1、2021 年内蒙古呼和浩特年内蒙古呼和浩特二校联考二校联考中考数学模拟试卷（中考数学模拟试卷（2 月份）月份） 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列运算正确的是（ ） Aa2b+2a2ba2b B2aa2 C3a2+2a25a4 D2a+b2ab 2在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3已知点 P（m2+1，1）与点 Q 关于原点对称，则点 Q 一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4对于一组统计数据 3，3，6，5，3下列说法错误的是（ ） A平均数是 4 B众数是 3 C中位数是 6 D方差是
2、 1.6 5 已知二次函数的图象 （0 x4） 如图， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是 （ ） A有最大值 2，有最小值2.5 B有最大值 2，有最小值 1.5 C有最大值 1.5，有最小值2.5 D有最大值 2，无最小值 6 在一个不透明的袋子里装有四个小球， 球上分别标有 6， 7， 8， 9 四个数字， 这些小球除数字外都相同 甲、 乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球 上的数字，记为 n如果 m，n 满足|mn|1，那么就称甲、乙两人“心领神会” ，则两人“心领神会” 的概率是（ ） A B C D 7如图
3、，直角三角形 ABC 有一外接圆，其中B90，ABBC，今欲在上找一点 P，使得， 以下是甲、乙两人的作法： 甲： （1）取 AB 中点 D； （2）过 D 作直线 AC 的平行线，交于 P，则 P 即为所求 乙： （1）取 AC 中点 E； （2）过 E 作直线 AB 的平行线，交于 P，则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 C D甲错误，乙正确 8如图，AD 和 AC 分别是O 的直径和弦，且CAD30，OBAD，交 AC 于点 B，若 OB5，则 BC 的长是（ ） A5 B5 C510 D105 9已知边长为 4
4、 的等边ABC，E，F 分别是 AB、BC 的中点，将BEF 绕点 B 顺时针旋转 ，AE 与 CF 交于 P当 60时，点 P 运动的路径长是（ ） A B C D 10如图，直线 yk1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P，Q 两点，与 y的图象相交于 A（2，m） ，B（1，n） 两点，连接 OA，OB下列结论：k1+k20；不等式 k1x+b的解集是 x2 或 0 x1；S AOPSBOQ；m+n0其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+xk20 的一个根为 1，则 k 的值
5、为 12若 m+n1，mn2，则的值为 13已知在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点G 为 AD 上一点，将ABG 沿 BG 翻折，使 A 点 的对应点恰好落在 EF 上的 N 点，则ABG 14对于实数 a，b，定义运算“”如下：aba2ab，例如，53525310若（x+1）（x 2）6，则 x 的值为 15已知 AB 是O 的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DEAB，交O 于 D，E 两点，过点 D 作 直径 DF，连接 AF，则DFA 16如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n 个图形需要围棋子的枚数为 三、解答题（三、解答题（17 题题 8
6、 分，分，18 题题 6 分，分，19、20、21、22 每题各每题各 8 分，分，23、24 每题每题 7 分，分，25 题题 12 分，共分，共 72 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （+1）2+（） 1； （2）解方程： 18 （6 分）如图，12，ADAE，BACE，且 B、C、D 三点在一条直线上 （1）试说明ABD 与ACE 全等的理由 （2）如果B60，试说明线段 AC、CE、CD 之间的数量关系，并说明理由 19 （8 分）某校八（1）班同学为了了解 2018 年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭， 并将调查数据进行如下整理，请解答以下问题： 月均用水
7、量 x 频数（户） 频率 0 x5 6 0.12 5x10 12 0.24 10 x 15 m 0.32 15x 20 10 n 20 x 25 4 0.08 25x 30 2 0.04 （1）本次调查采用的调查方式是 （填“普查”或“抽样调查” ） ，样本容量是 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“15x20”的圆心角度数是 ； （4）若该小区有 5000 户家庭，求该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有多少户？ 20 （8 分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关第一道单选题有 3 个选项，第 二道单选题有 4 个选
8、项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以 让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （1）如果小明第一题不使用“求助” ，那么小明答对第一道题的概率是 （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率 （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助” （直接写出答案） 21 （8 分）物美商场于今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品当商品售价为 40 元时，一月份销售 256 件二、三月该商品十分畅销销售量持续走高在售价不变的基础上，三月底的销售量达到 400 件设 二、三这两个月月平均增长率不变 （1）求二、三这两个月的
9、月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元，销售量增 加 5 件，当商品降价多少元时，商场获利 4250 元？ 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 交 AB 于点 F，O 的切线 BC 与 AD 的延长线交于点 C，连接 AE （1）试判断AED 与C 的数量关系，并说明理由； （2）若 AD3，C60，点 E 是半圆 AB 的中点，则线段 AE 的长为 23 （7 分）如图，在直角坐标系中，直线 yx 与反比例函数 y的图象交于关于原点对称的 A，B 两点，已知 A 点的纵坐标是 3 （1）求反比例函数的表达式； （
10、2）将直线 yx 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果ABC 的面积为 36，求平 移后的直线的函数表达式 24 （7 分）如图，在ADC 中，AD2，CD4，ADC 是一个不固定的角，以 AC 为边向ADC 的另一 侧作等边ABC，连接 BD，则 BD 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明 理由 25 （12 分）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点 C、A（1，1） 、B（3，1） 动 点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足 为 Q设 P 点移动的时
11、间为 t 秒（0t4） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S （1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3） 将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90， 是否存在 t， 使得OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在， 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列运算正确的是（ ） Aa2b+2a2ba2b B2aa2 C3a2+2a25a4 D2a+b2ab 【分析】根据合并同类项的法则，合并时系数相加减，字母与字母的指
12、数不变 【解答】解：A、正确； B、2aaa； C、3a2+2a25a2； D、不能进一步计算 故选：A 2在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确 故选：D 3已知点 P（m2+1，1）与点 Q 关于原点对称，则点 Q 一定在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】根据关于
13、原点对称，横纵坐标都互为相反数，进行计算即可 【解答】解：点 P（m2+1，1）与点 Q 关于原点对称， Q（m21，1） ， m210，10， 点 Q 一定在第二象限， 故选：B 4对于一组统计数据 3，3，6，5，3下列说法错误的是（ ） A平均数是 4 B众数是 3 C中位数是 6 D方差是 1.6 【分析】先把数据 3，3，6，5，3 由小到大排列为：3，3，3，5，6，然后分别求出众数、中位数、平均 数和方差，从而可对各选项进行判断 【解答】解：数据 3，3，6，5，3 由小到大排列为：3，3，3，5，6，所以数据的众数为 3，中位数为 3， 平均数为（3+3+3+5+6）4，方差
14、S23（34）2+（54）2+（64）21.6 故选：C 5 已知二次函数的图象 （0 x4） 如图， 关于该函数在所给自变量的取值范围内， 下列说法正确的是 （ ） A有最大值 2，有最小值2.5 B有最大值 2，有最小值 1.5 C有最大值 1.5，有最小值2.5 D有最大值 2，无最小值 【分析】根据二次函数的图象，可知函数 y 的最大值和最小值 【解答】解：观察图象可得，在 0 x4 时，图象有最高点和最低点， 函数有最大值 2 和最小值2.5， 故选：A 6 在一个不透明的袋子里装有四个小球， 球上分别标有 6， 7， 8， 9 四个数字， 这些小球除数字外都相同 甲、 乙两人玩“猜
15、数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球 上的数字，记为 n如果 m，n 满足|mn|1，那么就称甲、乙两人“心领神会” ，则两人“心领神会” 的概率是（ ） A B C D 【分析】画出树状图列出所有等可能结果，由树状图确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结 果数，根据概率公式求解可得 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有 16 种等可能结果，其中满足|mn|1 的有 10 种结果， 两人“心领神会”的概率是， 故选：B 7如图，直角三角形 ABC 有一外接圆，其中B90，ABBC，今欲在上找一点 P，使得， 以下是甲、乙两人的作法：
16、甲： （1）取 AB 中点 D； （2）过 D 作直线 AC 的平行线，交于 P，则 P 即为所求 乙： （1）取 AC 中点 E； （2）过 E 作直线 AB 的平行线，交于 P，则 P 即为所求 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（ ） A两人皆正确 B两人皆错误 C甲正确，乙错误 C D甲错误，乙正确 【分析】 （1）由甲的作法可知，DP 是ABC 的中位线，由于 DP 不垂直于 BC，故； （2）由乙的作法，连 BE，可知BEC 为等腰三角形，由等腰三角形的性质可知12，根据圆周角 定理即可得出结论 【解答】解： （1）由甲的作法可知，DP 是ABC 的中位线， DP 不垂直于
17、BC， ； （2）由乙的作法，连 BE，可知BEC 为等腰三角形 直线 PEBC， 12 故； 甲错误，乙正确 故选：D 8如图，AD 和 AC 分别是O 的直径和弦，且CAD30，OBAD，交 AC 于点 B，若 OB5，则 BC 的长是（ ） A5 B5 C510 D105 【分析】在 RtAOB 中，已知了 OB 的长和A 的度数，根据直角三角形的性质可求得 OA 的长，也就 得到了直径 AD 的值，连接 CD，同理可在 RtACD 中求出 AC 的长，由 BCACAB 即可得解 【解答】解：连接 CD； RtAOB 中，A30，OB5，则 AB10，OA5； 在 RtACD 中，A30
18、，AD2OA10， ACcos30101015， BCACAB15105， 故选：A 9已知边长为 4 的等边ABC，E，F 分别是 AB、BC 的中点，将BEF 绕点 B 顺时针旋转 ，AE 与 CF 交于 P当 60时，点 P 运动的路径长是（ ） A B C D 【分析】如图，作ABC 的外接圆O，OMBC 于 M 交O 于 N，连接 OB，PB由ABECBF， 推出BAEBCP，推出 A、B、P、C 四点共圆，因为BPC+BAC180，所以BPC120， 所以点 P 的运动轨迹是，利用弧长公式计算即可 【解答】解：如图，作ABC 的外接圆O，OMBC 于 M 交O 于 N，连接 OB，
19、PB ABC 和EBF 是等边三角形， ABBC，BEBF，ABCBACEBF60， ABECBF， 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF， BAEBCP， A、B、P、C 四点共圆， BPC+BAC180， BPC120， 点 P 的运动轨迹是， 等边三角形的边长为 4， OB， 的长， 故选：D 10如图，直线 yk1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P，Q 两点，与 y的图象相交于 A（2，m） ，B（1，n） 两点，连接 OA，OB下列结论：k1+k20；不等式 k1x+b的解集是 x2 或 0 x1；S AOPSBOQ；m+n0其中正确的结论是（ ） A B C D 【分析】根
20、据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解 答本题 【解答】解：由图象可得， k10，k20，则 k1+k20，故正确； 直线 yk1x+b 与 y的图象相交于 A（2，m） ，B（1，n）两点， 不等式 k1x+b的解集是 x2 或 0 x1，故错误； y的图象过 A（2，m） ，B（1，n）两点， 2mn， 2m+n0， m+n0，故正确； 直线 yk1x+b 过 A（2，m） ，B（1，n）两点， ， 解得， 2mn， k1m，bm， 直线 ymxmm（x+1） ， 当 x1 时，y0，当 x0 时，ym， 点 P 的坐标为（1，0） ，点 Q 的坐
21、标为（0，m） ， SAOP，SBOQ， SAOPSBOQ，故正确； 故选：C 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 18 分）分） 11若关于 x 的一元二次方程（k1）x2+xk20 的一个根为 1，则 k 的值为 0 【分析】把 x1 代入原方程，解一个关于 k 的一元二次方程就可以求出 k 的值 【解答】解：x1 是（k1）x2+xk20 的根， k1+1k20，解得 k0 或 1， k10， k1， k0 故答案为：0 12若 m+n1，mn2，则的值为 【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将 m+n 与 mn 的值代入计算即可求出值 【解答】解：m+n1，
22、mn2， 原式 故答案为： 13已知在矩形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点G 为 AD 上一点，将ABG 沿 BG 翻折，使 A 点 的对应点恰好落在 EF 上的 N 点，则ABG 30 【分析】连接 AN，根据轴对称的性质，即可得到ABN 是等边三角形，根据轴对称的性质，即可得到 ABGABN30 【解答】解：如图，连接 AN， 由折叠可得，EF 垂直平分 AB， NANB， 由折叠可得，ABNB，ABGNBG， ABBNAN， ABN 是等边三角形， ABN60， ABGABN30， 故答案为：30 14对于实数 a，b，定义运算“”如下：aba2ab，例如，535253
23、10若（x+1）（x 2）6，则 x 的值为 1 【分析】根据题意列出方程，解方程即可 【解答】解：由题意得， （x+1）2（x+1） （x2）6， 整理得，3x+36， 解得，x1， 故答案为：1 15已知 AB 是O 的直径，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 DEAB，交O 于 D，E 两点，过点 D 作 直径 DF，连接 AF，则DFA 30 【分析】利用垂径定理和三角函数得出CDO30，进而得出DOA60，利用圆周角定理得出 DFA30即可 【解答】解：点 C 是半径 OA 的中点， OCOD， DEAB， CDO30， DOA60， DFA30， 故答案为：30 16如图，
24、用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n 个图形需要围棋子的枚数为 6n1 【分析】本题中可根据图形分别得出 n1，2，3，4 时的小屋子需要的点数，然后找出规律得出第 n 个 时小屋子需要的点数，然后将 10 代入求得的规律即可求得有多少个点 【解答】解：依题意得： （1）摆第 1 个“小屋子”需要 5 个点； 摆第 2 个“小屋子”需要 11 个点； 摆第 3 个“小屋子”需要 17 个点 当 nn 时，需要的点数为（6n1）个 故答案为 6n1 三、解答题（三、解答题（17 题题 8 分，分，18 题题 6 分，分，19、20、21、22 每题各每题各 8 分，分，23、24 每题每题 7
25、 分，分，25 题题 12 分，共分，共 72 分）分） 17 （8 分） （1）计算： （+1）2+（） 1； （2）解方程： 【分析】 （1）原式利用完全平方公式，算术平方根定义，负整数指数幂，以及立方根的性质计算，即可 求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解： （1）原式2+2+15+2 2； （2）去分母得：去分母得：32xx2， 解得：x， 经检验 x是分式方程的解 18 （6 分）如图，12，ADAE，BACE，且 B、C、D 三点在一条直线上 （1）试说明ABD 与ACE 全等的理由 （2）如果B60，
26、试说明线段 AC、CE、CD 之间的数量关系，并说明理由 【分析】 （1）根据 AAS 证明明ABD 与ACE 全等即可； （2）利用全等三角形的性质和等边三角形的判定和性质解答即可 【解答】解： （1）理由： 12， 1+CAD2+CAD， 即BADCAE， 在ABD 与ACE 中 ， ABDACE（AAS） ； （2）由（1）ABDACE 可得： BDCE，ABAC， B60， ABC 是等边三角形， ABBCAC， BDCEBC+CDAC+CD， 即 CEAC+CD 19 （8 分）某校八（1）班同学为了了解 2018 年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭， 并将调查数据进
27、行如下整理，请解答以下问题： 月均用水 量 x 频数（户） 频率 0 x5 6 0.12 5x10 12 0.24 10 xm 0.32 15 15x 20 10 n 20 x 25 4 0.08 25x 30 2 0.04 （1）本次调查采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查” ） ，样本容量是 50 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若将月均用水量的频数绘成扇形统计图，则月均用水量“15x20”的圆心角度数是 72 ； （4）若该小区有 5000 户家庭，求该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有多少户？ 【分析】 （1）根据题意，可以得到本次调查采用的调查方式，再根据
28、“0 x5”的频数和频率，可以计 算出样本容量； （2）根据（1）中的结果和频数分布表中的是，可以计算出 m 的值，然后即可将频数分布直方图补充完 整； （3）根据频数分布表中的数据，可以计算出月均用水量“15x20”的圆心角度数； （4）根据频数分布表中的数据，可以计算出该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有多少户 【解答】解： （1）由题意可得， 本次调查采用的调查方式是抽样调查，样本容量是 60.1250， 故答案为：抽样调查，50； （2）m500.3216， 补全的频数分布直方图如右图所示； （3）月均用水量“15x20”的圆心角度数是：36072， 故答案为：72； （4）50
29、00（0.08+0.12） 50000.20 1000（户） ， 答：该小区月均用水量超过 20t 的家庭大约有 1000 户 20 （8 分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关第一道单选题有 3 个选项，第 二道单选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以 让主持人去掉其中一题的一个错误选项） （1）如果小明第一题不使用“求助” ，那么小明答对第一道题的概率是 （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率 （3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助” （直接写出答案） 【分析】
30、（1）由第一道单选题有 3 个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2） 首先分别用 A， B， C 表示第一道单选题的 3 个选项， a， b， c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项， 然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求 得答案； （3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通 关的概率为：；即可求得答案 【解答】解： （1）第一道单选题有 3 个选项， 如果小明第一题不使用“求助” ，那么小明答对第一道题的概率是：； 故答案为：； （2）分别用 A，B，C 表示第一道单选题的 3
31、个选项，a，b，c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项， 画树状图得： 共有 9 种等可能的结果，小明顺利通关的只有 1 种情况， 小明顺利通关的概率为：； （3）如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通 关的概率为：； 建议小明在第一题使用“求助” 21 （8 分）物美商场于今年年初以每件 25 元的进价购进一批商品当商品售价为 40 元时，一月份销售 256 件二、三月该商品十分畅销销售量持续走高在售价不变的基础上，三月底的销售量达到 400 件设 二、三这两个月月平均增长率不变 （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定
32、采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元，销售量增 加 5 件，当商品降价多少元时，商场获利 4250 元？ 【分析】 （1）由题意可得，1 月份的销售量为：256 件；设 2 月份到 3 月份销售额的月平均增长率，则二 月份的销售量为：256（1+x） ；三月份的销售量为：256（1+x） （1+x） ，又知三月份的销售量为：400 元， 由此等量关系列出方程求出 x 的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润4250 求出即可 【解答】解： （1）设二、三这两个月的月平均增长率为 x，根据题意可得： 256（1+x）2400， 解得：x1，x2（不合题意舍
33、去） 答：二、三这两个月的月平均增长率为 25%； （2）设当商品降价 m 元时，商品获利 4250 元，根据题意可得： （4025m） （400+5m）4250， 解得：m15，m270（不合题意舍去） 答：当商品降价 5 元时，商品获利 4250 元 22 （8 分）如图，AB 是O 的直径，弦 DE 交 AB 于点 F，O 的切线 BC 与 AD 的延长线交于点 C，连接 AE （1）试判断AED 与C 的数量关系，并说明理由； （2）若 AD3，C60，点 E 是半圆 AB 的中点，则线段 AE 的长为 【分析】 （1）根据切线的性质和圆周角定理解答即可； （2）根据勾股定理和三角函数
34、进行解答即可 【解答】解： （1）AEDC，证明如下： 连接 BD， 可得ADB90， C+DBC90， CB 是O 的切线， CBA90， ABD+DBC90， ABDC， AEBABD， AEDC， （2）连接 BE， AEB90， C60， CAB30， 在 RtDAB 中，AD3，ADB90， cosDAB， 解得：AB2， E 是半圆 AB 的中点， AEBE， AEB90， BAE45， 在 RtAEB 中，AB2，ADB90， cosEAB， 解得：AE 故答案为： 23 （7 分）如图，在直角坐标系中，直线 yx 与反比例函数 y的图象交于关于原点对称的 A，B 两点，已知 A
35、 点的纵坐标是 3 （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线 yx 向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点 C，如果ABC 的面积为 36，求平 移后的直线的函数表达式 【分析】 （1）将 y3 代入一次函数解析式中，求出 x 的值，即可得出点 A 的坐标，再利用反比例函数图 象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式； （2）平移后直线于 y 轴交于点 F，连接 AF、BF，设平移后的解析式为 yx+b，由平行线的性质可 得出 SABCSABF，结合正、反比例函数的对称性以及点 A 的坐标，即可得出关于 b 的一元一次方程， 解方程即可得出结论 【解答】解： （1）令一次函数 yx 中
36、y3，则 3x， 解得：x6，即点 A 的坐标为（6，3） 点 A（6，3）在反比例函数 y的图象上， k6318， 反比例函数的表达式为 y； （2）设平移后直线于 y 轴交于点 F，连接 AF、BF 如图所示 设平移后的解析式为 yx+b， 该直线平行直线 AB， SABCSABF， ABC 的面积为 48， SABFOF （xBxA）36， 由对称性可知：xBxA， xA6， xB6， b1236， b6 平移后的直线的函数表达式为 yx+6 24 （7 分）如图，在ADC 中，AD2，CD4，ADC 是一个不固定的角，以 AC 为边向ADC 的另一 侧作等边ABC，连接 BD，则 BD
37、 的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明 理由 【分析】以 AD 为边作等边ADE，连接 CE由题意可证ABDACE，可得 BDCE，根据三角形 三边关系可求 CE 的最大值，即可得 BD 的最大值 【解答】解：BD 存在最大值 如图：以 AD 为边作等边ADE，连接 CE ABC，ADE 都是等边三角形 ABAC，ADAEDE2，BACEAD60 BADBAC+DAC，EACEAD+DAC BADEAC，且 ABAC，ADAE ABDACE（SAS） BDCE 若点 E，点 D，点 C 不共线时，ECED+DC； 若点 E，点 D，点 C 共线时，ECED+DC ECE
38、D+CD2+46 BD6 BD 最大值为 6 25 （12 分）如图所示，已知在直角梯形 OABC 中，ABOC，BCx 轴于点 C、A（1，1） 、B（3，1） 动 点 P 从 O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动过 P 点作 PQ 垂直于直线 OA，垂足 为 Q设 P 点移动的时间为 t 秒（0t4） ，OPQ 与直角梯形 OABC 重叠部分的面积为 S （1）求经过 O、A、B 三点的抛物线解析式； （2）求 S 与 t 的函数关系式； （3） 将OPQ 绕着点 P 顺时针旋转 90， 是否存在 t， 使得OPQ 的顶点 O 或 Q 在抛物线上？若存在， 直接写出
39、 t 的值；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设抛物线解析式为 yax2+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式 （2）求出 S 的面积，根据 t 的取值不同分三种情况讨论 S 与 t 的函数关系式 （3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在 【解答】解： （1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为 yax2+bx（a0） 把 A（1，1） ，B（3，1）代入上式得： ， 解得 所求抛物线解析式为 yx2+x 方法二：A（1，1） ，B（3，1） ， 抛物线的对称轴是直线 x2 设抛物线解析式为 ya（x2）2+h（a0） 把 O（0，0） ，A（1，1）代入 得，
40、解得， 所求抛物线解析式为 y（x2）2+ （2）分三种情况： 当 0t2，重叠部分的面积是 SOPQ，过点 A 作 AFx 轴于点 F， A（1，1） ， 在 RtOAF 中，AFOF1，AOF45，在 RtOPQ 中，OPt，OPQQOP45， PQOQtcos 45tSt2， 当 2t3，设 PQ 交 AB 于点 G，作 GHx 轴于点 H，OPQQOP45， 则四边形 OAGP 是等腰梯形，重叠部分的面积是 S梯形OAGP AGFHt2， S（AG+OP）AF（t+t2）1t1 当 3t4，设 PQ 与 AB 交于点 M，交 BC 于点 N，重叠部分的面积是 S五边形OAMNC 因为PNC 和BMN 都是等腰直角三角形， 所以重叠部分的面积是 S五边形OAMNCS梯形OABCSBMN B（3，1） ，OPt， PCCNt3， S（2+3）1（4t）2， St2+4t （3）存在 当 O 点在抛物线上时，将 O（t，t）代入抛物线解析式，解得 t0（舍去） ，t1； 当 Q 点在抛物线上时，Q（t，t）代入抛物线解析式得 t0（舍去） ，t2 故 t1 或 2