1、特训样题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3，则 AB( ) Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 命题意图 本题考查一元二次不等式的解法、集合的交运算，体现数学运算的核心素养 答案 C 解析 因为 Ax|x2x20 x|1x2，所以 ABx|1x0 时，2a1 2x x24 2 x4 x 恒成立，又因为 x4 x2 x 4 x4，当 且仅当 x2 时取等号，所以 2 x4 x 的最大值为1 2，所以 2a1 1 2，解得 a 1 4，因此，实数 a 的取值
2、范围为 1 4， .故选 B. 8已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，设函数 f(x)的导函数为 f(x)，若对任意 x0 都 有 2f(x)xf(x)0 成立，则( ) A4f(2)9f(3) B4f(2)9f(3) C2f(3)3f(2) D3f(3)2f(2) 命题意图 本题借助于导数构造新的函数来解题，考查了学生转化与化归的能力 答案 A 解析 根据题意，令 g(x)x2f(x)，其导数 g(x)2xf(x)x2f(x)，又对任意 x0 都有 2f(x) xf(x)0 成立，则当 x0 时，有 g(x)x2f(x)xf(x)0 恒成立，即函数 g(x)在(0，) 上为增函数，又
3、函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(x)f(x)，则有 g(x)(x)2f(x) x2f(x)g(x)，即函数 g(x)也为偶函数，则有 g(2)g(2)，且 g(2)g(3)，则有 g(2)g(3)， 即有 4f(2)9f(3).故选 A. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9PM2.5 是衡量空气质量的重要指标如图是某地 9 月 1 日到 10 日的 PM2.5 日均值(单 位：g/m3)的折线图，则下列说法正确的是( ) A这 10 天中 PM2.
4、5 日均值的众数为 33 B这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数是 32 C这 10 天中 PM2.5 日均值的中位数大于平均数 D这 10 天中 PM2.5 日均值前 4 天的方差大于后 4 天的方差 命题意图 本题考查了折线图，也考查了读图、识图能力，体现数据分析的核心素养 答案 ABD 解析 由图可知，众数为 33，中位数为 32，故 A，B 正确；由于受极端值 128 的影响， 平均数应大于中位数，故 C 错误；前 4 天图象比后 4 天图象波动大，故 D 正确故选 ABD. 10已知 ， 是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是 A若 mn，m，n，则
5、 B若 m，n，则 mn C若 ，m ，则 m D若 mn，则 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 命题意图 本题主要考查直线、平面的位置关系的判断，考查逻辑推理能力，体现逻辑推 理、直观想象的核心素养 答案 BCD 解析 对于 A，满足 mn，m，n 时，得不出 ， 与 可能平行，如图所示， A 错误；对于 B，n，设过 n 的平面 与 交于 a，则 na，又 m，ma， mn，B 正确；对于 C， 内的所有直线都与 平行，又 m ，m，C 正确；对于 D，根据线面角的定义即可判断 D 正确故选 BCD. 11设椭圆的方程为x 2 2 y2 41，斜率为 k 的直线不经过原点 O，而且
6、与椭圆相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点下列结论正确的是( ) A.直线 AB 与 OM 垂直 B若点 M 的坐标为(1，1)，则直线方程为 2xy30 C若直线方程为 yx1，则点 M 的坐标为 1 3， 4 3 D若直线方程为 yx2，则|AB|4 2 3 命题意图 本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查计算能力、综合 分析能力，体现数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养 答案 BD 解析 对于 A， 因为在椭圆中， 根据椭圆的中点弦的性质， 得 kAB kOM4 221， 所以 A 不正确；对于 B，根据 kABkOM2，所以 kAB2，所以直线方程为 y12
7、(x 1)， 即 2xy30，所以 B 正确；对于 C，若直线方程为 yx1，点 M 1 3， 4 3 ，则 kABkOM 1442， 所以 C 不正确； 对于 D， 若直线方程为 yx2， 与椭圆方程x 2 2 y2 41 联立， 得到 2x2(x2)240， 整理得 3x24x0， 解得 x10， x24 3， 所以|AB| 112 4 30 4 2 3 ，所以 D 正确故选 BD. 12在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联 网就能感受到， 而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数 函数 f(x) 7 i1 sin （2i1）x 2i1 的 图象就可以近
8、似地模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是( ) A函数 f(x)为周期函数，且最小正周期为 B函数 f(x)为奇函数 C函数 yf(x)的图象关于直线 x 2对称 D函数 f(x)的导函数 f(x)的最大值为 7 命题意图 本题主要考查正弦、余弦型函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的周期性、 对称性以及余弦型函数最值的判断，考查计算能力、综合分析能力，体现数学运算、逻辑推理 的核心素养. 答案 BCD 解析 f(x)sin xsin 3x 3 sin 5x 5 sin 13x 13 ，f(x)sin (x)sin 3（x） 3 sin 5（x） 5 sin13（x） 13 sin xsin
9、3x 3 sin 5x 5 sin 12x 13 f(x)， 不是函 数 f(x)的最小正周期，A 错误；f(x)sin (x)sin （3x） 3 sin （5x） 5 sin （13x） 13 sin xsin 3x 3 sin 5x 5 sin 13x 13 f(x)，且函数 f(x)的定义域为 R，函 数 f(x)为奇函数，B 正确；f(x)sin (x) sin 3（x） 3 sin 5（x） 5 sin 13（x） 13 sin xsin 3x 3 sin 5x 5 sin 13x 13 f(x)，函数 yf(x)的图象关于直线 x 2 对称，C 正确；f(x)cos xcos 3
10、xcos 5xcos 13x，1cos x1，1cos 3x1， 1cos 5x1，1cos 13x1， f(x)cos xcos 3xcos 5xcos 13x7，又 f(0)7， 函数 yf(x)的最大值为 7，D 正确故选 BCD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知双曲线 C 过点(2 3，1)，且与双曲线 x2 12 y2 61 有相同的渐近线，则双曲线 C 的标准方程为_ 命题意图 本题考查求共渐近线的双曲线方程，考查用待定系数法求双曲线方程的方法， 体现数学运算的核心素养 答案 x2 10 y2 51 解析 由题意设所求双曲线方程为 x2 12
11、y2 6k，因为双曲线过点(2 3，1)，所以 12 12 1 6 k，k5 6，所以双曲线方程为 x2 12 y2 6 5 6，即 x2 10 y2 51. 14已知 tan 2，则 cos 2_，tan 4 _ 命题意图 本题主要考查二倍角的余弦公式、同角三角函数的关系和两角差的正切公式， 考查转化和化归能力，体现数学运算的核心素养 答案 3 5 1 3 解析 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 122 122 3 5，tan 4 tan 1 1tan 21 12 1 3. 15如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分
12、别在抛物线 C 和圆 x2(y1)2 4 的实线部分上运动，且 AB 总是平行于 y 轴，则AFB 周长的取值范围是_ 命题意图 本题考查抛物线的定义与圆的标准方程及其性质，考查推理能力与计算能力 答案 (4，6) 解析 抛物线 x24y 的焦点为 F(0，1)，准线方程为 y1，圆 x2(y1)24 的圆心为 (0，1)，与抛物线的焦点重合，且半径 r2，|FB|2，|AF|yA1，|AB|yByA，AFB 的周长2yA1yByAyB3，1yB3，AFB 周长的取值范围是(4，6). 16 已知在三棱锥 ABCD 中， 底面BCD 是边长为 3 的等边三角形， 且 ACAD 13， 若 AB
13、2，则三棱锥 ABCD 外接球的表面积是_ 命题意图 本题利用构造法解决多面体和球的问题，考查学生的空间想象力和转化能力 答案 16 解析 AB2BC2AC2，AB2BD2AD2， ABBC，ABBD.又 BCBDB， AB平面 BCD，因而可以将三棱锥 ABCD 补形成三棱柱 AEFBCD(如图所示)，则 上、 下底面正三角形的中心 O1与 O2连线的中点 O 为三棱锥 ABCD 外接球的球心.易知， BO2 3，O2O1，BOBO2 2O2O 22， 三棱锥 ABCD 外接球的表面积 S42216. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本
14、小题满分 10 分)下面给出有关ABC 的四个论断：SABC 3 2 ；b2aca2 c2；a c2 或 1 2；b 3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个 正确的命题：若_，则_(用序号表示)，并给出证明过程 命题意图 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用， 考查了运算能 力和转化能力及思维推理能力，体现数学运算和逻辑推理的核心素养 解 以中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有 4 个命题，其中 正确命题有 3 个 方案一：若，则. 证明：由，得 b2a2c2ac，得 cos B1 2， B60.(3 分) 由SABC 3 2 ，得1 2
15、ac sin B 3 2 ，且 B60，得 ac2.(5 分) 由a c2 或 1 2，联立 ac2，得 a2，c1 或 a1，c2.(8 分) 由余弦定理，得 b2a2c2ac4123， b 3，成立(10 分) 方案二：若，则. 证明：由，得 b2a2c2ac，得 cos B1 2， B60.(2 分) 由SABC 3 2 ，得1 2ac sin B 3 2 ，且 B60，得 ac2.(5 分) 由b 3，且 b2a2c2ac，得 a2c2ac3.(7 分) 从而(ac)2369ac3，(ac)2321ac 1，(9 分) a2， c1 或 a1， c2，得 a c2 或 1 2，成立(1
16、0 分) 方案三：若，则. 证明：由，得 b2a2c2ac，得 cos B1 2， B60.(2 分) 由b 3，得 a2c2ac3.(4 分) 由a c2 或 1 2，不妨取 a c2，代入 a 2c2ac3，(6 分) 3c23，得 c1，a2.(8 分) 从而得1 2ac sin B 3 2 ， 即 SABC 3 2 ，成立 同理，可得取a c 1 2时，也成立(10 分) 18(本小题满分 12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1a20，S624.各 项均为正数的等比数列bn满足 b1b2a41，b3S4. (1)求 an和 bn； (2)求和：Tn1(1b1)(
17、1b1b2)(1b1b2bn1). 命题意图 本题考查等差数列和等比数列基本量的计算、分组转化求和，考查运算求解能 力和转化化归能力，体现数学运算的核心素养 解 (1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q. 由题意，得 2a1d0， 6a165 2 d24，解得 a 11， d2， (2 分) an2n3.(3 分) 等比数列bn的各项均为正数， 由题意可得 b 1b1q6， b1q28， 解得 b 12， q2 或 b 118， q2 3 (舍去)，(5 分) bn22n12n.(6 分) (2)由(1)，得 1b1b2bn112222n12n1，(8 分) Tn1(1b1)
18、(1b1b2)(1b1b2bn1)1(221)(231) (2n1)(211)(221)(231)(2n1)2（12 n） 12 n2n1n2.(12 分) 19(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ACD 是边长为 2 的等边三角形，且 ABBC 2，PA2，点 M 是棱 PC 上的动点 (1)求证：平面 PAC平面 PBD； (2)当线段 MB 最小时，求直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值 命题意图 运用空间中线与面的位置关系的判定与性质定理证明两个平面互相垂直； 恰当 建立空间直角坐标系，将解空间角的有关问题转化为计算空间向量的数量积. 解
19、(1)证明：PA底面 ABCD，BD 底面 ABCD， PABD. 取 AC 的中点 O，连接 OB，OD， ACD 是等边三角形，ABBC， ACOB，ACOD， 点 O，B，D 三点共线，从而得 ACBD，(2 分) 又 PAACA，BD平面 PAC， BD 平面 PBD，平面 PAC平面 PBD.(5 分) (2)取 CP 的中点 E，连接 OE，则 OEPA， EO底面 ABCD， OC，OD，OE 两两垂直 以 O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，(6 分) 则 B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0， 3，0)，P(1，0，2)， BD (0， 31，0)，BP
20、(1，1，2)， 设平面 PBD 的法向量为 n(x，y，z)， 由 n BD （ 31）y0， n BP xy2z0， 得 y0， x2z， 令 z1，得 n(2，0，1).(8 分) 设CM CP (01)， 则BM BC CM (12，1，2)， |BM |（12）212（2）2 8 1 4 2 3 2， 当 1 4时，|BM |有最小值，且|BM |min 6 2 ， 此时BM 1 2，1， 1 2 .(10 分) 设当线段 MB 最小时，直线 MB 与平面 PBD 所成角为 ， 则 sin |cos BM ，n|BM n| |BM |n| 11 2 6 2 5 30 10 ， 直线
21、MB 与平面 PBD 所成角的正弦值为 30 10 .(12 分) 20(本小题满分 12 分)近年来，国资委党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央 扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某扶贫 小组为更好地执行精准扶贫政策，为某扶贫县制定了具体的扶贫政策，并对此贫困县 2015 年 到 2019 年居民家庭人均纯收入(单位：百元)进行统计，数据如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代号(t) 1 2 3 4 5 人均纯收入(y) 5.8 6.6 7.2 8.8 9.6 并调查了此县的 300 名村民对扶贫政策的满意度，得
22、到的部分数据如下表所示： 满意 不满意 45 岁以上村民 150 50 45 岁以下村民 50 (1)求人均纯收入 y 与年份代号 t 的线性回归方程； (2)是否有 99.9%的把握认为村民的年龄与对扶贫政策的满意度具有相关性？ (3)若以该村的村民的年龄与对扶贫政策的满意度的情况估计贫困县的情况，则从该贫困 县中任取 3 人，记取到不满意扶贫政策的 45 岁以上的村民人数为 X，求 X 的分布列及数学期 望 参考公式： 回归直线y a b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b n i1 （tit）（yi y ） n i1 （tit）2 ， a y b t； K2 n（adbc）2 （
23、ab）（cd）（ac）（bd），其中 nabcd. 临界值表： P(K2k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 命题意图 本题考查线性回归方程、独立性检验、二项分布及其期望，考查综合分析求解 能力，体现数学运算、数据分析的核心素养. 解 (1)依题意，t1 5(12345)3， y 1 5(5.86.67.28.89.6)7.6，(1 分) 故 5 i1 (tit)24101410， 5 i1 (tit)(yi y )(2)(1.8)(1)(1)0(0.4)11.2229.8， b 5 i1 （ti
24、t）（yi y ） 5 i1 （tit）2 0.98.(2 分) a y b t7.60.9834.66. y 0.98t4.66.(4 分) (2)依题意，完善表格如下： 满意 不满意 总计 45 岁以上村民 150 50 200 45 岁以下村民 50 50 100 总计 200 100 300 (6 分) 计算得 K2的观测值 k300（150505050） 2 200100200100 30050005000 20010020010018.7510.828. 故有 99.9%的把握认为村民的年龄与扶贫政策的满意度具有相关性(8 分) (3)依题意，X 的可能取值为 0，1，2，3， 从
25、该贫困县中随机抽取一名，则取到不满意扶贫政策的 45 岁以上村民的概率为 50 300 1 6， 故 P(X0) 5 6 3 125 216， P(X1)C1 3 5 6 2 1 6 25 72， P(X2)C2 35 6 1 6 2 5 72， P(X3)C3 3 1 6 3 1 216. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 125 216 25 72 5 72 1 216 (10 分) X的 数 学 期 望 为E(X) 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216 1 2 或由XB 3，1 6 ，得E（X）31 6 1 2 .(12 分) 21(本小题满分 12
26、 分)已知抛物线 E：y22px(p0)的焦点为 F，直线 l：y2x2，直线 l 与 E 的交点为 A，B，同时|AF|BF|8，直线 ml，直线 m 与 E 的交点为 C，D，与 y 轴交 于点 P. (1)求抛物线 E 的方程； (2)若CP 4DP ，求|CD|. 命题意图 本题主要考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系及向量语言的转化， 体 现数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养 解 (1)由 y 22px， y2x2，得 2x2(4p)x20.(2 分) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系得 x1x24p 2 ， |BF|AF|x1x2p4p 2 p8，
27、 得 p4. 故抛物线 E 的方程为 y28x.(4 分) (2)设直线 m：y2xt(t0)， 由 y2xt， y28x， 得 4x2(4t8)xt20， 由 (4t8)216t20，得 t1，且 t0.(6 分) 设 C(x3，y3)，D(x4，y4)， CP 4DP ，x34x4，x3 x44， 又 x3x42t，x3x4t 2 4， x3 x4 x4 x3 x2 3x 2 4 x3x4 （x 3x4）2 x3x4 2 （2t） 2 t2 4 24（2t） 2 t2 241 4， 解得 t8 9或8.(8 分) |CD|221（x3x4）24x3x42 51t，(10 分) 当 t8 9
28、时，|CD| 2 5 3 ； 当 t8 时，|CD|6 5.(12 分) 22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)a ln x x (a0). (1)当 a1 时，求函数 yf(x)的极值； (2)若直线 yx1 是曲线 yf(x)的切线，求实数 a 的值及切点坐标； (3)若函数 g(x)a 2 4xx2a 的图象与函数 yf(x)的图象有两个不同的交点，求实数 a 的 取值范围 命题意图 本题考查利用导数研究函数极值、导数的几何意义、利用导数研究函数图象交 点个数问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，体现数学运算和逻辑推 理的核心素养 解 (1)由 f(x)a ln
29、 x x (a0)， 得 f(x)a（1ln x） x2 ，(1 分) 当 a1，x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增， x(e，)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递减，(2 分) 则函数 f(x)的极大值为1 e，无极小值(3 分) (2)设切点为 x0，a ln x0 x0 ， 则切线方程为 ya ln x0 x0 a（1ln x 0） x2 0 (xx0)， 即 ya（1ln x 0） x2 0 x2a ln x 0a x0 ， 故 a（1ln x0） x2 0 1， 2a ln x0a x0 1， 消去 a 得 x01ln x02x0ln x00，(4 分
30、) 记 m(x)x1ln x2x ln x，则 m(x)1 x2ln x1， 记 h(x)m(x)1 x2ln x1，则 h(x) 1 x2 2 x0， 即 m(x)在(0，)上单调递减，又 m(1)0， 则当 x(0，1)时，m(x)0，当 x(1，)时，m(x)0，即 m(x)在(0，1)上单调递 增，在(1，)上单调递减，故 m(x)当且仅当 x1 时取到最大值 m(1)0，(6 分) x01ln x02x0ln x00 有唯一解 x01， 此时 a1，切点为(1，0).(7 分) (3)由题意，得a 2 4xx2a a ln x x 在(0，)上有两个不同的解， 即a 2 4 x2(2
31、a)xa ln x0 在(0，)上有两个不同的解，(8 分) 记 F(x)a 2 4 x2(2a)xa ln x， 则 F(x)2x(2a)a x （2xa）（x1） x ， 当 a0 时，F(x)0 恒成立，函数 F(x)在(0，)上单调递增， 函数 F(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去；(9 分) 当 a0 时，由 F(x)0 得 xa 2，由 F(x)0 得 0 x a 2， 函数 F(x)在 0，a 2 上单调递减，在 a 2， 上单调递增， F(x)的最小值 F a 2 0， 即a 2 4 a 2 4 a（2a） 2 a ln a 20， a ln a 21 1，得 a2e， 又 F(1)a 2 4 a3 a 21 2 20， F(x)在 1，a 2 内有一个零点， 又 F(2a)9 4a 24aa ln (2a) a 9 4a4ln （2a） ，(10 分) 设 G(x)ln xx1，则 G(x)1 x1， 故 G(x)在(0，1)上为增函数，在(1，)上为减函数， 故 G(x)G(1)0，即 ln xx1， 则9 4a4ln (2a) 9 4a42a1 a 450，即 F(2a)0， F(x)在 a 2，2a 内有一个零点，(11 分) 故实数 a 的取值范围为(2e，).(12 分)