1、 第 1 讲 集合与常用逻辑用语 考情研析 1.集合是高考必考内容，常与不等式、函数相结合考查集合的运算，偶尔 出现集合的新定义问题 2.常用逻辑用语主要考查命题真假的判断或命题的否定，考查充要 条件的判断 核心知识回顾 1.集合的概念、关系及运算 (1)集合中元素的特性： 01确定性、02互异性、03无序性，求解含参数的集合问题时要根 据 04互异性进行检验 (2)集合与集合之间的关系：A B，B C 05A C，空集是任何集合的06子集，含有 n 个 元素的集合的子集数为 072n，真子集数为082n1，非空真子集数为092n2 (3)集合的基本运算 交集：AB 10 x|xA 且 xB
2、并集：AB 11x|xA 或 xB 补集：UA 12x|xU 且 xA 重要结论：ABA 13A B； ABA 14B A 2充分、必要条件 若 pq，则 p 是 q 的 01充分条件，q 是 p 的02必要条件；若 pq，则 p，q 互为03充要条 件 3全称量词命题与存在量词命题 (1)全称量词命题 p： xM，p(x)，它的否定 p： 01 xM， p(x) (2)存在量词命题 p： xM，p(x)，它的否定 p： 02 xM， p(x) 热点考向探究 考向 1 集合的概念及运算 例 1 (1)(2020 河北省衡水中学一模)设集合 A1， 2， 4， Bx|x24xm0 若 AB 1，
3、则 B( ) A.1，3 B1，0 C1，3 D1，5 答案 C 解析 集合 A1，2，4，Bx|x24xm0，AB1，x1 是方程 x24xm 0 的解，即 14m0，m3，Bx|x24xm0 x|x24x301，3 (2)(2020 湖南省顶级名校高三第七次大联考)已知全集 UZ，A1，2，3，4，Bx|(x 1)(x3)0，xZ，则 A(UB)( ) A1，2 B2，3 C1，2，3 D1，2，3，4 答案 C 解析 由于UBx|(x1)(x3)0，xZx|1x3，xZ1，0，1，2，3， 则 A(UB)1，2，3，故选 C. (3)已知集合 My|y|x|x，Nx|yln (x2x)，
4、则 MN( ) AR Bx|x1 Cx|x0 Dx|x1 或 x0 x|x1或x1，故选 B. (4)(2020 湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)已知集合 Ax|x22x0，B x|13x81，Cx|x2n，nN，则(AB)C( ) A0，2，4 B2，4 C0，2 D2 答案 C 解析 由x22x0， 得0 x2， Ax|0 x2 由13x81， 得0x4， Bx|0x4， ABx|0 x0，B y yx21 2 ，则 AB( ) A 1 2， B(1，) C 1 2，1 D 1 2，1 (1，) 答案 D 解析 Ax|x22x10 x|x1，B y yx21 2 y y1 2 ，AB
5、x x1 2且x1 1 2，1 (1，).故选 D. 考向 2 全称量词命题与存在量词命题 例 2 (1)(2020 山东省济南市高三 6 月针对性训练)已知命题 p， xR，ex 1 ex2，则 p 为( ) A xR，ex 1 ex2 B xR，ex 1 ex2 C xR，ex 1 ex2 D xR，ex 1 ex2 答案 B 解析 全称量词命题的否定是存在量词命题，易知 p 为 xR，ex 1 ex0”，由题意知，其为真命题，则 (a1)2421 20，即2a12，所以1ax2 Cab0 的充要条件是a b1 D若 x，yR，且 xy2，则 x，y 至少有一个大于 1 答案 D 解析 根
6、据指数函数的性质可知 ex0 恒成立，所以 A 错误当 x1 时，211 2(1) 2 1，所以 B 错误若 ab0 时，a b无意义，即充分性不成立，所以 C 错误假设 x，y 都小 于 1，则 x1，y1，所以 xy2 矛盾，所以假设不成立，所以 D 正确故选 D. 2若“ x 0， 4 ，tan xm”是真命题，则实数 m 的最小值为_ 答案 1 解析 因为“ x 0， 4 ，tan xm”是真命题，所以 m(tan x)max.当 x 0， 4 时，函 数 ytan x 是单调递增函数，故(tan x)maxtan 41，所以 m1，实数 m 的最小值为 1. 考向 3 充要条件的判断
7、 例 3 (1)(2020 山东省聊城市高三联考)已知两个平面 ，直线 l ，则“l ”是 “ ”的( ) A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由“ ，l ”一定得到“l ”，即必要性成立；反之，根据平面与平面平 行的判定定理，可知由“l ，l ”不一定得到“ ”，即充分性不成立所以“l ” 是“ ”的必要不充分条件 (2)“a0”是“函数 f(x)sin x1 xa 为奇函数”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 f(x)的定义域为x|x0，关于原点对称，当 a0 时，f(x)
8、sin x1 x，f(x)sin ( x) 1 xsin x 1 x sin x1 x f(x)，故 f(x)为奇函数；反之，当 f(x)sin x1 xa 为奇 函数时，f(x)f(x)0，又 f(x)f(x)sin (x) 1 xasin x 1 xa2a，故 a0，所以 “a0”是“函数 f(x)sin x1 xa 为奇函数”的充要条件故选 C. (3)已知条件 p：|x4|6；条件 q：(x1)2m20(m0).若 p 是 q 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是( ) A21，) B19，) C9，) D(0，) 答案 C 解析 由题意， 得 p： 2x10， q： 1mx1m.由
9、 p 是 q 的充分不必要条件， 得 2，101m，1m，所以 1m2， 1m10 且等号不可以同时取得，所以 m9，故选 C. 充要条件的判断方法 (1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件和结论；第二步，判断 pq 及 qp 的真假； 第三步，下结论 (2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题，一般地，这类问题由几个 充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假 (3)集合法：写出集合 Ax|p(x)及 Bx|q(x)，利用集合之间的包含关系加以判断 1设等比数列an的公比为 q，则“0q1”是“an是递减数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C
10、充要条件 D既不充分也不必要条件 答案 D 解析 an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，而 a1的正负性未定，故无法判断数列an 的单调性，因此“0q0；命题 q： xa xa10，且 q 的一个必要不充 分条件是 p，则 a 的取值范围是( ) A3，0 B(，30，) C(3，0) D(，3)0，) 答案 A 解析 由 x22x30，得 x1.则 p 对应的集合为 Ax|3x1命题 q： xa1 或 xa，则 q 对应的集合为 Bx|axa1依题意 q 是 p 的充分不必要条件， 所以 BA，故 a3， a11，等号不能同时取得，解得3a0.故选 A. 真题押题 真题检验 1(2
11、020 新高考卷)设集合 Ax|1x3，Bx|2x4，则 AB( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|1x4 Dx|1x0， 则“k0 且 k(02)20k，解得 0k1，因为“k1”与“0g(x) B x1，x2R，f(x1)g(x2) C x0R，f(x0)g(x0) D x0R，使得 xR，f(x0)g(x0)f(x)g(x) 答案 A 解析 依题意，记 F(x)f(x)g(x)，则 F(x)f(x)g(x)ex1.当 x0 时，F(x)0 时，F(x)0，F(x)在(0，)上单调递增，F(x)f(x) g(x)有最小值 F(0)0， 即 f(x)g(x)， 当且仅当 x0 时取等号，
12、 因此 A 是假命题， D 是真命题； 注意到 f(0)1g(1)2，因此 B 是真命题；注意到 f(0)1g(0)，因此 C 是真命题综上所 述，选 A. 专题作业 一、选择题 1(2020 全国卷)已知集合 Ax|x|1，xZ，则 AB( ) A B3，2，2，3 C2，0，2 D2，2 答案 D 解析 因为 Ax|x|3，xZ2，1，0，1，2，Bx|x|1，xZx|x1 或 x1，xZ，所以 AB2，2故选 D. 2命题“存在实数 x0，使 ln x0x2 01”的否定是( ) A对任意的实数 x，都有 ln xx21 B对任意的实数 x，都有 ln xx21 C不存在实数 x0，使
13、ln x0 x2 01 D存在实数 x0，使 ln x0 x2 01 答案 B 解析 存在量词命题的否定是全称量词命题， 将存在量词改为全称量词后还要对结论否定， 故选 B. 3已知集合 A2a，3和 Ba，b，若 AB2，则 AB( ) A1 B1，2 C1，2，3 D1，2，3，4 答案 C 解析 由 A2a，3及 AB2，得 2a2，解得 a1；由 B1，b及 AB2， 得 b2，所以 AB1，2，3，故选 C. 4已知集合 Ax|x23x20，xR，Bx|0 x5，xN，则满足条件 A C B 的集合 C 的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 D 解析 因为 A1，2，B1，2
14、，3，4，A C B，则集合 C 可以为1，2，1，2， 3，1，2，4，1，2，3，4，共 4 个 5已知全集 UR，集合 Ax|ylog2(x22x)，By|y1 x，那么 A(UB) ( ) Ax|0x1 Bx|x2 Dx|1x0 得 0x2，所以集合 Ax|0x2，因为集合 B 为函数 y1 x的 值域，所以 Bx|x1，则UBx|x1，所以 A(UB)x|0x0 Cp 是真命题； p： xR，log2(3x1)0 Dp 是真命题； p： xR，log2(3x1)0 答案 B 解析 因为 3x0，所以 3x11，则 log2(3x1)0，所以 p 是假命题； p： xR，log2(3x
15、 1)0.故选 B. 7对于直线 m，n 和平面 ，m 成立的一个充分条件是( ) Amn，n Bm， Cm，n，n Dmn，n， 答案 C 解析 对于 C，因为 m，n，所以 mn，又 n，所以 m，故选 C. 8已知集合 A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，则 A 中元素的个数为( ) A9 B8 C5 D4 答案 A 解析 由 x2y23 知， 3x 3， 3y 3.又 xZ，yZ，所以 x1，0， 1，y1，0，1，所以 A 中元素的个数为 C1 3C 1 39，故选 A. 9(多选)(2020 衡阳一中模拟)下列命题中，真命题是( ) A xR，ex0 B xR，2x1，b1”是“
16、ab1”的充分条件 答案 ABD 解析 因为 yex0，xR 恒成立，所以 A 正确；因为当 x5 时，251，b1 时，显然 ab1， D 正确故选 ABD. 10(2020 湖南省长郡中学 6 月模拟)“ln (a2)ln (b1)0” 是“a b1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 ln (a2)ln (b1)0，得 a20， b10， a2b1， 得 ab1，a b1；反之，由 a b1，不一 定有 ln (a2)ln (b1)0，如 a2，b1，“ln (a2)ln (b1)0”是“a b1”的充 分不必要条件故
17、选 A. 11(2020 北京市门头沟区高三 3 月综合练习)向量 a，b 满足|a|b|1，且其夹角为 ， 则“|ab|1”是“ 3”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由|ab|1 得|ab|21，得|a|2|b|22a b1，即 112a b1，得 2a b1， 即 a b1 2，则 cos a b |a|b| 1 2 11 1 2，即 3成立反之，当 3时，a b 1 2，则|ab| 2|a|2 |b|22a b1121 21111，即|ab|1 成立综上， “|ab|1”是“ 3”的 充分必要条件，故选 C. 12已知
18、 Sn是等差数列an的前 n 项和，则“Snnan对 n2 恒成立”是“数列an为递 增数列”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 解析 Snnan对 n2 恒成立，na1n（n1） 2 dna1(n1)d，化为 n(n1)d0， d0.数列an为递增数列，反之也成立“Snnan对 n2 恒成立”是“数列an为递 增数列”的充分必要条件故选 C. 二、填空题 13 (2020 “皖江名校”高三联考)已知命题 p： x 0， 2 ， xsin x0， 则 p 为_ 答案 x 0， 2 ，xsin x0 解析 根据全称量词命题否定的特点，可
19、知 p 为 x 0， 2 ，xsin x0， 2（a1）4， a210， 解得 a1； 当 B且 BA 时，B0或 B4，并且 4(a1)24(a21)0，解得 a 1，此时 B0满足题意； 当 B时，4(a1)24(a21)0，解得 a1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是(，11 16设全集 U1，2，3，4，5，6，且 U 的子集可表示由 0，1 组成的 6 位字符串，如： 2，4表示的是自左向右的第 2 个字符为 1，第 4 个字符为 1，其余字符均为 0 的 6 位字符串 010100，并规定空集表示的字符串为 000000. (1)若 M2，3，6，则UM 表示的 6 位字符串为_； (2)已知 A1，3，B U，若集合 AB 表示的字符串为 101001，则满足条件的集合 B 的个数是_ 答案 (1)100110 (2)4 解析 (1)由已知得，UM1，4，5，则UM 表示的 6 位字符串为 100110. (2)由题意可知 AB1，3，6，而 A1，3，B U，则 B 可能为6，1，6，3， 6，1，3，6，故满足条件的集合 B 的个数是 4.