1、高难解答突破训练(一) 1.已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)以抛物线 y 28x 的焦点为顶点，且离心率为1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x4 相交于 Q 点，P 是椭 圆 E 上一点且满足OP OA OB (其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得 OP TQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐标及OP TQ 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)抛物线 y28x 的焦点坐标为(2，0)， 由题意可知 a2，且 ec a 1 2，c1， 则 ba2c2 3， 因此，椭圆 E 的方
2、程为x 2 4 y2 31. (2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 ykxm， x2 4 y2 31， 消去 y 并整理得 (4k23)x28kmx4m2120， 由根与系数的关系得 x1x2 8km 4k23， 则 y1y2k(x1x2)2m 6m 4k23， OP OA OB (x1x2，y1y2) 8km 4k23， 6m 4k23 ， 即点 P 8km 4k23， 6m 4k23 ， 由于点 P 在椭圆 E 上， 则 8km 4k23 2 1 4 6m 4k23 2 1 31， 化简得 4m24k23， 联立 ykxm， x4， 得 x4， ym4k， 则点 Q(4，
3、m4k)， 设在 x 轴上存在一点 T(t，0)，使得OP TQ 为定值， TQ (4t，m4k)， OP TQ 8km（t4）6m（m4k） 4k23 8ktm8km6m 2 4m2 2k（t1） m 3 2为定值， 则 t10，得 t1， 因此，在 x 轴上存在定点 T(1，0)，使得OP TQ 为定值. 2已知函数 f(x)ex1a sin x(aR). (1)当 x0，时，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围； (2)当 a1 时，数列an满足 0an1，an1f(an)，求证：an是递减数列 (参考数据：sin 10.84) 解 (1)因为 x0，f(x)exa cos x，f
4、(x)exa sin x. 当 a0 时，即a0，sin x0，a sin x0， 又 ex10，ex1a sin x0， 即 f(x)0 恒成立，符合题意； 当 01 时，f(x)exa sin x0，f(x)在区间0，上单调递增， f(0)1a0， x0(0，)，f(x0)0，且当 0xx0时， f(x)0，f(x)单调递减， 当 x0x0，f(x)单调递增， f(x0)f(0)0，不符合题意 综上所述，a 的取值范围是(，1. (2)证明：由题意，a1，f(x)ex1sin x，x(0，1)， 令 g(x)f(x)xex1sin xx， g(x)excos x1， g(x)exsin x
5、0， g(x)在区间(0，1)上单调递增， g(0)10， x1(0，1)，g(x1)0， 0xx1，g(x)0，g(x)单调递减， x1x0，g(x)单调递增， g(0)0，g(1)e1sin 11e20.840， g(x)0，即当 x(0，1)，f(x)x， 由(1)知 f(x)ex1sin x，x(0，1)单调递增， 0an1，0f(0)an1f(an)f(1)e1sin 11， 而 an1anf(an)an0，即 an10 时，k(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增， 所以当 x0 时，f(x)f(0)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增， 又 f(0)0，所以当 x0 时，
6、f(x)0. (2)g(x)(1sin x)xexf(x)22 (1sin x)exsin x1， 令 g(x)0，得(1sin x)exsin x10， 即e x1 ex1sin x0， 令 h(x)e x1 ex1sin x，则 h(x)e x1 ex1sin (x) ex1 ex1sin x h(x)， 所以 yh(x)是奇函数，且 h(0)0，即 0 是 h(x)的一个零点； 令 t(x)e x1 ex1，则 t(x) 2ex （ex1）2， 当 x(0，)时，t(x)0，所以 t(x)在(0，)上单调递增， 令 r(x)sin x，则 r(x)在 0， 2 上单调递增，在 2， 上单
7、调递减 由(1)知，当 x 0， 2 时，(x2)exx20，即e x1 ex10，m(x)单调递增， 当 x 3， 2 时，m(x)0， 所以 x 0， 2 时，m(x)0 恒成立，即 x 0， 2 时，x 2sin x 恒成立， 所以当 x 0， 2 时，e x1 ex1 x 2sin x， 所以当 x 0， 2 时，h(x)0， 所以 h(x)在 2， 上为增函数，且 h 2 e 2 1 e 2 1 10， 所以 h(x)在(0，)上有且只有一个零点，设为 x0， 所以 h(x0)0， 因为 h(x)是奇函数，所以 h(x0)h(x0)0， 所以 h(x)在(，0)上的零点为x0， 所以 h(x)在(，)上的零点为x0，0，x0， 所以 h(x)在(，)上有且只有 3 个零点 所以 g(x)在(，)上有且只有 3 个零点