1、第 1 讲 数学文化及核心素养类试题 考情研析 数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能 力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长高 考中多以选择题的形式出现，难度中等 核心知识回顾 1.以古代数学书籍九章算术 数书九章等书为背景的数学文化类题目 2与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数 3以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：割圆术、阿氏圆等 4以中外一些经典的数学问题为背景的题目，如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问 题、四色猜想等经典数学小问题 热点考向探究 考向 1 三角函数中的数学
2、文化 例 1 (2020 河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在数书九章中记 述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，则ABC 的面积 S 1 4 （ab）2 a2b2c2 2 2 .根据此公式，若 a cos B(b3c)cos A 0，且 a2b2c22，则ABC 的面积为( ) A 2 B2 2 C 6 D2 3 答案 A 解析 由 a cos B(b3c)cos A0， 可得 sin A cos Bcos A sin B3sin C cos A0， 即 sin (AB)3sin C cos A0，即 sin C(
3、13cos A)0，因为 sin C0，所以 cos A1 3，由余弦定 理可得 a2b2c22bc cos A2 3bc2，所以 bc3，由ABC 的面积公式可得 S 1 4 （bc）2 c2b2a2 2 2 1 4（3 212） 2.故选 A. 我 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶 发 现 的 “ 三 斜 求 积 术 ” 虽 然 与 海 伦 公 式 (S p（pa）（pb）（pc），其中 p1 2(abc)在形式上不一样，但两者完全等价，它填 补了我国传统数学的一项空白 (2020 湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制 成的“骨笛”(图 1)，充分展
4、示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国 古代音律与历法的密切联系图 2 为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图图 3 是某 骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)， 夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日 光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角 由历法理论知，黄赤交角近 1 万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A早于公元前 6000 年 B公元前 2000 年到公元元年 C公元前 4000 年到公元前 2000 年 D公元前 6000 年到公元前 4000 年 答案 A 解析 由题意，
5、可设冬至日光与垂直线夹角为 ，春秋分日光与垂直线夹角为 ，则 即为冬至日光与春秋分日光的夹角， 即黄赤交角， 由图 3 近似画出如图平面几何图形， 则 tan 16 101.6，tan 169.4 10 0.66，tan () tan tan 1tan tan 1.60.66 11.60.660.457. 0.4550.457105，C 错误；a4a1 3d5316 29 193 29 ， a5a14d5416 29 209 29 ， a 3a5a7 a2a4a6 3a5 3a4 a5 a4 209 193， D 正确 故 选 BD. 本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题 解题的关键
6、是将古代实际问题转化 为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方 程思想求解 (2020 福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”音乐中 使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的我国明代的数学家、 音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生 律法是精确规定八度的比例，把八度分成 13 个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数， 如表所示，其中 a1，a2，a13表示这些半音的频率，它们满足 log2 ai1 ai 12 1(i1，2， 12).若某一半音与 D#的频率之
7、比为32，则该半音为( ) 频率 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 半音 C C# D D# E F F# G G# A A# B C(八 度) A.F# BG CG# DA 答案 B 解析 由题意知 log2 ai1 ai 12 1(i1，2，12)，a i1 ai 2 1 12 ，故数列an是公比 q 2 1 12 的等比数列 a4D#，a8a4q4D#(2 1 12 )4D#32G， G D# 3 2.故选 B. 考向 3 立体几何中的数学文化 例 3 我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理： “幂势既同， 则积不容异” 意思是： 两个
8、等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 椭球 体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体如图，将底面直径都为 2b，高皆为 a 的椭半球体和已被 挖去了圆锥体的圆柱放臵于同一平面 上， 用平行于平面 且与平面 任意距离 d 处的平面截 这两个几何体， 可横截得到 S 圆及 S环两截面 可以证明 S圆S环总成立 据此， 半短轴长为 1， 半长轴长为 3 的椭球体的体积是_ 答案 4 解析 因为 S 圆S环总成立，则半椭球体的体积为 b 2a1 3b 2a2 3b 2a，所以椭球体的体 积为 V4 3b 2a，因为椭球体的半短轴长为 1，半长轴长为 3，所以椭球体的体积为 V
9、4 3b 2a 4 31 234，故答案是 4. 依托立体几何，传播数学文化立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古 代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位臵关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认 知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化 (2020 山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示，其浮雕临摹了国画、 漆绘 和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 (假设内壁表面光滑， 忽略杯壁厚度)， 如图 2 所示 已知球的半径为 R， 酒杯内壁表面积为14 3 R2. 设酒杯上部分(圆柱)的体积为 V1，下部分(半球)的体积
10、为 V2，则V1 V2( ) A2 B3 2 C1 D3 4 答案 A 解析 由球的半径为 R，得半球的内部表面积为 2R2，又酒杯内壁表面积为14 3 R2，圆 柱的侧面积为8 3R 2.设圆柱的高为 h，则 2Rh8 3R 2，即 h4 3R.V1R 24 3R 4 3R 3，V2 2 3R 3，V1 V2 4 3R 3 2 3R 32.故选 A. 考向 4 概率中的数学文化 例 4 (2020 河北省张家口高三 5 月模拟)角谷猜想，也叫 3n1 猜想，是由日本数学家角 谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘 3 再加 1；如果它是偶数， 则对它除以 2，如此循环最终
11、都能够得到 1.如：取 n6，根据上述过程，得出 6，3，10，5， 16，8，4，2，1，共 9 个数若 n5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的 数，则这两个数都是偶数的概率为( ) A3 7 B 7 15 C2 5 D3 5 答案 C 解析 若 n5， 根据上述过程得出的整数有 5， 16，8，4，2，1， 随机选取两个不同的数， 基本事件总数 nC2 615，这两个数都是偶数包含的基本事件个数 mC 2 46，则这两个数都 是偶数的概率为 Pm n 6 15 2 5.故选 C. 数学文化渗透到概率数学中去， 不但丰富了数学的概率知识， 还提高了学生的文化素养 解 决此类问题
12、的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解. (2020 河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想， 是华夏文明的重要组成 部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、 火、土彼此之间存在的相生相克的关系若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相生的概 率为( ) A.1 2 B1 3 C1 4 D1 5 答案 A 解析 金、木、水、火、土彼此之间存在相生相克的关系从 5 类元素中任选 2 类元素， 基本事件总数 nC2 510，2 类元素相生包含的基本事件有 5 个，则 2 类元素相生的概率为 P 5 10 1 2.故选
13、 A. 考向 5 数学文化与现代科学 例 5 2016 年 1 月 14 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项 领导小组审议，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球 后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星 在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用 2c1和 2c2分别表示椭 圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1 a1a1c2. 其中正确式子的序号是( ) A B C D 答案 D 解析 观
14、察题图可知 a1a2， c1c2， a1c1a2c2， 即式不正确； a1c1a2c2|PF|， 即式正确；由 a1c1a2c20，c1c20，知a 1c1 c1 a 2c2 c2 ，即a1 c1a1c2， c1 a1 c2 a2. 即式正确，式不正确 (1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽 象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质， 并以加减乘除的方式构造两 个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运 (2)注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F，题目所给四个式子涉及长半轴长 和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本
15、题对考生的数学能力进行了比较 全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的 好题 (2020 北京市东城区模拟) 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远 视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力 5.2 的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都 是下方一行“E”边长的1010倍，若视力 4.1 的视标边长为 a，则视力 4.9 的视标边长为( ) A10 4 5 a B10 9 10 a C10 4 5 a D10 9 10 a 答案 C 解析 设第 n 行视标边长为 an，第 n1 行视标边长为 an1，由题意可得
16、 an11010an an an110 1 10 ，则数列an为公比为 10 1 10 的等比数列，所以 a10a 10 1 10 8 10 4 5 a，则 视力 4.9 的视标边长为 10 4 5 a.故选 C. 真题押题 真题检验 1(2020 新高考卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射 到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为 O)，地球上一点 A 的纬度是指 OA 与 地球赤道所在平面所成角，点 A 处的水平面是指过点 A 且与 OA 垂直的平面在点 A 处放臵 一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点 A 处的纬度为北纬 40，则晷针与点 A 处的水平
17、 面所成角为( ) A20 B40 C50 D90 答案 B 解析 画出截面图如图所示，其中 CD 是赤道所在平面的截线，l 是点 A 处的水平面的截 线，依题意可知 OAl，AB 是晷针所在直线，m 是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平 行， 晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得 mCD， 根据线面垂直的定义可得 ABm. 由于AOC40，mCD，所以OAGAOC40，由于OAGGAEBAE GAE90， 所以BAEOAG40，即晷针与点 A 处的水平面所成角为BAE40. 故选 B. 2(2020 全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心 有一块圆形石
18、板(称为天心石)，环绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数 相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A3699 块 B3474 块 C3402 块 D3339 块 答案 C 解析 设第 n 环扇面形石板块数为 an，第一层共有 n 环，则数列an是以 9 为首项，9 为 公差的等差数列，an9(n1)99n.设 Sn为数列an的前 n 项和，则第一层、第二层、第 三层的块数分别为 Sn，S2nSn，S3nS2n，因为下层比中层多 729 块，所以
19、S3nS2nS2nSn 729，即3n（927n） 2 2n（918n） 2 2n（918n） 2 n（99n） 2 729，即 9n2729，解 得 n9，所以 S3nS2727（9927） 2 3402.故选 C. 3. (2019 全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 1).半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美 图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的 棱长为 1.则该半正多面体共有
20、_个面，其棱长为_ 答案 26 21 解析 先求面数，有如下两种方法 解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为 48 可知，其上部分有 9 个面，中间部分 有 8 个面，下部分有 9 个面，共有 29826(个)面 解法二： 一般地， 对于凸多面体， 顶点数(V)面数(F)棱数(E)2(欧拉公式).由图形知， 棱数为 48 的半正多面体的顶点数为 24，故由 VFE2，得面数 F2EV24824 26.再求棱长 作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为 1 的正方形上的正八边形 ABCDEFGH，如图，设正八边形的边长为 x，则正八边形的边长即为半正多面体的棱 长连接 AF，过
21、H，G 分别作 HMAF，GNAF，垂足分别为 M，N，则 AMMH NGNF 2 2 x.又 AMMNNF1，即 2 2 xx 2 2 x1.解得 x 21，即半正多面体的棱 长为 21. 金版押题 4天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法天 干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、 辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥干支纪年法中，天干地支对应的规律如表： 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 干支 纪年 甲 子 年 乙 丑 年 丙 寅 年
22、丁 卯 年 戊 辰 年 己 巳 年 庚 午 年 辛 未 年 壬 申 年 癸 酉 年 甲 戌 年 乙 亥 年 丙 子 年 2049 年是新中国成立 100 周年这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴使用干 支纪年法，2049 年是己巳年，则 2059 年是_年；使用干支纪年法可以得到_种 不同的干支纪年 答案 己卯 60 解析 根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二， 即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、 癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、癸巳，若 2049 年是己巳 年，则 2059 年是己卯年；天
23、干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列， 则天干地支共有 60 种组合，即使用干支纪年法可以得到 60 种不同的干支纪年 专题作业 一、选择题 1(2020 山东省烟台市模拟)九章算术是我国古代的一本数学名著全书为方田、粟 米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有 246 个与生产、生活实践有联 系的应用问题在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分 5 钱，每人所得成等差数列，且较多的两 份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为 ( ) A
24、1 3 B2 3 C1 6 D5 6 答案 B 解析 设每人分到的钱数构成的等差数列为an，公差 d0，由题意可得，a1a2a3a4 a5，S55，故 3a13d2a17d，5a110d5，解得 a12 3，d 1 6，故任意两人所得的最大 差值 4d2 3.故选 B. 2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不 为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” 其大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走 了 6 天后到达目的地”则该人第五天走的路程为( ) A48 里 B24 里 C
25、12 里 D6 里 答案 C 解析 设第一天的路程为 a1里，则 a1 1 1 2 6 11 2 378，a1192，所以 a5192 1 2412. 3. (2020 河北六校联考)玉琮是中国古代玉器中重要的礼器， 神人纹玉琮王是新石器时代良 渚文化的典型玉器，1986 年出土于浙江省余杭县反山文化遗址如图，玉琮王通高 8.8 cm， 孔径 4.9 cm，外径 17.6 cm，琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟 纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔估 计该神人纹玉琮王的体积为(单位：cm3)( ) A6250 B3050 C28
26、50 D2350 答案 D 解析 由题意，该神人纹玉琮王可大致看成底面为正方形且边长为 17.6 cm，高为 8.8 cm 的长方体去掉底面直径为 4.9 cm，高为 8.8 cm 的圆柱后剩余的部分，则其体积为 17.617.68.8 4.9 2 2 8.82560(cm3).由该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分， 结合选项，可估计该神人纹玉琮王的体积为 2350 cm3. 4中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角 边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数现从 115 这 15 个数中随机抽取 3 个数，则这三个数为勾股数的
27、概率为( ) A 1 910 B 3 910 C 4 455 D 6 455 答案 C 解析 从这 15 个数中随机抽取 3 个数所有基本事件个数为 C3 15， 其中为勾股数的为(3， 4， 5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共 4 个，故概率 P 4 C3 15 4 455，故选 C. 5 阿基米德(公元前 287 年公元前 212 年)不仅是著名的物理学家， 也是著名的数学家， 他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积若椭圆 C 的对称轴为坐标轴， 焦点在 y 轴上， 且椭圆的离心率为 7 4 ， 面积为 12， 则椭圆 C 的
28、方程为( ) Ax 2 9 y2 161 Bx 2 3 y2 41 C x2 18 y2 321 Dx 2 4 y2 361 答案 A 解析 由题意可得 ab12， c a 7 4 ， a2b2c2， 解得 a4，b3，因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以椭圆 C 的方程为 y2 16 x2 91.故选 A. 6(2020 山东省泰安市模拟)我国古代数学名著九章算术中记载：“刍甍者，下有袤 有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如 图所示)，下底面是边长为 2 的正方形，上棱 EF3 2，EF平面 ABCD，EF 与平面 ABCD 的距 离为 2，该刍甍的体积为
29、( ) A.6 B11 3 C31 4 D12 答案 B 解析 如图，作 FNAE，FMED，则多面体被分割为棱柱与棱锥两部分，则该刍甍的 体积为 VFMNBCVADENMF1 3S 四边形MNBC2S直截面3 2 1 32 23 2 222 2 3 2 11 3 .故 选 B. 7(2020 江西省九江市二模)算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直 柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一算珠梁上部 分叫上珠， 梁下部分叫下珠 例如： 在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠， 个位档拨上一颗上珠， 则表示数字 65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一
30、颗上珠，再随机选择两个档位各 拨一颗下珠，则所拨数字大于 200 的概率为( ) A.3 8 B1 2 C2 3 D3 4 答案 D 解析 在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗 下珠，依题意得所拨数字共有 nC1 4C 2 424 种情况，所拨数字大于 200 包含两种情况：上珠 拨的是千位档或百位档，有 C1 2C 2 412 种，上珠拨的是个位档或十位档，下珠有一颗拨的是 千位档，则有 C1 2C 1 36 种，所拨数字大于 200 包含的基本事件有 m12618 种，则所拨数 字大于 200 的概率为 Pm n 18 24 3 4.故选 D. 8 九章
31、算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年例如堑堵 指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的 四棱锥如图，在堑堵 ABCA1B1C1中，ACBC，若 A1AAB2，当阳马 BA1ACC1体积 最大时，堑堵 ABCA1B1C1的体积为( ) A8 3 B 2 C2 D2 2 答案 C 解析 由阳马的定义， 知 VBA1ACC11 3A1A AC BC 2 3AC BC 1 3(AC 2BC2)1 3AB 24 3， 当且仅当 ACBC 2时等号成立，所以当阳马 BA1ACC1体积最大时，堑堵 ABCA1B1C1 的体积为1 2 2 222
32、，故选 C. 9(2020 四川省达州市模拟)斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特 有图 1、图 2 是斗拱实物图，图 3 是斗拱构件之一的“斗”的几何体本图中的斗由棱台与 长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成若棱台两底面面积分别是 400 cm2，900 cm2， 高为 9 cm，长方体形凹槽的体积为 4300 cm3，那么这个斗的体积是( ) 注：台体体积公式是 V1 3(S SSS)h. A5700 cm3 B8100 cm3 C10000 cm3 D9000 cm3 答案 C 解析 斗由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个小长方体)组成，棱台两底面面积分别 是 40
33、0 cm2，900 cm2，高为 9 cm，长方体形凹槽的体积为 4300 cm3，这个斗的体积是 V1 3 (400 400900900)9430010000(cm3).故选 C. 10. (2020 辽宁省葫芦岛市模拟)地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根 据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积某同学 结合物理和地理知识得到以下结论： 地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中 A 点和 B 点； 已知地球公转轨道的长半轴长约为 149600000 千米，短半轴长约为 149580000 千米， 则 该椭圆的离心率约为 1，因此
34、该椭圆近似于圆形； 已知我国每逢春分(3 月 21 日前后)和秋分(9 月 23 日前后)， 地球会分别运行至图中 C 点 和 D 点， 则由此可知我国每年的夏半年(春分至秋分)比冬半年(当年秋分至次年春分)要少几天 以上结论正确的是( ) A B C D 答案 A 解析 地球到太阳的距离最小值为 ac，最大值为 ac，地球分别位于图中 A 点和 B 点，显然正确；离心率 ec a a2b2 a 1 b a 2 ，根据题意可得 a149600000，b 149580000， 所以b a1， 所以 e0， 所以离心率应该约为 0； 根据开普勒行星运动第二定律， 地球从 D 点到 C 点运行的速度
35、较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天故 选 A. 二、填空题 11数学与文化有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读 也可以逆读数学中有回文数，如 343，12521 等，两位数的回文数有 11，22，33，99 共 9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_ 答案 4 9 解析 三位数的回文数为 ABA， A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1B1，2B2，3B3， B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A，A1A，A2A，A3A，共有 91090 个， 其中 ABA 是偶数则 A 是偶数，共 4 种可能，即 2B2，4B4，6B6，8B
36、8.B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A0A，A1A，A2A，A3A，共有 41040 个， 三位数的回文数中，偶数的概率 P40 90 4 9. 12 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子 六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为“有 5 个人分 60 个橘子，他们分得的 橘子数成公差为 3 的等差数列，问 5 人各得多少橘子”这个问题中，得到橘子最少的人所得 的橘子个数是_ 答案 6 解析 设每人分得的橘子数构成等差数列an， 首项为 a1， 公差为 3， 则 S55a154 2 3 60，解得 a16，即得到橘子最少的人所得的橘子个数是
37、6. 13(2020 山东省泰安市高三一模)易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含 乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成， “”表示一根阳线， “” 表示一根阴线，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线、四根阴线的概率为 _ 答案 3 14 解析 观察八卦图可知，含 3 根阴线的共有 1 卦，含 3 根阳线的共有 1 卦，含有 2 根阴线 1 根阳线的共有 3 卦， 含有1根阴线2根阳线的共有3卦， 从八卦中任取两卦， 这两卦的六根线恰有两根阳线、 四根阴线的概率为 PC 1 3C 2 3 C2 8 3 14. 14我国物权法规定：建造建筑物，不得违反国家有
38、关工程建设标准，妨碍相邻建筑 物的通风、采光和日照已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为 45 m， 依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于 52 m若该小区内某居民在距离楼底 27 m 高处的 某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为 45，则该小区 的住宅楼楼间距实际为_ m. 答案 54 解析 设两住宅楼楼间距实际为 x m.如图，根据题意可得，tan DCA27 x ，tan DCB 4527 x 18 x ，又DCADCB45，所以 tan (DCADCB) 27 x 18 x 127 x 18 x 1，整理得 x245x27180，解得 x54 或 x9(舍去).所以该小区住宅楼楼间距实际为 54 m