.00025 B1.00005 C1.0025 D1.0005 8在四面体 A-BCD 中，3ABCDACBD，ADBC2，若平面 a 同时与直线 AB、直线 CD 平 行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 A 2 2 B 3 2 4 C2
4、 D 3 2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 9某市教体局对全市高三年级学生的身高进行抽样调查，随机抽取了 100 名学生，他们的身高都处在 A， B，C，D，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下列说法正确的是 A样本中女生人数为 60 B样本中男生人数为 60 C样本中 B 层人数为 36 D全市高三年级学生中，C 层人数最多 10对于 6 3 1 (1) 1x x 的展开式，下列说法正确的是 A各项的系数和为 128 B合并同类项后，展开式中共有 9 项 Cx 的最高次项系数为 6 D常数项为 21 11已知椭圆 C： 22 22
5、 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为2 5，P 为椭圆上一点，连 接 PF2交 y 轴于点 N，PF2PF1，|F1F2|4|ON|，其中 O 为坐标原点则下列说法正确的是 A|PF2|2|PF1| B椭圆的长轴长为 3 C若点 Q 在 C 上，则|QF1|的最大值为35 D点 P 到 x 轴的距离为 4 5 5 12已知函数 2 ( )4cos3 4 f xx ，下列结论错误的是 Af（x）的值域为1，3 B曲线 yf（x）关于直线 8 xk ，kZ 对称 Cf（x）在 5 , 4 12 上单调递增 D方程( )2f x 在-，上有 4 个不同的实根 三、填空题
6、：本题共 4 小题 13已知(2, 1)a ，( 3,2)b ，cab，则c在a方向上的投影为_ 14已知 sin2cos4 2sincos3 xx xx ，则 tanx_，cos2 2 x _ 15排球比赛采用 5 局 3 胜制，现有甲乙两队进行排球比赛甲队赢得每局比赛的概率均为 2 3 ，则甲队赢 得比赛的概率为_ 16已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线右支上一点，点 M 在F1PF2的外角平分线上， 且 2 0F M PM， 22 ()0F OF MOM（其中 O 为坐标原点） ， 12 1 cos 8 FF M ，
7、则该双曲线的离心率为_ 四、解答题：本题共 6 小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在 2222 2 2 () cos 2 abc bC a ， 222 3sin 2 cA bacb ，coscos ab BA c ，三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，并加以解答 已知ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若3a ， 6 A ，_求ABC 的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18已知数列an中 a11，Sn12Snn1 （1）证明：数列Snn2是等比数列； （2）若 bnlog2（1a2n-1） ，求数列 1 1 nn b b 的前 n 项
8、和 Tn 19已知在圆锥 PO 中，AC 为底面的直径，ACB30 ，M 为BC的中点 （1）求证：BCPM； （2）若 AC4，异面直线 PB 与 MC 所成角的余弦值为 5 5 ，求二面角 B-PM-C 的余弦值 20已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，点 P（2，2） ，点 Q 在抛物线 C 上，且满足2OFFQFP （O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程； （2）若不经过点 Q 的直线 l2与抛物线 C 交于点 A，B（A，B 均在第一象限） ，与直线 l1：x-4 交于点 E， 记直线 QA，QE，QB 的斜率分别为 k1，k2，k3，若 2k2k1k3，证明：直
9、线 l2恒过定点 21已知函数 f（x）emx-2x （1）求 f（x）的极值； （2）当 m1 时，求函数 g（x）f（x）-cosx 在 3 , 2 上的零点个数 22某无缝钢管厂只生产甲、乙两种不同规格的钢管，根据长期的生产结果表明，两种规格钢管每根的长 度 x（mm）都服从正态分布 N（，2） ，长度在（-3，3）之外的钢管为废品，要回炉熔化，不准流 入市场，其他长度的钢管为正品 （1）在该钢管厂生产的钢管中随机抽取 10 根进行检测，求至少有 1 根为废品的概率； （2）钢管有内外两个口径，甲种钢管内外两口径的标准长度分别为 30 mm 和 34 mm，乙种钢管内外两个口 径的标准长
10、度分别为 60 mm 和 65 mm监管部门规定每种规格钢管的“口径误差”的计算方式为：若钢管的 内外两个口径实际长分别为 a （mm） ， b （mm） ， 标准长分别为(mm)a，(mm)b， 则“口径误差”为|aabb， 按行业生产标准，其中“一级品”“二级品”“合格品”的“口径误差”的范围分别是0，0.1， （0.1，0.2， （0.2， 0.4（正品钢管中没有“口径误差”大于 0.4 mm 的钢管） 现分别从甲、乙两种产品的正品中各随机抽取 100 根，分别进行“口径误差”的检测，统计后，绘制其频率分布直方图如下： 已知经销商经销甲种钢管，其中“一级品”的利润率为 0.3，“二级品”
11、的利润率为 0.18，“合格品”的利润 率为 0.1；经销乙种钢管，其中“一级品”的利润率为 0.25，“二级品”的利润率为 0.15，“合格品”的利润率为 0.08，若视频率为概率 若经销商对甲、乙两种钢管各进了 100 万元的货，X1和 X2分别表示经销甲、乙两种钢管所获得的利 润，求 X1和 X2的数学期望和方差，并由此分析经销商经销两种钢管的利弊； 若经销商计划对甲、乙两种钢管总共进 100 万元的货，则分别在甲、乙两种钢管上进货多少万元时， 可使得所获利润的方差和最小？ 附：若随机变量 X 服从正态分布 N（，2） ，则 P（-X）0.6827，P（-2X2） 0.9545，P（-3
12、X3）0.9973，0.6827100.0220，0.9545100.6277，0.9973100.9733 参考答案及解新参考答案及解新 一、单项选择题 1A 【解析】因为 z（1i）（2-i）i，所以 12i(12i)(1i)31 i 1i(1i)(1i)22 z ，所以 31 i 22 z 故选 A 2C 【解析】因为 Ax|（x2） （x-3）0（-2，3） ，B（-，1） ，所以 AB（-，3） 故选 C 3B 【解析】因为 1 3 041a ，1blog232，clog3102，所以 abc故选 B 4A 【解析】因为 2 () ()( ) 22 xx x fxf x ，所以 f（
13、x）为偶函数，排除 B；又 f（x）0 恒成立，排除 D；因为 2x2-x的增长速度比 x2的增长速度快，所以当 x时，f（x）0，排除 C故选 A 5C 【解析】从“金、土、丝、匏、竹”任取“两音”，基本事件总数 2 5 C10n，因为“金”为打击乐器，“土、 匏、竹”为吹奏乐器“丝”为弹拨乐器，所以“两音”同为吹奏乐器包含的基本事件个数 2 3 C3m，则“两音” 同为吹奏乐器的概率为 3 10 m P n 故选 C 6C 【解析】由 f（6-x）f（x） ，得 f（x）的图象关于直线 x3 对称，由数列an是公差不为 0 的等差 数列，且 f（a5a6）f（a35a36） ，可得 a5a
14、6a35a362（a5a36）2（a1a40）6，所以 a1a40 3， 则an的前 40 项的和为 140 40() 60 2 aa 故选 C 7A 【解析】设 f（x）ex，可得 f（x）ex，f（0）1，f（0）1，曲线 yex在点（0，1）处的切 线对应的函数为 yg（x）x1， 1 4000 与 0 之间的距离比较小，在切点附近用切线代替曲线进行近似计 算， 1 4000 4000 111 ee1 400040004000 fg 1.00025故选 A 8 A 【 解 析 】 法 一 ： 设PQNM为 符 合 条 件 的 截 面 ， 则3 MNCMCM MN ABACAC ， 3 M
15、PAMAM MP CDACAC ，所以33 CMAM MNMP ACAC ，故 2 3 sinsinsin 24 PQNM MNMP SMN MPNMPNMPNMP ， 当且仅当 M 为 AC 的中点时取等号 以 下求 sinNMP 的值，N，P 分别为 BC，AD 中点时，2ND ，2AN ，AD2，求得 NP1，所以 1 cos 3 NMP，所以 2 2 sin 3 NMP，所以 33 2 22 sin 4432 PQNM SNMP故选 A 法二：由于四面体的对边相等，故四面体 A-BCD 可看作长方体的面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长 分别为 a，b，c，则 22 22 22 3,
16、3, 4, ab ac bc 解得 a1，2b ，2c ，因为 AB平面，CD平面，所以平面 与长方体的底面平行，设平面与长方体底面的距离为 h（02h） ，平面与四面体 A-BCD 的截面 为 PQMN，显然四边形 PQMN 是平行四边形，设四边形 PQMN 在长方体底面的投影为 PQMN，则 122 hDQDP ， 所 以 2 2 h DQ ， DP h ， 所 以 四 边 形PQMN 的 面 积 为 2 2 121222 221( 2)2222 222222 Shhhhhhh 所以当 2 2 h 时， S 取得最大值 2 2 故选 A 二、多项选择题 9AC 【解析】样本中女生人数为 9
17、24159360，男生人数为 100-6040，A 正确；B 错误；样 本中 B 层人数为 2440 3036， C 正确； 由图可知男生、 女生均是 B 层人数最多， 故总人数 B 层最多， D 错误故选 AC 10AD 【解析】令 x1，可得该展开式中各项的系数和为 27128，A 正确；合并同类项后，展开式中 存在着 x-6，x-5，x-4，x-3，x-2，x-1，x0，x，x2，x3项，共 10 项，B 错误；x 的最高次项为 0 303 6 1 Cxx x ， C 错误；由二项式定理得该展开式中的常数项为 3 6 1 C21，D 正确故选 AD 11ACD 【解析】由F1PF290
18、，由题意可得F2ONF2PF1，则 1 22 | | PFON PFOF ，因为|F1F2|4|ON|， 所以 1 22 |1 |2 PFON PFOF ，即|PF2|2|PF1|，A 正确；因为|PF2|PF1|2a，所以 1 2 | 3 a PF ， 2 4 | 3 a PF ，由题 意知22 5c ，PF2PF1，所以 22 416 20 99 aa ，解得 a3，所以长轴长为 6，故 B 错误；|QF1|的最大值 为35ac， C 正确；|PF1|2，|PF2|4 设点 P 到 x 轴的距离为 d， 由等面积法得|PF1| |PF2|F1F2| d， 所以 12 12 | |84 5
19、|52 5 PFPF d FF ，故 D 正确故选 ACD 12ABC 【解析】由题意知， 2 ( )4cos32cos 21|2sin21| 42 f xxxx ，y2sin2x 的图 象向下平移 1 个单位可得到 y2sin2x-1 的图象，将所得图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，可得到 f（x） 的图象，如图所示，由图可知 f（x）的值域为0，3，故 A 错误；因为 f（x）的最小正周期为 ，所以曲线 yf（x）关于直线 42 k x ，kZ 对称，故 B 错误；f（x）在 5 , 4 12 上单调递减，故 C 错误；如图 所示方程( )2f x 在-，上有 4 个不同的实数根，故
20、 D 正确故选 ABC 三、填空题 13 3 5 5 【 解 析 】 因 为( 2,1)( 3, 2)( 1, 1)cab ， 所 以3c a ，c在a上 的 投 影为 33 5 5|5 c a a 14 2 4 5 【 解 析 】 由 sin2cos4 2sincos3 xx xx ， 得 tan24 2tan13 x x ， 解 得tanx 2 ， 222 2sin cos2tan4 cos2sin22sin cos 2sincostan15 xxx xxxx xxx 15 64 81 【解析】当进行三局比赛，甲队赢得比赛的概率为 3 28 327 ，当进行四局比赛，甲队赢得比赛 的概率为
21、 2 2 3 2128 C 33327 ，当进行五局比赛，甲队赢得比赛的概率为 22 2 4 21216 C 33381 ，所以甲队 赢得比赛的概率为 881664 27278181 166 【解析】如图，延长 F1P 与 F2M 的延长线交于 N，设|PF1|m，|PF2|n，由双曲线的定义可得 m-n 2a，点 M 在F1PF2的外角平分线上，且 2 0F M PM，可得|PF2|PN|，M 为 F2N 的中点，则 1 11 |() 22 OMNFmn，且 OMNF1，所以PF1F2MOF2因为 22 ()0F OF MOM，所以OF2M 为等腰三角形，因为 12 1 cos 8 FF M
22、 ，所以 2222 19 2 84 OMccccc ，即 3 | 2 OMc，所以 m n3c，所以 32 2 ca m ， 32 2 ca n ，因为 2 1222 1 coscos(2)12cos 8 FF MMOFMOF ，所以 212 3 coscos 4 MOFPFF，在PF1F2中由余弦定理得 22 2 12 3232 4 22 cos 32 22 2 caca c PFF ca c ，整理得 c6a，所以 e6 四、解答题 17解：选择条件： 由 222 2 2 () cos 2 abc bC a ，得 2cos2CcosC，即 cosC （2cosC-1）0， 所以 cosC0
23、，或 1 cos 2 C （1）当 cosC0 时， 2 C ，所以 3 B ， 所以 batanB3，所以 113 3 33 222 ABC Sab （2）当 1 cos 2 C 时，又 C（0，） ，所以 3 C ， 2 B 所以 catanC3，所以 113 3 33 222 ABC Sac 综上，ABC 的面积为 3 3 2 选择条件：由 222 3sin 2 cA bacb ，得 3sin 22 cos A baB ， 3 cossin0aBbA，且 cosB0，即sin( 3cossin)0ABB， 所以3cossinBB，或 sinA0（舍去） 所以tan3B ， 因为 B（0，
24、） ，所以 3 B ， 2 C ，所以 batanB3， 所以 113 3 33 222 ABC Sab 综上所述，ABC 的面积为 3 3 2 选择条件：因为coscos ab BA c ，所以 a-bccosB-ccosA， 利用正弦定理得 sinA-sinBsinCcosB-sinCcosA 整理得 sin（BC）-sin（AC）sinCcosB-sinCcosA， 化简得 sinBcosC-sinAcosC0，则（sinB-sinA）cosC0， 则 sinBsinA 或 cosC0 （1）当 sinBsinA 时，3ba， 又 6 A ，所以 2 3 CAB ， 所以 1133 3
25、sin33 2224 ABC SabC （2）当 cosC0 时， 2 C ，所以 3 B ，所以 batanB3， 所以 113 3 33 222 ABC Sab 综上，ABC 的面积为 3 3 4 或 3 3 2 18解： （1）因为 Sn12Snn1， 所以 1 12213 2 22 nn nn SnSnn SnSn ，又因为 a11，所以 S1124， 所以数列Snn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）得数列 Snn24 2n-1， 即 Sn2n 1-n-2， 当 n2 时，anSn-Sn-12n 1-n-2-2n-（n-1）-22n-1， 因为 a11，适合上式，
26、所以 an2n-1所以 bnlog2（1a2n-1）2n-1， 1 11111 (21)(21)2 2121 nn b bnnnn ， 所以 111111 1 2335212121 n n T nnn 19解： （1）连接 OM， 因为 PO平面 ABMC，BC平面 ABMC，所以 POBC， 因为 M 为BC的中点，所以 MOBC， 因为 POMOO，所以 BC平面 PMO， 因为 PM平面 PMO，所以 BCPM （2）连接 OB，设 MB 的中点为 D， 则由 AC 为底面的直径，ACB30 ，得 ODOC，ODBM， 分别以 OD，OC，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图
27、所示的空间直角坐标系， 因为 OBMC， 所以PBO 为异面直线 PB 与 MC 所成的角， 即 5 cos 5 PBO，tanPBO2，由 OB2，得 PO4， 所以 P（0，0，4） ，( 3, 1,0)B，( 3,1,0)M，C（0，2，0） ， 所以(0,2,0)BM ，( 3,1, 4)PM ，( 3, 1,0)CM ， 设平面 BPM 的法向量 111 ( ,)nx y z，则 0, 0, n BM n PM 即 1 111 0, 340, y xyz 令 x14，得(4,0, 3)n ， 设平面 PCM 的法向量 222 (,)mxyz，则 0, 0, m CM m PM 即 2
28、2 222 30, 340, xy xyz 令 x22，得(2,2 3, 3)m ， 设平面 BPM 与平面 PCM 所成的角为 ，则 11 cos 19| m n m n ， 因为二面角 B-PM-C 为钝角，所以二面角 B-PM-C 的余弦值为 11 19 20解： （1）法一：设 Q（m，n） ， 因为,0 2 p F ，2OFFQFP，所以,04,4 22 pp mp n ， 即4 22 pp mp，n-40，解得 m4，n4， 因为点 Q 在抛物线 C 上，所以 168p，得 p2 所以抛物线 C 的方程为 y24x 法二：设 Q（m，n） ， 因为2OFFQFP，所以OFFPFQF
29、P，即OPPQ， 所以 P 为 OQ 的中点，即 Q（4，4） 因为点 Q 在抛物线 C 上，所以 168p，得 p2 所以抛物线 C 的方程为 y24x （2）直线 l2的斜率 k0 或 k 不存在时，不适合题意 当直线 l2的斜率存在且不为 0 时，设 l2：ykxb， 令 x-4，得 y-4kb，故 E（-4，-4kb） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由 2 , 4 , ykxb yx 消去 x 得，ky2-4y4b0，则 0， 12 4 yy k ， 12 4b yy k ， 直线 QA 的斜率为 11 1 2 111 444 44 4 4 yy k yxy ， 同
30、理直线 QB 的斜率为 3 2 4 4 k y ， 直线 QE 的斜率为 2 44 8 kb k ， 因为 2k2k1k3，所以 12 4444 2 448 kb yy ， 即 12 1212 4(8)4 1 4()164 yykb yyy y ，整理得 4844 444 kkb kb ， 所以 b4k 或 b-4k 当 b4k 时，直线 l2的方程为 ykx4k，即 l2恒过定点（-4，0） ； 当 b-4k 时 y1y2-16，与 A，B 均在第一象限矛盾，所以直线恒过定点（-4，0） 21解： （1）f（x）memx-2， 当 m0 时，f（x）0，f（x）单调递减， 所以 f（x）没有
31、极大值，也没有极小值； 当 m0 时，令 f（x）0，得 12 lnx mm ，令 f（x）0，得 12 lnx mm ， 所以 f（x）在 12 ,ln mm 上单调递减，在 12 ln, mm 上单调递增， 所以 12222 ( )lnlnf xf mmmmm 极小值 ，无极大值 综上：m0 时，f（x）没有极大值，也没有极小值； m0 时， 12222 ( )lnlnf xf mmmmm 极小值 ，无极大值 （2）由题设，可得 g（x）ex-2x-cosx， 3 , 2 x ，g（0）0， 则 g（x）exsinx-2， 当 3 ,0 2 x 时，因为 g（x）（ex-1）（sinx-1
32、）0， 所以 g（x）在 3 ,0 2 上单调递减， 所以 g（x）g（0）0，所以 g（x）在 3 ,0 2 上无零点， 当0, 2 x 时，因为 g（x）单调递增，且 g（0）-1， 2 e10 2 g ， 所以存在 0 0, 2 x ，使得 g（x0）0， 当 x（0，x0）时，g（x）0；当 0, 2 xx 时，g（x）0， 所以 g（x）在0，x0上单调递减，且 g（0）0，所以 g（x0）0， 又因为 2 e0 2 g ，所以 0 ()0 2 g xg ， 所以 g（x）在 0, 2 xx 上存在一个零点，所以 g（x）在0, 2 上有两个零点， 当, 2 x 时， 2 ( )es
33、in2e10 x g xx ，所以 g（x）在, 2 上单调递增， 因为0 2 g ，所以 g（x）在, 2 上无零点， 综上所述，g（x）在, 2 上的零点个数为 2 个 22解： （1）由正态分布可知，抽取的 l 根钢管的长度在（-3，3）之内的概率为 0.9973， 则这 10 根钢管的长度全在（-3，3）之内的概率为 0.9973100.9733， 则这 10 根中至少有 1 根为废品的概率约为 p1-0.97330.0267 （2）由利润率和投资额可得 X1可为 30 万元、18 万元、10 万元，X2可为 25 万元、15 万元、8 万元 又由直方图可得对应的频率为 0.2、0.5
34、、0.3 和 0.2、0.8、0， 所以随机变量 X1的分布列为 X1（万元） 30 18 10 P 0.2 0.5 0.3 E（X1）30 0.218 0.510 0.318（万元） ， D（X1）（30-18）2 0.2（18-18）2 0.5（10-18）2 0.348 随机变量 X2的分布列为 X2（万元） 25 15 8 P 0.2 0.8 0 E（X2）25 0.215 0.88 017（万元） ， D（X2）（25-17）2 0.2（15-17）2 0.816 经销商经销甲种钢管的平均利润 18 万元大于经销乙种钢管的平均利润 17 万元， 但经销甲种钢管的方差 48 也远大于经
35、销乙种钢管的方差 16 所以经销甲种钢管的平均利润大，方差也大，相对不稳定， 而经销乙种钢管的平均利润小，方差也小，相对稳定 设经销商进了 x 万元的甲种钢管，则进了（100-x）万元的乙种钢管， f（x）为经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差的和， 则 12 100 ( ) 100100 xx f xDXDX 22 12 100 ()() 100100 xx D XD X 22 2 16 3(100) 100 xx 2 2 16 (420010000) 100 xx 当 200 25 24 x 时，f（x）的值最小 故在甲种钢管上投资 25 万元，在乙种钢管上投资 75 万元时， 可使经销甲种钢管所获利润的方差与经销乙种钢管所获利润的方差和最小