1、第 2 讲 数形结合思想 思想方法解读 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化 来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化， 它包含 “以形助数”和“以数解形”两个方面 数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语 言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化 数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何 模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题 热点题型探究 热点 1 数形结合化解方程问题 例1 已知函数f(x) 2 x1（x0）， f（x1）（x0），若方程f(x)xa有且只有两
2、个不相等的实数 根，则实数 a 的取值范围为( ) A(，0 B0，1) C(，1) D0，) 答案 C 解析 函数 f(x) 2 x1（x0）， f（x1）（x0）的图象如图所示，当 a1 时，函数 yf(x)的图象与 函数 yxa 的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根 用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、 对数、 根式、 三角等复杂方程)的解(或函数零点) 的个数是一种重要的思想方法， 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表 达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数 的图象，图象的交点个数即为方程解
3、(或函数零点)的个数. (多选)已知函数 f(x) |log 2（x1）|，13， 若方程 f(x)m 有四个不同的实根 x1， x2，x3，x4满足 x1x2x3x4，则下列结论正确的是( ) Ax1x21 B 1 x1 1 x21 Cx3x412 Dx3x4(27，29) 答案 BCD 解析 作出函数 yf(x)与 ym 的图象如图所示由图可知，|log2(x11)|log2(x21)|且 1x12x23， log2(x11)log2(x21)0，即(x11)(x21)1，x1x2x1x211， 1 x1 1 x21， 即 A 错误，B 正确；易知，x3，x4是方程1 2x 26x29 2
4、 m(0m1)，即方程 x212x292m 0 的两根，x3x412，x3x4292m(27，29)，即 C，D 均正确故选 BCD. 热点 2 数形结合化解不等式问题 例 2 (1)(2020 河北省衡水中学高三第一次教学质量检测)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)log2(x1)的解集是( ) Ax|1x0 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 答案 C 解析 如图所示，画出 g(x)log2(x1)的函数图象，从而可知交点 D(1，1)，不等式 f(x)g(x)的解集为x|10，且 x1，x2R(x1x2)，f(x1) f(x2)2f x1x2 2 ，则下列
5、选项中一定正确的是( ) Af(2)f(e)f() Bf()f(e)f(2) Cf(2)f(2)f(3)f(3) Df(3)f(3)f(2)0，所以 f(x)在 R 上单调递增，所以 f(2)f(e)f()，故 A 正确； x1，x2 R(x1x2)，恒有 f(x1)f(x2)2f x1x2 2 ，即f（x 1）f（x2） 2 f x1x2 2 ，所以 yf(x)的图象是 向上凸起的， 如图所示 因为 f(x)反映了函数 f(x)图象上各点处的切线的斜率， 由图象可知， 随着 x 的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以 f()f(e)f(2)，故 B 正确；因为 f(3)
6、f(2)f（3）f（2） 32 ，表示点 A(2，f(2)与 B(3，f(3)连线的斜率，由图可知 f(3)kAB1)的图象恒过定点 P，则|MP|MN|的 最小值为( ) A5 2 B11 4 C3 D13 4 答案 A 解析 如图所示，函数 f(x)loga(x2)2(a1)的图象恒过定点(1，2)，故 P(1，2).y 1 4x 2，即 x24y，焦点为 F(0，1)，准线为 y1，x2y22y3 40，即 x 2(y1)21 4.|MP| |MN|MP|MF|1 2|PD| 1 23 1 2 5 2，当 P，M，D 共线时等号成立故选 A. 与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观
7、点，建立函数表达式求解但一味的强 调函数观点，有时会使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问 题变得特别简单 椭圆x 2 5 y2 41 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 M，N，当FMN 的周长最大 时，FMN 的面积是( ) A 5 5 B6 5 5 C8 5 5 D4 5 5 答案 C 解析 如图， 设椭圆的右焦点为 F， 连接 MF， NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF| |NF|MN|， 所以当直线 xm 过椭圆的右焦点时， FMN 的周长最大 此时|MN|2b 2 a 8 5 5 ， 又 ca2b2541，所以此时 FMN 的面积 S1 22 8 5 5 8 5 5 .故选 C.