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2021届江苏省南通市高考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2021 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(年江苏省南通市高考数学模拟试卷(3 月份)月份) 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 7 小题)小题). 1已知集合 M2,1,2,3,N2,2,下列结论成立的是( ) AMN BMN CMNM DMN1 2在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为( ) A1+i B1i C1i D1+i 3已知函数则函数 yf(1x)的图象大致是( ) A B C D 4一个正三棱锥(底面积是正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为 1 的球面上,球心在三棱锥的底面所在平面上,则该正三棱锥的体积是( )

2、 A B C D 5设当 x 时,函数 f(x)3sinx+4cosx 取得最小值,则 sin( ) A B C D 6已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a12,an+1Sn,若 an(0,2020),则称项 an为“和谐项”,则数 列an的所有“和谐项”的平方和为( ) A B C D 7已知函数 f(x)x2 e x,g(x) x3+2x23x+c若对x1(0,+),x21,3,使 f(x1) g(x2)成立,则 c 的取值范围是( ) Ac Bc Cc Dc 二、多项选择题(共二、多项选择题(共 4 小题)小题). 8某特长班有男生和女生各 10 人,统计他们的身高,其数据(单位:

3、cm)如下面的茎叶图所示,则下列 结论正确的是( ) A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 9已知菱形 ABCD 中,BAD60,AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起,使顶点 A 至点 M, 在折起的过程中,下列结论正确的是( ) ABDCM B存在一个位置,使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 10设 A,B 是抛物线 yx2上的两点,O 是坐标原点,下列结论成立的是( ) A若 OAOB,则|OA|OB|2 B若 OAOB,直线 AB 过定点

4、(1,0) C若 OAOB,O 到直线 AB 的距离不大于 1 D若直线 AB 过抛物线的焦点 F,且,则|BF|1 11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)ex(x+1),则下列命题正确的是( ) A当 x0 时,f(x)ex(x1) B函数 f(x)有 3 个零点 Cf(x)0 的解集为(,1)(0,1) Dx1,x2R,都有|f(x1)f(x2)|2 三、填空题(共三、填空题(共 4 小题)小题). 12已知函数 ,则 13 平行四边形ABCD 中, M 为 CD 的中点, 点N 满足, 若, 则 + 的值为 14在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边

5、分别为 a,b,c,A30,C45,c3,点 P 是平面 ABC 内的一个动点,若BPC60,则PBC 面积的最大值是 15抛物线 C:y24x 的焦点为 F,动点 P 在抛物线 C 上,点 A(1,0),当取得最小值时,直线 AP 的方程为 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。演算步骤。 16某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组: 第一组50,60),第二组60,

6、70),第五组90,100如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图 ()由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数; ()从测试成绩在50,60)90,100内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m, n,求事件“|mn|10”概率 17已知数列an满足:Sn2an4n,设 bnan+4, (1)求数列an的通项公式; (2)设数列cn其前 n 项和为 Tn,如果 Tnm 对任意的 nN*恒成立,求实数 m 的取值范围 18某地区上年度电价为 0.8 元/kWh,年用电量为 akWh,本年度计划将电价降到 0.55 元/kWh 至 0.75 元 /kWh 之间,

7、而用户期望电价为 0.4 元/kWh 经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电 价的差成反比(比例系数为 K)该地区电力的成本为 0.3 元/kWh (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%? (注:收益实际用电量(实际电价成本价) 19已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其面积 S (1)若 a,b,求 cosB; (2)求 sin(A+B)+sinBcosB+cos(BA)的最大值 20已知椭圆的左、右顶点分别为 A,B,点 P

8、在椭圆 O 上运动,若PAB 面 积的最大值为,椭圆 O 的离心率为 (1)求椭圆 O 的标准方程; (2)过 B 点作圆 E:x2+(y2)2r2,(0r2)的两条切线,分别与椭圆 O 交于两点 C,D(异于 点 B),当 r 变化时,直线 CD 是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由 21已知函数 f(x)exx2(e2.71828为自然对数的底数)有两个极值点 x1,x2 (1)求 a 的取值范围; (2)求证:x1+x22lna 参考答案参考答案 一、单项选择题(共一、单项选择题(共 7 小题)小题). 1已知集合 M2,1,2,3,N2,2,下列结论成立的是( )

9、AMN BMN CMNM DMN1 解:集合 M2,1,2,3,N2,2,不满足 MN,则 A 错; MN2,2,则 B 错; MNM,则 C 正确; MN1,3,则 D 错 故选:C 2在复平面内与复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A,则 A 对应的复数为( ) A1+i B1i C1i D1+i 解:复数 z1+i, 复数的共轭复数是 1i,就是复数 z所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数; 故选:B 3已知函数则函数 yf(1x)的图象大致是( ) A B C D 解:当 x0 时,f(x)xlnx,则令 f(x)lnx+10,解得 x,所以当 0 x时,f(x)单调 递减,

10、x时,f(x)单调递增, 当 x0 时,f(x),则令 f(x)e x10,所以当 x0 时,f(x)单调递增, 作出函数 f(x)的图象如图: 又因为 f(1x)的图象时将 f(x)图象先关于 y 轴对称,再向右移动一个单位得到的, 故根据 f(x)图象可值 f(1x)图象为 故选:B 4一个正三棱锥(底面积是正三角形,顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为 1 的球面上,球心在三棱锥的底面所在平面上,则该正三棱锥的体积是( ) A B C D 解:如图,设正三棱锥底面中心为 O, 连接 OP,延长 CO 交 AB 于 D,则 CD O 是三棱锥 PABC 的外接球球心,

11、 OPOC1, CD,BC VPABCSABCOP 1 故选:C 5设当 x 时,函数 f(x)3sinx+4cosx 取得最小值,则 sin( ) A B C D 解:,其中, 由 f()5sin(+)5, 可得 sin(+)1, ,kZ, ,kZ, , 故选:C 6已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a12,an+1Sn,若 an(0,2020),则称项 an为“和谐项”,则数 列an的所有“和谐项”的平方和为( ) A B C D 解:因为 an+1Sn,所以 anSn1(n2),则 an+1anSnSn1,即 an+1anan,an+12an, 所以,因为 a12,所以 a2S1a

12、12, 故 , 因为 an(0,2020),所以 1n11, 于是数列an 的所有“和谐项“的平方和为: , 故选:A 7已知函数 f(x)x2 e x,g(x) x3+2x23x+c若对x1(0,+),x21,3,使 f(x1) g(x2)成立,则 c 的取值范围是( ) Ac Bc Cc Dc 解:f(x)x2ex,x(0,+), f(x),令 f(x)0,解得:x2, 故 f(x)在(0,2)递增,在(2,+)递减, 故 f(x)maxf(2), 而 x0 时,f(x)0,x+时,f(x)+, 故 f(x)(0, g(x)x3+2x23x+c, g(x)(x3)(x1), 令 g(x)0

13、,解得:1x3, 故 g(x)在1,3递增, 而 g(x)ming(1)+c, g(x)maxg(3)c, 故 g(x)+c,c, 若对x1(0,+),x21,3,使 f(x1)g(x2)成立, 则(0,+c,c, 故,解得:c, 故选:B 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分,有选错的得分,有选错的得 0 分。分。 8某特长班有男生和女生各 10 人,统计他们的身高,

14、其数据(单位:cm)如下面的茎叶图所示,则下列 结论正确的是( ) A女生身高的极差为 12 B男生身高的均值较大 C女生身高的中位数为 165 D男生身高的方差较小 解:A、找出所求数据中最大的值 173,最小值 161,再代入公式求值极差17316112,故本选项符 合题意; B、男生身高的数据在 167192 之间,女生身高数据在 161173 之间,所以男生身高的均值较大,故 本选项符合题意; C、 抽取的 10 名女生中, 身高数据从小到大排列后, 排在中间的两个数为 165 和 167, 所以中位数是 166, 故本选项不符合题意; D、抽取的学生中,男生身高的数据在 167192

15、 之间,女生身高数据在 161173 之间,男生身高数据 波动性大,所以方差较大,故本选项不符合题意 故选:AB 9已知菱形 ABCD 中,BAD60,AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起,使顶点 A 至点 M, 在折起的过程中,下列结论正确的是( ) ABDCM B存在一个位置,使CDM 为等边三角形 CDM 与 BC 不可能垂直 D直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60 解:菱形 ABCD 中,BAD60,AC 与 BD 相交于点 O将ABD 沿 BD 折起,使顶点 A 至点 M,如 图:取 BD 的中点 E,连接 ME,EC,可知 MEBD,ECBD,所以

16、BD平面 MCE,可知 MCBD, 所以 A 正确; 由题意可知 ABBCCDDABD,三棱锥是正四面体时,CDM 为等边三角形,所以 B 正确; 三棱锥是正四面体时,DM 与 BC 垂直,所以 C 不正确; 在平面 MBD 与底面 BCD 垂直时,直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60,D 正确 故选:ABD 10设 A,B 是抛物线 yx2上的两点,O 是坐标原点,下列结论成立的是( ) A若 OAOB,则|OA|OB|2 B若 OAOB,直线 AB 过定点(1,0) C若 OAOB,O 到直线 AB 的距离不大于 1 D若直线 AB 过抛物线的焦点 F,且,则|BF|1 解

17、:对于选项 A:A(x1,x12),B(x2,x22),OAOB, ,x1x2+(x1x2)20,x1x2 (1+x1x2)0,x , |OA|OB|,当且仅当 x11 时等号成立,故选项 A 正确; 对于选项 B:若 OAOB,显然直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为:ykx+m, 联立方程,消去 y 得:x2kxm0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2k,x1x2m, , OAOB,x1x2+y1y20, m+m20,m0 或 1, 易知直线 AB 不过原点,m1, 直线 AB 的方程为:ykx+1,恒过定点(0,1),故选项 B 错误, 原点 O 到直线 A

18、B 的距离 d,k20,k2+11,d1,故选项 C 正确; 对于选项 D:直线 AB 过抛物线的焦点 F(0,),设直线 AB 的方程为:ykx+, 联立方程,消去 y 得:, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设点 A 在 y 轴右侧, x1+x2k,x1x2 , |AF|y, ,x, ,y, |BF|1,故选项 D 正确, 故选:ACD 11已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)ex(x+1),则下列命题正确的是( ) A当 x0 时,f(x)ex(x1) B函数 f(x)有 3 个零点 Cf(x)0 的解集为(,1)(0,1) Dx1,x2R,都有

19、|f(x1)f(x2)|2 解 : 函 数f ( x ) 是 定 义 在R上 的 奇 函 数 , 当x 0时 , f ( x ) ex( x+1 ) , 设 x0 时,x0,f(x)ex(x+1),f(x)f(x)ex(x1), x0 时,f(0)0因此函数 f(x)有三个零点:0,1 当 x0 时,f(x)ex(x+1),f(x)ex(x+2),可得 x2 时,函数 f(x)取得极小值, f(2)可得其图象: f(x)0 时的解集为:(,1)(0,1) x 1,x2R,都有|f(x1)f(x2)|f(0+)f(0)|2 因此 BCD 都正确 故选:BCD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共

20、 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。 12已知函数 ,则 解:根据题意,函数, 则 f()sin2()tan()(1), 则 f(f()f()e 3 ; 故答案为: 13 平行四边形 ABCD 中, M 为 CD 的中点, 点 N 满足, 若, 则 + 的值为 解:平行四边形 ABCD 中,M 为 CD 的中点,点 N 满足, 所以+(), +(), 则根据平面向量基本定理可得, 解可得,1, 则 +, 故答案为: 14在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,A30,C4

21、5,c3,点 P 是平面 ABC 内的一个动点,若BPC60,则PBC 面积的最大值是 解:在ABC 中,由正弦定理得, a , 在PBC 中,由余弦定理得, a2PB2+PC22PBPCcosBPC, PB2+PC22PBPCcos60,PB2+PC2PBPC, PB2+PC22PBPC, PB2+PC2PBPCPBPC, 当且仅当 PBPC 时取等号,PBPC, SPBCPBPCsin60 , PBC 的最大值为 故答案为: 15抛物线 C:y24x 的焦点为 F,动点 P 在抛物线 C 上,点 A(1,0),当取得最小值时,直线 AP 的方程为 x+y+10 或 xy+10 解:设 P

22、点的坐标为(4t2,4t),F(1,0),A(1,0) |PF|2(4t21)2+16t216t4+8t2+1 |PA|2(4t2+1)2+16t216t4+24t2+1 () 2 111 1 , 当且仅当 16t2,即 t时取等号, 此时点 P 坐标为(1,2)或(1,2), 此时直线 AP 的方程为 y(x+1),即 x+y+10 或 xy+10, 故答案为:x+y+10 或 xy+10, 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。

23、演算步骤。 16某班 50 名学生在一次数学测试中,成绩全部介于 50 与 100 之间,将测试结果按如下方式分成五组: 第一组50,60),第二组60,70),第五组90,100如图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图 ()由频率分布直方图估计 50 名学生数学成绩的中位数和平均数; ()从测试成绩在50,60)90,100内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为 m, n,求事件“|mn|10”概率 解:()由直方图知,成绩在50,80)内的频率(0.004+0.018+0.04)100.62, 所以中位数在70,80)内, 设中位数为 x,则(0.004+0.018)10+0

24、.04(x70)0.5,解得 x77,所以中位数是 77, 设平均数为 ,则 ()由直方图知,成绩在50,60)内的人数为:50100.0042,设成绩为 x,y, 成绩在90,100的人数为 50100.0063,设成绩为 a、b、c,若 m,n50,60)时, 只有 xy 一种情况,若 m,n90,100时,有 ab,bc,ac 三种情况, 若 m,n 分别在50,60)和90,100)内时,有 xa,xb,xc,ya,yb,yc,共有 6 种情况, 基本事件总数为 10 种,事件“|mn|10”所包含的基本事件个数有 6 种, p(|mn)10) 17已知数列an满足:Sn2an4n,设

25、 bnan+4, (1)求数列an的通项公式; (2)设数列cn其前 n 项和为 Tn,如果 Tnm 对任意的 nN*恒成立,求实数 m 的取值范围 解:(1)当 n1 时,a1S12a14,解得 a14, 当 n2 时,Sn2an4n,Sn12an14(n1) 由得 anSnSn12an2an14, 即 an2an1+4, 可得 an+42(an1+4),即 bn2bn1, 所以 bnb12n182n12n+2, 则 an2n+24; (2)由(1)知, 所以, 由 Tnm 对任意的 nN*恒成立, 所以 18某地区上年度电价为 0.8 元/kWh,年用电量为 akWh,本年度计划将电价降到

26、 0.55 元/kWh 至 0.75 元 /kWh 之间,而用户期望电价为 0.4 元/kWh 经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电 价的差成反比(比例系数为 K)该地区电力的成本为 0.3 元/kWh (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益 y 与实际电价 x 的函数关系式; (2)设 k0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%? (注:收益实际用电量(实际电价成本价) 解:(1)设下调后的电价为 x 元/kwh, 依题意知用电量增至,电力部门的收益为 (2)依题意有 整理得 解此不等式得 0.60 x0.75 答:当电价最低定为 0.6

27、 元/kwh 仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20% 19已知ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,其面积 S (1)若 a,b,求 cosB; (2)求 sin(A+B)+sinBcosB+cos(BA)的最大值 解:(1)S,可得bcsinA, sinAcosA,可得 tanA1, A(0,), A, a,b, 由正弦定理,可得 sinB, 又ab,B 为锐角, cosB (2)A, sin(A+B)+sinBcosB+cos(BA) sin(B+)+sinBcosB+cos(B ) sinB+cosB+sinBcosB+cosB+sinB (sinB+cosB)+

28、sinBcosB 令 tsinB+cosB,则 t21+2sinBcoB, 原式t2+t(t+)2,t(0, 当 t时,B,此时,原式的最大值为 20已知椭圆的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆 O 上运动,若PAB 面 积的最大值为,椭圆 O 的离心率为 (1)求椭圆 O 的标准方程; (2)过 B 点作圆 E:x2+(y2)2r2,(0r2)的两条切线,分别与椭圆 O 交于两点 C,D(异于 点 B),当 r 变化时,直线 CD 是否恒过某定点?若是,求出该定点坐标,若不是,请说明理由 解:(1)由题可知当点 P 在椭圆 O 的上顶点时,SPAB最大, SPAB, ,解得 椭圆 O

29、的标准方程为; (2)设过点 B(2,0)与圆 E 相切的直线方程为:yk(x2),即 kxy2k0, 直线与圆 E:x2+(y2)2r2相切, ,得(4r2)k2+8k+4r20 设两切线的斜率分别为 k1,k2(k1k2), 则 k1k11 设 C(x1,y1),D(x2,y2), 联立,得 , 同理, 直线 CD 的方程为 整理得: 直线 CD 恒过定点(14,0) 21已知函数 f(x)exx2(e2.71828为自然对数的底数)有两个极值点 x1,x2 (1)求 a 的取值范围; (2)求证:x1+x22lna 解:(1)f(x)exax, 函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,

30、方程 f(x)0 有两个不等的实数根 x1,x2, 设 g(x)f(x)exax,则 g(x)exa, 当 a0 时,g(x)exa0, g(x)在 R 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意; 当 a0 时,由 g(x)0 得 xlna, 当 x(,lna)时,g(x)0,函数 g(x)单调递减, 当 x(lna,+)时,g(x)0,函数 g(x)单调递增, g(x)ming(lna)aalna0,即 ae, 令, 当 a(0,2)时,(a)0,(a)为减函数,当 a(2,+)时,(a)0,(a)为增 函数, (a)min(2)22ln22(1ln2)0, (a)0,即 a2lna,从而,e

31、aa2, g(a)eaa20,又 g(0)10, g(x)在(0,lna)和(lna,a)上各有一个零点,符合题意 综上,实数 a 的取值范围为(e,+); (2)证明:不妨设 x1x2,则 x1(,lna),x2(lna,+),则 x1lnax2, 设 p(x)g(x)g(2lnax)exaxe2lnaxa(2lnax)exa2ex2ax+2alna, 则, 当且仅当exa2e x, 即xlna时等号成立, p(x)在 R 上为增函数, 由 x2lna,故 p(x2)p(lna)0,即 g(x2)g(2lnax 2)0, 又x1,x2为函数 g(x)的两个零点, g(x1)g(x2), g(x1)g(2lnax2), 又 x2lna,故 2lnax2lna, 又函数 g(x)在(,lna)上单调递减, x12lnax2,即 x1+x22lna