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2021年高考数学大二轮专题复习第三编高难解答突破训练(一)含答案

1、高难解答突破训练(一) 1.已知椭圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)以抛物线 y 28x 的焦点为顶点,且离心率为1 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l:ykxm 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x4 相交于 Q 点,P 是椭 圆 E 上一点且满足OP OA OB (其中 O 为坐标原点),试问在 x 轴上是否存在一点 T,使得 OP TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐标及OP TQ 的值;若不存在,请说明理由 解 (1)抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0), 由题意可知 a2,且 ec a 1 2,c1, 则 ba2c2 3, 因此,椭圆 E 的方

2、程为x 2 4 y2 31. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ykxm, x2 4 y2 31, 消去 y 并整理得 (4k23)x28kmx4m2120, 由根与系数的关系得 x1x2 8km 4k23, 则 y1y2k(x1x2)2m 6m 4k23, OP OA OB (x1x2,y1y2) 8km 4k23, 6m 4k23 , 即点 P 8km 4k23, 6m 4k23 , 由于点 P 在椭圆 E 上, 则 8km 4k23 2 1 4 6m 4k23 2 1 31, 化简得 4m24k23, 联立 ykxm, x4, 得 x4, ym4k, 则点 Q(4,

3、m4k), 设在 x 轴上存在一点 T(t,0),使得OP TQ 为定值, TQ (4t,m4k), OP TQ 8km(t4)6m(m4k) 4k23 8ktm8km6m 2 4m2 2k(t1) m 3 2为定值, 则 t10,得 t1, 因此,在 x 轴上存在定点 T(1,0),使得OP TQ 为定值. 2已知函数 f(x)ex1a sin x(aR). (1)当 x0,时,f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a1 时,数列an满足 0an1,an1f(an),求证:an是递减数列 (参考数据:sin 10.84) 解 (1)因为 x0,f(x)exa cos x,f

4、(x)exa sin x. 当 a0 时,即a0,sin x0,a sin x0, 又 ex10,ex1a sin x0, 即 f(x)0 恒成立,符合题意; 当 01 时,f(x)exa sin x0,f(x)在区间0,上单调递增, f(0)1a0, x0(0,),f(x0)0,且当 0xx0时, f(x)0,f(x)单调递减, 当 x0x0,f(x)单调递增, f(x0)f(0)0,不符合题意 综上所述,a 的取值范围是(,1. (2)证明:由题意,a1,f(x)ex1sin x,x(0,1), 令 g(x)f(x)xex1sin xx, g(x)excos x1, g(x)exsin x

5、0, g(x)在区间(0,1)上单调递增, g(0)10, x1(0,1),g(x1)0, 0xx1,g(x)0,g(x)单调递减, x1x0,g(x)单调递增, g(0)0,g(1)e1sin 11e20.840, g(x)0,即当 x(0,1),f(x)x, 由(1)知 f(x)ex1sin x,x(0,1)单调递增, 0an1,0f(0)an1f(an)f(1)e1sin 11, 而 an1anf(an)an0,即 an10 时,k(x)0,所以 f(x)在(0,)上单调递增, 所以当 x0 时,f(x)f(0)0,所以 f(x)在(0,)上单调递增, 又 f(0)0,所以当 x0 时,

6、f(x)0. (2)g(x)(1sin x)xexf(x)22 (1sin x)exsin x1, 令 g(x)0,得(1sin x)exsin x10, 即e x1 ex1sin x0, 令 h(x)e x1 ex1sin x,则 h(x)e x1 ex1sin (x) ex1 ex1sin x h(x), 所以 yh(x)是奇函数,且 h(0)0,即 0 是 h(x)的一个零点; 令 t(x)e x1 ex1,则 t(x) 2ex (ex1)2, 当 x(0,)时,t(x)0,所以 t(x)在(0,)上单调递增, 令 r(x)sin x,则 r(x)在 0, 2 上单调递增,在 2, 上单

7、调递减 由(1)知,当 x 0, 2 时,(x2)exx20,即e x1 ex10,m(x)单调递增, 当 x 3, 2 时,m(x)0, 所以 x 0, 2 时,m(x)0 恒成立,即 x 0, 2 时,x 2sin x 恒成立, 所以当 x 0, 2 时,e x1 ex1 x 2sin x, 所以当 x 0, 2 时,h(x)0, 所以 h(x)在 2, 上为增函数,且 h 2 e 2 1 e 2 1 10, 所以 h(x)在(0,)上有且只有一个零点,设为 x0, 所以 h(x0)0, 因为 h(x)是奇函数,所以 h(x0)h(x0)0, 所以 h(x)在(,0)上的零点为x0, 所以 h(x)在(,)上的零点为x0,0,x0, 所以 h(x)在(,)上有且只有 3 个零点 所以 g(x)在(,)上有且只有 3 个零点