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2021年高考必备公式、结论、方法、细节六:圆锥曲线的性质及应用

1、高考必备公式、结论、方法、细节六:圆锥曲线的性质及应用 一、必备公式 1椭圆有关知识: (1)椭圆定义:动点 P 满足:| PF1| PF2| ,|F1F2|2c 且 (其中 a0,c0,且 a,c 为常数) (2)椭圆标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 a a,b b b b,a a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 ;短轴 B1B2的长为 焦

2、距 |F1F2|2c 离心率 ec a a,b,c 的关系 2双曲线有关知识 (1)双曲线定义:动点 P 满足:|PF1|PF2| ,|F1F2|2c 且 (其中 a,c 为常数且 a0,c0). (2)双曲线标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0,b0) y2 a2 x2 b21 (a0,b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa,yR xR,ya 或 ya 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,a) 渐近线 y y 离心率 ec a,e ,其中 c a2b2 实虚轴 实轴|A1A2|2a;虚轴|B1B2

3、|2b; a、b、c 的关系 (ca0,cb0) 3抛物线有关知识: (1)抛物线定义:|PF|PM|,点 F 不在直线 l 上,PMl 于 M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F F( ) p 2,0 F F( ) 0,p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 yp 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 4重要公式 (1)弦长公式:|AB| 1 1

4、 k2|y1y2|; (2)韦达定理:x1x2 ,x1x2 . 二、必备结论 1轨迹类型:方程x 2 m y2 n1,当 mn0 时表示 ;当 mn0 或 nm0 时表示 ;当 时表示双曲线 2椭圆结论: (1)如图 1:焦点 F1AF2周长 C F1AF2 、面积 S F1AF2 ; ABF2的周长为:CABF2 ; 通径:|AC| (椭圆、双曲线通用); 图 1 (2)如图 2:点 P 是椭圆上一动点,则有:动点角范围:0A1PA2A1BA2; 焦半径范围: |PF1| (长轴顶点到焦点最近和最远,即远、近地点); |PO|范围:b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近; 斜率:kPA1

5、kPA2 . (3) 点 P(x0,y0)和椭圆的关系: 图 2 点 P 在椭圆内 x20 a2 y20 b2 1. 点 P 在椭圆上 x20 a2 y20 b21. 点 P 在椭圆外 x20 a2 y20 b21. (4)椭圆扁平程度:因为 ec a c2 a2 a2b2 a2 1 b a 2,所以 e 越大,椭圆越 ;e 越小,椭圆越 3双曲线结论: (1)如图 3:动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为:|PF2|最小|A2F2| ; 焦点到渐近线的距离为:|F2M| ; (2)渐近线求法结论:可直接令方程x 2 a2 y2 b2(0)等号右边的常数为 ,化简解得; 图 3 4抛物线结

6、论: 如图 4:抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 E,准线为 l. (1)焦半径问题:焦半径:|AF|AD| ,|BF|BC| (随焦点位置变动而改变); 焦点弦:|AB| (其中, 为直线 AB 的倾斜角); 1 |AF| 1 |BF| 2 p; (2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1 x2 ,y1 y2 (随焦点动而变); 图 4 (3)其他结论:SOAB (其中, 为直线 AB 的倾斜角); 以 AB 为直径的圆必与 相切于点 H 三、必备方法 1直线与圆锥曲线相关问题: (1)位置关系:判别式法,即将直线方

7、程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0: 有两个交点(相交); 0有一个交点(相切); 0没有交点(相离) (2)弦长问题:弦长公式韦达定理,即|AB| 1 1 k2 | y1y2|. (3)中点问题: 法,即设点代入,然后作差,可以解决中点坐标与直线 之间的关系. 2 与角有关的关联性问题: 直角(垂直)数量积 a b 或斜率 k1 k2 或余弦定理 cos 0 或点共 ; 锐角a b0 或余弦定理 cos ; 钝角a b0 或余弦定理 cos ; 3 巧设直线: 反设直线法, 即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 x , 这样可避免对直线斜率存在性的讨论 4

8、巧设共渐近线双曲线:与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为 (0) 四、必备细节 1易混淆:椭圆 a2b2c2,而双曲线 c2a2b2; 双曲线离心率 e(1,),而椭圆离心率 e(0,1) 2易忽视:椭圆、双曲线的焦点位置; 抛物线为化成标准方程; 设直线未讨论斜率存在性; 解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时,忘记判别式 这一隐含条件 高考必备公式、结论、方法、细节六:圆锥曲线的性质及应用 一、必备公式 1椭圆有关知识: (1)椭圆定义:动点 P 满足:| PF1| PF2|2a,|F1F2|2c 且 a c (其中 a0,c0,且 a,c 为常数)

9、 (2)椭圆标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) y2 a2 x2 b21(ab0) 图形 性 质 范围 axa,byb bxb,aya 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2的长为 2a;短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|2c 离心率 ec a(0,1) a,b,c 的关系 a2b2c2 2双曲线有关知识 (1)双曲线定义:动点 P 满足:|PF1|PF2|2a,|F1F2|2c 且 ac (其中 a

10、,c 为常数且 a0,c0). (2)双曲线标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21 (a0,b0) y2 a2 x2 b21 (a0,b0) 图形 性质 范围 xa 或 xa,yR xR,ya 或 ya 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,a) 渐近线 y b ax y a bx 离心率 ec a,e(1,),其中 c a2b2 实虚轴 实轴|A1A2|2a;虚轴|B1B2|2b; a、b、c 的关系 c2a2b2 (ca0,cb0) 3抛物线有关知识: (1)抛物线定义:|PF|PM|,点 F 不在直线 l

11、上,PMl 于 M. (2)抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F( ) p 2,0 F( ) p 2,0 F( ) 0,p 2 F( ) 0,p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 4重要公式 (1)弦长公式:|AB| 1k2|x1x2|1 1 k2|y1y2|; (2)韦达定理:x1x2 b

12、a,x1x2 c a. 二、必备结论 1轨迹类型:方程x 2 m y2 n1,当 mn0 时表示圆;当 mn0 或 nm0 时表示椭圆;当 mn0 时表示双曲线 2椭圆结论: (1)如图 1:焦点 F1AF2周长 C F1AF22a2c、面积 S F1AF2b2 tan 2; ABF2的周长为:CABF24a; 通径:|AC|2b 2 a (椭圆、双曲线通用); 图 1 (2)如图 2:点 P 是椭圆上一动点,则有:动点角范围:0A1PA2A1BA2; 焦半径范围:ac|PF1|ac (长轴顶点到焦点最近和最远,即远、近地点); |PO|范围:b|PO|a(长、短轴顶点到原点最远、最近; 斜率

13、:kPA1kPA2b 2 a2. (3) 点 P(x0,y0)和椭圆的关系: 图 2 点 P 在椭圆内 x20 a2 y20 b21. (4)椭圆扁平程度:因为 ec a c2 a2 a2b2 a2 1 b a 2,所以 e 越大,椭圆越扁;e 越小,椭圆越圆 3双曲线结论: (1)如图 3:动点 P 到同侧焦点 F2的距离最小值为:|PF2|最小|A2F2|ca; 焦点到渐近线的距离为:|F2M|b; (2)渐近线求法结论:可直接令方程x 2 a2 y2 b2(0)等号右边的常数为 0,化简解得; 图 3 4抛物线结论: 如图 4:抛物线 y22px(p0)焦点弦 AB,设 A(x1,y1)

14、、B(x2,y2),AB 的中点 E,准线为 l. (1)焦半径问题:焦半径:|AF|AD|x1p 2,|BF|BC|x2 p 2 (随焦点位置变动而改变); 焦点弦:|AB|x1x2p 2p sin2 (其中, 为直线 AB 的倾斜角); 1 |AF| 1 |BF| 2 p; (2)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1 x2p 2 4 ,y1 y2p2 (随焦点动而变); 图 4 (3)其他结论:SOAB p2 2sin(其中, 为直线 AB 的倾斜角); 以 AB 为直径的圆必与准线相切于点 H 三、必备方法 1直线与圆锥曲线相关问题: (1)位置关系:判别式法,即将直线方

15、程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如 y)得出方程 Ax2BxC0: 0有两个交点(相交); 0有一个交点(相切); 0没有交点(相离) (2)弦长问题:弦长公式韦达定理,即|AB| 1k2 | x1x2|1 1 k2 | y1y2|. (3)中点问题:点差法,即设点代入,然后作差,可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系. 2与角有关的关联性问题:直角(垂直)数量积 a b0 或斜率 k1 k21 或余弦定理 cos 0 或点共圆; 锐角a b0 或余弦定理 cos 0; 钝角a b0 或余弦定理 cos 0; 3巧设直线:反设直线法,即过 x 轴上一点(a,0)的直线可设为 xtya,这样可避免对直线斜率存在性的讨论 4巧设共渐近线双曲线:与双曲线x 2 a2 y2 b21 有相同渐近线时,可设所求双曲线方程为 x2 a2 y2 b2 (0) 四、必备细节 1易混淆:椭圆 a2b2c2,而双曲线 c2a2b2; 双曲线离心率 e(1,),而椭圆离心率 e(0,1) 2易忽视:椭圆、双曲线的焦点位置; 抛物线为化成标准方程; 设直线未讨论斜率存在性; 解决直线线与曲线的方程求参数值或探究问题时,忘记判别式 0 这一隐含条件