1、第第 5 5 讲讲 平行四边形和梯形平行四边形和梯形 一、一、 思维导图思维导图 二、二、 知识梳理知识梳理 知识点一：平行与垂直知识点一：平行与垂直 在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。a 与 b 互相平 行，记作 ab，读作 a 平行于 b。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线 叫做另一条直线的垂线。a 与 b 互相垂直，记作 ab，读作 a 垂直于 b。 知识点二：平行与垂直的画法知识点二：平行与垂直的画法 过直线上(外)一点画已知直线的垂线的方法： 1. 把三角尺的一条直角边与已知直线重合； 2. 沿直线
2、移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与已知直线重合； 3. 过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线； 4. 在垂足处标出垂直符号。 5.5.点到直线的距离与平行线间的距离点到直线的距离与平行线间的距离 （1）点到直线的距离 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 （2）平行线间的距离 两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 6.6.运用平行和垂直画长方形运用平行和垂直画长方形 先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段，最后连接这两条垂直 线段的另外的端点。 知识点三：平行四边形与梯形知识点三：平行四边形与梯形 1. 平行四边形的认
3、识 （1）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边 形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 （3）平行四边形的两组对边分别平行并且相等。两组对角分别相等。 （4）平行四边形有无数条高；对边之间的高长度相等；对边之间的高互相平行。 （5）平行四边形有不稳定性，容易变形。 2. 梯形的认识 （1）只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 （2）两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 （3）有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 （4）梯形只有一类高，为无数条。 （5）正方形是特殊的长方形；长方形和正方形是特殊的平行四边形。 （6）
4、等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。 三、三、 精讲精练精讲精练 考点一：平行与垂直 典例分析典例分析 【例 1】如图是学校的沙坑，A 点是苹苹跳远时脚后跟落人沙坑的点，哪条线段的长度表示她的成绩比较合 理？（ ） A线段 AB B线段 AC C线段 AD 【思路分析】跳远时测定成绩是量踏板前端到身体接触沙坑最后一个痕迹的垂线段的长度 【规范解答】解：根据分析可得： 用线段 AC 的长度表示她的成绩比较合理 故选：B 【名师点评】此题考查了学生对跳远成绩测定方法的理解 举一反三举一反三 1（2019 秋芙蓉区期末）在正方形中，相邻的两条边（ ） A互相平行 B互相垂直 C相交 【思路分析】正方形的
5、特征：有 4 条边，4 条边长度相等，4 个角，都是直角；据此可知正方形的对边互 相平行，相邻的两条边互相垂直 【规范解答】解：正方形中，相邻的两条边都互相垂直； 故选：B 【名师点评】此题考查正方形的特征，也考查了垂直的意义 2（2019 秋李沧区期末）一张圆形的纸对折两次后打开的折痕（ ） A一定互相平行 B一定互相垂直 C可能互相平行，可能互相垂直 【思路分析】把一张圆形纸对一次折后打开，有一条折痕，这条折痕就是圆的一条直径，对折两次打开 后，有两条折痕，这两条折痕都是圆的直径，且互相垂直 【规范解答】解：如图： 一张圆形的纸对折两次后打开的折痕一定互相垂直 故选：B 【名师点评】 注意
6、折痕虽然平行， 但第二次不叫对折 3（2019 秋历下区期末）过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（ ）条 A1 B2 C3 D无数 【思路分析】过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直据此可解答 【规范解答】解：因过直线外一点有并且只有一条直线与已知直线垂直， 所以过直线外一点画已知直线的垂线，可以画 1 条 故选：A 【名师点评】本题考查了学生对过直线外一点向已知直线作垂线的唯一性的掌握情况 考点二：平行与垂直的画法 典例分析典例分析 【例 2】（2019 秋白云区期末）在如图中找出一组平行线，用实线画出来 【思路分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，据此即可
7、 【规范解答】解： 【名师点评】此题主要考查了平行线的定义，正确把握相关定义是解题关键 举一反三举一反三 1（2019 秋绿园区期末）在图中画出和 AB 平行的线段，和 DC 垂直的线段 【思路分析】依据同一平面内，两条直线的位置关系，即垂直和平行的意义，即可进行画图 【规范解答】解： 【名师点评】此题主要考查垂直与平行的意义 2（2019 秋惠城区校级期中）过 B 点画出已知直线的垂线 【思路分析】用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直 角边和 A 点重合，过 A 沿直角边向已知直线画直线即可 【规范解答】解：作图如下： 【名师点评】本题考查了学生利用
8、直尺和三角板作垂线的能力 3（2018 秋白云区期末）在图中找出一组平行线，用实线画出 【思路分析】根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，据此即可 【规范解答】解： 【名师点评】此题主要考查了平行线的定义，正确把握相关定义是解题关键 考点三：平行四边形与梯形 典例分析典例分析 【例 3】 （2019 秋武昌区期末）把一个四边形撕成了三部分，其中两部分如图，这个四边形可能是（ ） A长方形 B正方形 C平行四边形 D梯形 【思路分析】 观察给出的这个四边形的两个角， 一个是直角， 另一个是锐角， 首先排除正方形和长方形， 它们的四个角都是直角；如果是平行四边形，那么有一个角是
9、直角的平行四边形就是长方形或正方形， 它的四个角都是直角，所以不是平行四边形，那么只可能是梯形，由此求解 【规范解答】解：长方形和正方形都有 4 个直角，而给出的图形有一个角不是直角，所以这个四边形不 可能是长方形和正方形； 平行四边形中有一个角是直角，那么这个平行四边形就是长方形或正方形，它的四个角都是直角，所以 这个四边形不可能是平行四边形； 这个图形可能是梯形，而且是直角梯形，如下图： 故选：D 【名师点评】解决本题关键是熟练掌握四边形的分类以及平行四边形、长方形、正方形和梯形的特征 举一反三举一反三 1（2019 秋越秀区期末）下面的图形中，属于平行四边形的共有（ ）个 A1 B2 C
10、3 D4 【思路分析】根据平行四边形的含义：两组对边都平行的四边形是平行四边形 【规范解答】解：属于平行四边 形的共有 4 个； 故选：D 【名师点评】熟练掌握这些平行四边形的定义与性质是解答此题的关键 2（2019 秋巨野县期末）下列哪一句话是错误的（ ） A平行线延长也可能相交 B梯形有无数条高 C平行四边形两组对边分别平行 【思路分析】A、根据在同一平面内，延长之后永不相交的两条直线叫做平行线判断； B、根据梯形的高的含义，在梯形上底上任取一点，过这一点向下底作垂线段即为梯形的高这样的线 段可以作无数条，因而一个梯形能画出无数条高； C、根据平行四边形的意义，有两组对边分别平行的四边形叫
11、做平行四边形判断； 据此解答即可 【规范解答】解：由分析得出： A、平行线延长之后永不相交，所以平行线延长也可能相交说法错误； B、梯形有无数条高说法正确； C、平行四边形两组对边分别平行说法正确 故选：A 【名师点评】此题主要考查平行和垂直的基本概念的掌握情况，要逐题分析 3（2019 秋巨野县期末）延长梯形的上底和下底，它们（ ） A永不相交 B相交 C无法判断 【思路分析】因为梯形的上底和下底互相平行，所以延长后的两直线还是平行的，永远也不相交据此 得出答案 【规范解答】解：因为梯形的上底和下底互相平行，所以延长后的两直线还是平行的，永远也不相交； 故选：A 【名师点评】解题关键是学生要
12、理解梯形的特征：“梯形的两底平行” 四、四、 巩固提升巩固提升 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1（2019 秋红安县期末）在同一平面内，若两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线（ ） A互相垂直 B互相平行 C不能确定 【思路分析】 根据平行的性质： 同一平面内两条直线同时垂直于一条直线， 那么， 这两条直线相互平行； 据此解答 【规范解答】解：同一平面内两条直线同时垂直于一条直线，那么，这两条直线相互平行； 故选：B 【名师点评】此题考查了垂直和平行的性质，应注意积累和理解 2（2019 秋平山县期末）从平行四边形的一个顶点可以画这个平行四边形的（ ）条高 A1 B2 C无
13、数条 【思路分析】在平行四边形中，一个顶点有两条对边，则过这个顶点向对边作垂线，有两条，这两条都 是平行四边形的高 【规范解答】解：如图所示，从平行四边形的一个顶点可以画这个平行四边形的 2 条高 故选：B 【名师点评】此题主要考查平行四边形的高的画法 3（2019 秋西城区期末）有关平行四边形的描述错误的选项是（ ） A 用上面 4 根小棒可以围成不同的平行四边形 B 将长方形拉成平行四边形，对边依然平行且相等，周长也不 变 C两个完全相同的梯形一定能拼成一个平行四边形 D 以 AB 为底，OM 为高，只能画出一个平行四边形 【思路分析】A、依据平行四边形的意义，即“两组对边分别平行或相等的
14、四边形，叫做平行四边形” 可知：只要是两组对边相等，就能围成一个平行四边形；如图的四根小棒，因为两组分别相等，所以可 以围成平行四边形，因为平行四边形具有易变形的性质，所以能围成许多不同的平行四边形，所以 A 正 确； B、 把一个长方形拉成一个平行四边形后， 两组对边依然分别平行或相等， 长和宽没变， 所以周长不变 所 以 B 正确 C、根据梯形的面积推导过程可知：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，这个平行四边形 的底等于梯形上下底的和，高等于梯形的高，所以 C 正确 D、等底等高的平行四边形可以画出很多个，所以 D 错误 【规范解答】解：由分析可知，ABC 都正确，D 错误 故选
15、：D 【名师点评】此题涉及的知识点较多，但都比较简单，属于基础题，只要认真，容易完成，注意平时基 础知识的积累 4（2019 秋潍坊期末）用木条钉成一个长方形框架，沿对角线拉成一个平行四边形这个平行四边形与 原来的长方形相比，周长_，面积_，你认为正确的答案是（ ） A不变 不变 B不变 变大 C变大 变小 D不变 变小 【思路分析】当长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了，根据长 方形和平行四边形面积公式可解，所以面积就变小了 【规范解答】解：因为长方形被拉成平行四边形后，它的长和宽没变，所以周长不变，但是高变小了， 所以面积就变小了； 故选：D 【名师点评】此
16、题主要考查平行四边形易变形的特征以及周长和面积公式的灵活应用 5（2018 秋昆明期末）下面错误的是（ ） A正方形相邻的两条边互相垂直 B平行四边形具有稳定性 C长方形是特殊的平行四边形 D平行四边形和梯形都有无数条高 【思路分析】根据题意，对各选项进行依次分析、进而得出结论 【规范解答】解：A、根据正方形的特征，正方形相邻的两条边互相垂直，说法正确； B、平行四边形容易变形，所以此题说法错误； C，当平行四边形的一个内角是 90时，则该平行四边形是长方形， 所以长方形是特殊的平行四边形，说法正确； D、根据平行四边形高的含义和梯形高的含义：平行四边形的高是指对边之间的距离，那么，两组对边
17、之间都可以画无数条垂直线段， 所以， 有无数条高； 梯形虽然只有一组对边平行， 但是， 在这组对边里， 也可以画无数条垂直线段， 所以也有无数条高， 所以在平行四边形和梯形内能画出无数条高， 且都相等， 所以平行四边形和梯形都有无数条高，说法正确； 故选：B 【名师点评】此题涉及的知识点较多，但比较简单，只要认真，容易解决，注意平时基础知识的积累 6（2020 春周村区期末）两条平行线间可以画（ ）条垂直线段 A1 B2 C无数 【思路分析】根据平行的性质可知：两条平行线间可以画无数条垂直线段；据此解答 【规范解答】解：由分析可知：两条平行线间可以画无数条垂直线段； 故选：C 【名师点评】此题
18、考查了平行的性质，应注意灵活理解和掌握 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 7（2020 春周村区期末）平行四边形的对边互相 平行 ，长方形的两条邻边互相 垂直 【思路分析】根据长方形的特征，对边平行且相等，4 个角都是直角，可知，长方形相邻的两条边互相 垂直，相对的两边互相平行 【规范解答】解：平行四边形的对边互相平行，长方形的两条邻边互相垂直 故答案为：平行，垂直 【名师点评】此题主要考查长方形的特征 8教室黑板的两组对边分别 平行 ，且长度 相等 ，邻边互相 垂直 【思路分析】因为黑板是一个长方形，所以根据长方形的特征：对边平行且相等，4 个角都是直角，可 知，长方形相邻的两条边
19、互相垂直，相对的两边互相平行；据此解答 【规范解答】解：根据长方形的特征可知：教室黑板面相对的两组对边分别平行且相等相邻两边互相 垂直； 故答案为：平行，相等，垂直 【名师点评】此题主要考查长方形的特征 9（2019 秋东城区期末）如图，春光小学的伸缩门应用了平行四边形 易变形 的特点 【思路分析】伸缩门是应用了平行四边形不稳定性，容易变形进行制作的，便于伸缩 【规范解答】解：如图，春光小学的伸缩门应用了平行四边形 易变形的特点 故答案为：易变形 【名师点评】大门做成的伸缩门，这是应用了平行四边形不稳定性制作的，考查了平行四边形的特征 10（2019 秋白云区期末）如图 （1） 如果把梯形记作
20、： 梯形 ABDC， 那么请你在图中再找一个梯形， 用这种表达方式记作： 梯形 AEFC （2）如果把梯形 AEFC 的上底记作：AE，那么下底记作 CF ，高记作 EF 这是一个 直角 梯 形 【思路分析】根据梯形的含义和特征：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；梯形只有一组对边平行， 把相互平行的一组边叫做梯形的底，其中上面的叫做上底，下面的叫下底；上下底之间的距离叫做梯形 的高；由此解答 【规范解答】解：（1）如果把梯形记作：梯形 ABDC，那么请你在图中再找一个梯形，用这种表达方式 记作：梯形 AEFC （2）如果把梯形 AEFC 的上底记作：AE，那么下底记作 CF，高记作 EF这是一
21、个 直角梯形 故答案为：AEFC；CF，EF，直角 【名师点评】明确梯形的含义和特征，是解答此题的关键 11（2019 秋高平市期末）图形中有 两 组平行线， 3 组垂线 【思路分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交 成 90 度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；据此解答即可 【规范解答】解：图形中有 两组平行线，3 组垂线 故答案为：两，3 【名师点评】明确平行和垂直的性质可知，是解答此题的关键 12两个面积相等的平行四边形，它们的形状 B ，周长 B A相同 B不一定相同 C相等 D不一定相等 【思路分析】 根据平行四边行的面积底高
22、， 两个平行四边形的面积相等， 也就是底和高的乘积相等， 但是两个长方形的底不一定相等，高也不一定相等，所以这两个平行四边行的形状不一定相同，周长也 不一定相同，由此可以解答 【规范解答】解：由平行四边行的面积公式知，只要底和高的乘积相等就说明面积相等， 但是两个长方形的底不一定相等，高也不一定相等，所以这两个平行四边行的形状不一定相同， 周长也不一定相同 故答案为：B 【名师点评】此题考查了平行四边行的面积公式的灵活应用 三判断题（共三判断题（共 5 小题）小题） 13如图中共有 3 组平行线 （判断对错） 【思路分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；据此解答 【规范解答】解：根
23、据平行线的定义可知， 如图中共有 7 组平行线 原题说法错误 故答案为： 【名师点评】此题考查了对平行线的掌握 14平行四边形具有稳定，不易变形的特性 （判断对错） 【思路分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形 【规范解答】解：因为平行四边形具有不稳定性，所以容易变形； 原说法错误 故答案为： 【名师点评】此题主要考查平行四边形的特性 15画边长 3 厘米的正方形时，只用量角器就可以画出来 （判断对错） 【思路分析】画边长 3 厘米的正方形时，需要确定边的长度，量角器无法测量或绘制线段的长度，据此 判断 【规范解答】解：画边长 3 厘米的正方形时，需要确定边的长度，
24、量角器无法测量或绘制线段的长度， 所以原题说法错误 故答案为： 【名师点评】本题主要考查了画指定边长的正方形，需要学生熟知各种工具的使用 16（2019 秋郓城县期末）这样的四根小棒可以围成许多不同的平行四边形 （判断对错） 【思路分析】依据平行四边形的意义，即两组对边分别平行或相等的四边形，叫做平行四边形；据此可 知：只要是两组对边相等，就能围成一个平行四边形；据此判断即可 【规范解答】解： 如图的四根小棒，因为两组分别相等，所以可以围成平行四边形，因为平行四边形具有易变形的性质， 所以能围成许多不同的平行四边形，所以本题说法正确； 故答案为： 【名师点评】此题关键是根据四边形的特征进行分析
25、、解答 17（2019 秋唐县期末）我们平常见到的电动伸缩门就是利用了平行四边形稳定性的特点 （判断 对错） 【思路分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行 四边形易变形的特性 【规范解答】 解： 我们平常见到的电动伸缩门就是利用了平行四边形易变性的特点， 所以本题说法错误； 故答案为： 【名师点评】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形 四操作题（共四操作题（共 3 小题）小题） 18画出如图各图形所给底边上的高 【思路分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条 边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条
26、高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一 边的垂线段，用三角板的直角可以画出平行四形的高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数 条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线，用三角板的直角可以画出梯形的一条高 【规范解答】解：画法如下： 【名师点评】本题是考查作平行四边形、梯形的高注意作高用虚线，并标出垂足 19（2019 秋大田县期末）按要求完成下面各题 先从如图中任意选出两点画出一条直线 再通过第三点画出它的平行线和垂线 【思路分析】、把其中的两个点直接连起来就是一条直线 、用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和已知点重合，用直尺靠紧和 已知点重合的直角边，
27、按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过已知点画直线就是平行线 用三角板的一条直角边的已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和已知点 重合，过已知点沿直角边向已知直线画直线就是垂线 【规范解答】解： 【名师点评】本题考查了学生画平行线和垂线的能力 20（2020海淀区）过 A 点作对边的垂线和平行线 【思路分析】过 A 点作对边的垂线和平行线，把点 A 的对边看作一条直线的一部分，即过直线外一点作 已知直线的垂线和平行线过 A 点作对边的垂线：把三角板的一直角边靠紧点 A 的对边，沿这条线段滑 动三角板，当另一直角边经过点 A 时，沿这条直角边画的直线就是过 A 点作对边的垂线
28、； 过 A 点作对边的平行线：把三角板的一边靠紧点 A 的对边，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当 与点 A 的对边重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过点 A 点作的对边的平行线 【规范解答】解：过 A 点作对边的垂线（红色）和平行线（绿色） 【名师点评】过直线外一点作已知直线的垂线和平行线，三角板、三角板与直尺（或另一三角板）正确、 熟练使用的配合使用是关键 五解答题（共五解答题（共 2 小题）小题） 21（2020 春邛崃市期末）在点子图上画出一个平行四边形 【思路分析】根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，在点子图中画出即可 【规范解答】解：画图如下： 【名师点评】本题考
29、查了学生根据平行四边形的定义在点子图上画图的能力 22 （2019 秋皇姑区期末） 若你把一个梯形两腰的中点进行连结， 得到的这条线段就是这个梯形的中位线 （1）试画出这个梯形的中位线（用铅笔和直尺作图） （2） 量一量中位线的长度， 再量一量这个梯形上底和下底的长度， 你发现了什么？把你的发现写在下面？ 【思路分析】（1）先找到两腰的中点，再连结即可求解； （2）根据线段的测量方法量出中位线的长度，上底和下底的长度，再依此找到它们的规律即可求解 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）我的发现：梯形中位线上底和下底的和的一半 【名师点评】考查了梯形的特征及分类，关键是熟悉梯形中位线上底和下底的和的一半