1、中难解答突破训练(三) 1.(2020 山东新高考质量测评联盟 5 月模拟)在a 3c sin Aa cos C，(2ab)sin A (2ba)sin B2c sin C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答 已知ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c 3且_ (1)求 C； (2)求ABC 周长的最大值 解 (1)若选，解答过程如下： 因为 a 3c sin Aa cos C， 所以 sin A 3sin C sin Asin A cos C. 因为 sin A0，所以 3sin Ccos C1， 即 sin C 6 1 2. 因为 0C， 所以 6C 6 5 6
2、 ，故 C 6 6，即 C 3. 若选，解答过程如下： 因为(2ab)sin A(2ba)sin B2c sin C， 所以(2ab)a(2ba)b2c2，即 a2b2c2ab， 所以 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2，又 0C1 且 n 为整数， n2 时，mmin6， 即存在 m 使得 a1，an，am成等比数列，且 m 的最小值为 6. 选： (1)a2 nanan13an190， (an3)(an3)an1(an3)0， 即(an3)(an3an1)0， a11，anan13， an是首项为 1，公差为 3 的等差数列， an13(n1)3n2，nN*. (2)若 a1，an，
3、am成等比数列，则 a2 na1am， 即(3n2)23m2，整理得 m3n24n23 n24 3n 4 9 2 33 n2 3 2 2 3. n1 且 n 为整数，n2 时，mmin6，即存在 m 使得 a1，an，am成等比数列，且 m 的 最小值为 6. 选： (1)Snn22n2， 当n2时， anSnSn1n22n2(n1)22(n1)22n3， 当 n1 时，a11 不满足上式， an 1，n1， 2n3，n2且nN*. (2)若 a1，an，am成等比数列，且 n1，m1， 则 a2 na1am， 即(2n3)22m3， 整理得 m2n26n62 n23n9 4 3 22 n3
4、2 2 3 2. n1 且 n 为整数，n3 时，mmin6， 即存在 m 使得 a1，an，am成等比数列，且 m 的最小值为 6. 3如图，在直角梯形 ABED 中，ABDE，ABBE，且 AB2DE2BE，点 C 是 AB 的 中点，现将ACD 沿 CD 折起，使点 A 到达点 P 的位置 (1)求证：平面 PBC平面 PEB； (2)若 PE 与平面 PBC 所成的角为 45 ，求平面 PDE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值 解 (1)证明：ABDE，AB2DE，点 C 是 AB 的中点， CBED，CBED， 四边形 BCDE 为平行四边形，CDEB， 又 EBAB，CDAB，
5、 CDPC，CDBC，又 PCBCC， CD平面 PBC， EB平面 PBC， 又 EB 平面 PEB，平面 PBC平面 PEB. (2)由(1)知 EB平面 PBC， EPB 即为 PE 与平面 PBC 所成的角， EPB45， EB平面 PBC，EBPB， PBE 为等腰直角三角形， EBPBBCPC， 故PBC 为等边三角形， 取 BC 的中点 O，连接 PO，则 POBC， EB平面 PBC，又 EB 平面 BCDE， 平面 BCDE平面 PBC，又 PO 平面 PBC， 平面 BCDE平面 PBCBC， PO平面 BCDE， 以 O 为坐标原点，过点 O 与 BE 平行的直线为 x
6、轴，CB 所在的直线为 y 轴，OP 所在的 直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图. 设 BC2，则 B(0，1，0)，E(2，1，0)，D(2，1，0)，P(0，0， 3)， 从而DE (0，2，0)，PE (2，1， 3)， 设平面 PDE 的一个法向量为 m(x，y，z)， 则由 m DE 0， m PE 0， 得 2y0， 2xy 3z0， 令 z2，得 m( 3，0，2)， 又平面 PBC 的一个法向量 n(1，0，0)， 则 cos m，n m n |m|n| 3 7 21 7 ， 平面 PDE 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 21 7 . 4近年来，我国大力发展新能源汽
7、车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首 位某电动汽车厂新开发了一款电动汽车并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中 剩余电量 y 与行驶时间 x (单位：小时)的测试数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 2.77 2 1.92 1.36 1.12 1.09 0.74 0.68 0.53 0.45 (1)根据电池放电的特点，剩余电量 y 与行驶时间 x 之间满足经验关系式：yaebx，通过散 点图可以发现 y 与 x 之间具有相关性设 wln y，利用表格中的前 8 组数据求相关系数 r，并 判断是否有 99%的把握认为 x 与 w 之间具有线性相关关系；
8、(当相关系数 r 满足|r|0.789 时， 则认为有 99%的把握认为两个变量具有线性相关关系) (2)利用 x 与 w 的相关性及表格中前 8 组数据求出 y 与 x 之间的回归方程；(结果保留两位 小数) (3)如果剩余电量不足 0.8，电池就需要充电从表格中的 10 组数据中随机选出 8 组，设 X 表示需要充电的数据组数，求 X 的分布列及数学期望 附： 相关数据： 426.48， 62.45， 1.701.30，e1.173.22. 表格中前 8 组数据的一些相关量： 8 i1 xi36， 8 i1 yi11.68， 8 i1 wi2.18， 8 i1 (xi x )242， 8
9、i1 (yi y )23.61， 8 i1 (wiw )2 1.70， 8 i1 (xi x )(yi y )11.83， 8 i1 (xi x )(wiw )8.35， 相关公式：对于样本(vi，ui)(i1，2，3，n)，其回归直线 ubva 的斜率和截距的 最小二乘估计公式分别为b n i1 （vi v ）（ui u ） n i1 （vi v ）2 ，a u b v ， 相关系数 r n i1 （vi v ）（ui u ） n i1 （vi v ）2 n i1 （ui u ）2 . 解 (1)由题意知，r 8 i1 （xi x ）（wiw ） 8 i1 （xi x ）2 8 i1 （wi
10、w ）2 8.35 42 1.700.99. 因为|r|0.990.789，所以有 99%的把握认为 x 与 w 之间具有线性相关关系 (2)对 yaebx两边取对数得 ln yln abx， 设 ln a，又 wln y，则w b x ， b 8 i1 （xi x ）（wiw ） 8 i1 （xi x ）2 8.35 42 0.20， 易知 x 4.5，w 2.18 8 0.27. w b x 0.27(0.20)4.51.17. 所以w 0.20 x1.17. 所以所求的回归方程为y e0.20 x1.17，即y 3.22e0.20 x. (3)10 组数据中需要充电的数据组数为 4 组，X 的所有可能取值为 2，3，4. P(X2)C 2 4C 6 6 C8 10 2 15，P(X3) C3 4C 5 6 C8 10 8 15，P(X4) C4 4C 4 6 C8 10 1 3. 所以 X 的分布列为 X 2 3 4 P 2 15 8 15 1 3 X 的数学期望为 E(X)2 2 153 8 154 1 3 16 5 3.2.