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2021年高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量

1、高考必备公式、结论、方法、细节二:三角函数与平面向量 一、必备公式 1三角函数 (1)同角三角函数 平方关系: (又叫 1 字替换式); 商数关系: (又叫切弦互化式); (2)和差倍角关系 cos( )_ _; sin( )_ _; tan( ) ; sin 2 ; cos 2 ; tan 2 ; (3)辅助角公式: ,其中, , , 2正余弦定理 (1)正弦定理: a sin A c sin C2R,其中 R 为 ; 注意:正弦定理变式与性质: 边化正弦:a2R sin A,b ,c2R sin C; 正弦化边:sin A a 2R,sin B ,sin C c 2R; abc ; abc

2、 sin Asin Bsin C ; (2)余弦定理:a2 ; b2c2a22cacos_B; c2a2b22abcos_C 注意:变式:cos A ; cos Bc 2a2b2 2ac ; cos Ca 2b2c2 2ab (3)三角形面积 :SABC1 2absin C 1 2bcsin A abc 4R SABC1 2( ) r(r 是切圆的半径) 3平面向量: (1)两点间向量表示:若 A(x1,y1)、B(x2,y2),则AB ; (2)向量运算公式:若 a(x1,y1)、b(x2,y2) ,则: a b ; a ; a b ; |a| ; cosa,b ; a 在 b 方向上的投影

3、为: ; (3)平行与垂直定理: 共线定理:ab_ _ ; 垂直定理:ab _ _. 二、必备结论 1三角函数符号判断口诀: ,三切四余弦; 2诱导公式:口诀: ,符号看象限; 原则: 、大化小、小化锐; 3函数 ytan x 的定义域是:x|xR 且 ,kZ 4形如函数 yAsin(x)的图像及性质 (1)图像变换: 相位变换:ysin xysin(x)的规则是:左加(0)或右减(0) 个单位; 周期变换:ysin (x)ysin(x)的规则是:纵坐标不变,将横坐标缩小(伸长)为原来的 倍; 振幅变换: ysin (x) yAsin(x) 的规则是: 坐标不变,将 坐标缩小(伸长)为原来的|

4、A|倍; 注意:ysin xysin(x)变换规则是:先提取后者 x 的系数 ,然后在左(右)平移 个单位; (2)基本性质:定义域:解三角函数不等式用“ ” 值域: ;单调性: (3)周期公式:yAsin(x)(或 yAcos(x)的最小正周期 T ;y|Asin(x)|的周期 T . (3)对称性: 换元思想,将 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”,采用整体代入求解 对称轴:最值处,令 sin(x) ,则 x (kZ),可求得对称轴方程; 对称中心:零点处,令 sin(x) ,x (kZ),可求得对称中心的横坐标; (4)奇偶性:利用“反向诱导法”理解掌握 若 yAs

5、in(x),xR 是奇函数 (kZ);若 yAsin(x),xR 是偶函数 (kZ); 若 yAcos(x),xR 是奇函数 (kZ);若 yAcos(x),xR 是偶函数 (kZ); 函数 yAtan(x),xR 是奇函数 (kZ) 5平面向量: 是与 a 同方向的单位向量 共线第二定理:若 A、B、C 三点 OC xOA yOB 且 xy 6平面向量与三角形的心:OA OB OC 0点 O 为ABC 的 ( 交点); OA OB OB OC OC OA 点 O 是ABC 的 ( 交点) 若动点 P 满足OP OA AB |AB | AC |AC | ,则点 P 的轨迹一定通过ABC 的 (

6、 交点) 7三角形中:sin(AB) ,cos(AB) ; sin AB 2 , cosAB 2 ; 三角形中,任何一个角的 值恒大于 0; abABsin A sin BcosA cosB 三、必备方法 1三角函数求值、化简时,常用方法有: (1)化简的基本原则是:切化弦:公式 tan xsin x cos x;降次数:公式 cos 2 ,sin2 ; (2)和积转换法:运用公式(sin cos )2 2sin cos 解决 sin cos 与 sin cos 关系的变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1 tan2 tan 4; (4)

7、整角转化: 运用相关角的互补、互余等特殊关系, 如 2( )(),() , 2 2 等 2换元法:即整体思想,对于函数 yAsin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换 元的方法令 t ,将其转化为研究 ysin t 的性质 3确定 yAsin(x)b(A0,0)的步骤和方法: (1)观察确定 A,b:确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A ,bMm 2 . (2)通过 公式求 :即 2 T . (3)特殊点代入求 :通常代入“ 点”或“ 点”; 四、必备细节 1角度制与弧度制不可 使用; 2利用平方关系求值时,开方时要根据角的象限或范围,判断 后,正确取舍 3函数

8、 yAsin(x)的值域求解时,由内向外,先求 t 的范围,再结合 ysin t 的图像; 4 由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)的图象, 如先伸缩, 再平移时, 要把 x 前面的 提取出来 5平面向量:(1)相等向量具有传递性,但平行向量不一定具有传递性(2)平行向量所在直线不一定平行 (3)向量平移后,起终点坐标 ,但向量坐标 2两个向量的夹角为 ,则有 a b0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有 bABsin Asin BcosAcosB 三、必备方法 1三角函数求值、化简时,常用方法有: (1)化简的基本原则是:切化弦:公式 tan xsin x cos x;降

9、次数:公式 cos 21cos 2 2 ,sin21cos 2 2 ; (2)和积转换法:运用公式(sin cos )21 2sin cos 解决 sin cos 与 sin cos 关系的变形、转化; (3)巧用“1”的变换:1sin2cos2cos2(1tan2)sin2 1 1 tan2 tan 4; (4)整角转化:运用相关角的互补、互余等特殊关系,如 2()(),(), 2 2 等 2换元法:即整体思想,对于函数 yAsin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换 元的方法令 tx,将其转化为研究 ysin t 的性质 3确定 yAsin(x)b(A0,0)的步

10、骤和方法: (1)观察确定 A,b:确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 AMm 2 ,bMm 2 . (2)通过周期公式求 :即 2 T . (3)特殊点代入求 :通常代入“最值点”或“零点”; 四、必备细节 1角度制与弧度制不可混合使用; 2利用平方关系求值时,开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍 3函数 yAsin(x)的值域求解时,由内向外,先求 tx 的范围,再结合 ysin t 的图像; 4由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)的图象,如先伸缩,再平移时,要把 x 前面的系数提取出来 5平面向量:(1)相等向量具有传递性,但平行向量不一定具有传递性(2)平行向量所在直线不一定平行 (3)向量平移后,起终点坐标改变,但向量坐标不变 2两个向量的夹角为锐角,则有 a b0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有 a b0,反之不成立