1、高考必备公式、结论、方法、细节七：导数与定积分 一、必备公式 1导数公式 (1)导数定义公式： f(x0) lim x0 y xlimx0 . (2)基本初等函数的导数公式 (c) (c 为常数)； (xn) ； (sin x) ； (cos x) ； (ex) ； ( ax) (a0，a1)；(ln x) ； (logax) (a0，a1)； (3)导数运算法则：记函数 f(x)=u，g(x)=v，则： 和差导数：(u v) ； 积的导数：(cu) (c 为常数)； (uv) ； 商的导数：(u v) (u0)； 复合导数：fg(x) 2定积分公式 (1)定积分的性质公式： bakf(x)d
2、x ； baf1(x) f2(x)dx ； baf(x)dx (其中 acb) (2)微积分基本定理(牛莱公式)： 一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)，则：baf(x)dx 二、必备结论 1函数最值结论： (1)连续函数 yf(x)在闭区间a，b上必有最大值和最小值，且最值一定处在 处或 处； (2)当函数在某区间上只有唯一的极值点时，则相应的极小值必为函数的 值，极大值也必为函数的 值 2函定积分求面积结论：某一区间上的定积分值有正负，而曲边梯形的面积一定是 的，具体如下： (1)图甲： S a bf(x)dx； (2)图乙：S ； (3)图丙：S c b
3、f(x)dx. 3恒成立问题与存在成立问题结论： (1)恒成立三种类型：对于xD：若 f(x)M，则 M；若 f(x)M，则 f(x)minM； 对于xD：若 f(x)g(x) ，则 0；若 f(x)g(x)，则 0； 对于x1D1，x2D2，若 f(x1)g(x2)，则 ； (2)存在成立三种类型：对于x0D：若 f(x0)M，则 M；若 f(x0)M，则 f(x) maxM； 对于x0D：若 f(x0)g(x0) ，则 0；若 f(x0)g(x0)，则f(x)g(x) min0； 对于x1D1，x2D2，若 f(x1)g(x2)，则 ； (3)恒成立与存在混合：对于x1D1，x2D2，f(
4、x1)g(x2)，则 ； 对于x1D1，x2D2，f(x1)g(x2)，则 ； 三、必备方法 1导函数解题的两大意识： (1)导后三件事：导后 ； 导后 (针对含分母的导函数)； 导后 . (2)含参讨论逻辑：讨论方程 f(x)0 ； 若 f(x)0 有根，讨论根是否在 内； 若根在定义域内且有两个或更多，应讨论根的 关系 2曲线切线方程的三种类型及方法： (1)“在点”切线：即求 yf(x)在点 P(x0，f(x0)的切线方程，步骤如下： 求导数 f (x)； 求切线斜率：k切线 ； 求切线方程：点斜式方程 ； (2)“过点”切线：即求 yf(x)过点 P(x1，f(x1)的切线方程，步骤如
5、下： 设 坐标 Q(x0，f(x0)； 利用 “在点” 切线求法， 写出切线方程： yf(x0)f (x0) (xx0) ； 求切点坐标：把点 P(x1，f(x1)代入 方程，求 x0； 把切点 Q(x0，f(x0)代入中方程即可. (3)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程： 设切点：P(x0，y0)； 求切点：通过方程 解得 x0； 写方程：再由点斜式写出方程 3用导函数解决单调性问题： (1)求单调区间的步骤： 确定函数 f(x)的定义域； 求 f(x)； 解不等式： 令 的解集与定义域 为单调递增区间； 令 f(x)0 的解集与定义域交集为单调 区间 注意：相同单调性的单调区
6、间不可并. (2)已知函数 f(x)在(a，b)的单调性，求参数的范围的方法： 关系法：即 yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集 转化 ：即“若函数单调递增，则 恒成立；若函数单调递减，则 恒成立” 注意：转化恒成立时，不要忘记 f(x)可以等于 ；恒成立问题， 法. 4导数与函数极值、最值： (1)求函数 f(x)极值的步骤： 求定义域； 求导数 f(x)； 解方程 ；画极值分布表；通过表格求极值. (2)求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值步骤：求 f(x) ； 求 值 f(a)，f(b)； 比较极值与端点值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 5用
7、导函数解决不等式有关问题： (1)证明不等式：以证明不等式 f(x)0，a1) ； (ln x) 1 x ； (logax) 1 xln a(a0，a1)； (3)导数运算法则：记函数 f(x)=u，g(x)=v，则： 和差导数：(u v) uv ； 积的导数：(cu) cu (c 为常数)； (uv) uv+uv ； 商的导数：(u v) uvuv v2 (u0)； 复合导数：fg(x) g(x) f(v) 2定积分公式 (1)定积分的性质公式： bakf(x)dxkbaf(x)dx； baf1(x) f2(x)dxbaf1(x)dx baf2(x)dx； baf(x)dxcaf(x)dxb
8、cf(x)dx(其中 ac0 的解集与定义域交集为单调递增区间；令 f(x)0 的解集与定义域交集为单调递减区间 注意：相同单调性的单调区间不可并. (2)已知函数 f(x)在(a，b)的单调性，求参数的范围的方法： 子集关系法：即 yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集 转化恒成立：即“若函数单调递增，则 f(x)0 恒成立；若函数单调递减，则 f(x)0 恒成立” 注意：转化恒成立时，不要忘记 f(x)可以等于 0；恒成立问题，分参法. 4导数与函数极值、最值： (1)求函数 f(x)极值的步骤： 求定义域； 求导数 f(x)； 解方程 f(x)0；画极值分布表
9、；通过表格求极值. (2)求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值步骤：求 f(x)极值； 求端点值 f(a)，f(b)； 比较极值与端点值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 5用导函数解决不等式有关问题： (1)证明不等式：以证明不等式 f(x)g(x)为例，常用如下三种方法： 作差构造：即构造函数 F(x)f(x)g(x)，然后求 F(x) max 并证明 F(x) max0； 最值比较：即分别求 f(x) max、g(x)min，然后证明 f(x) maxg(x)min 即可； 先整理，再证明：即通过去分母，移项合并等方式对不等式进行等价化简，然后用或方法证明； 注意：根据经验，
10、高考易考函数有 f(x)xln x 和 f(x) x ex，整理不等式的时候要注意. (2)含参不等式恒成立：分离参数，构造函数，把恒成立问题转化为函数的最值问题 以证 f(x)a0 恒成立为例，具体步骤： 分参变形：af(x)； 构造函数：h(x)f(x)； 求最值 h(x) max； 确定范围：ah(x) max. 6用导函数解决函数零点问题： (1)判断零点个数：数形结合思想，即研究 yf(x)的单调及极值，画出函数草图，判断图像与 x 轴交点个数； (2)含参零点讨论： 分离参数+数形结合， 即将函数 F(x) f(x)a 分参变形为 af(x)， 研究 f(x)的性质并画出草图， 通过讨论参数 a 的范围，进而确定直线 ya 与 f(x)图像交点个数，即确定零点个数. 四、必备细节 1 f (x0)是一个常数，其导数一定为 0，即(f(x0)0. 2求曲线切线时，要分清“在点 P”处的切线与“过点 P”的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者 3注意两种表述“函数 f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数 f(x)的减区间为(a，b)”的区别 4对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的必要不充分条件 5定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负