1、 解析几何类解答题解析几何类解答题 (2020 山东省高三第一次仿真联考)(12 分)在直角坐标系 xOy 中，已知 F(1，0)， 动点 P 到直线 x6 的距离等于 2|PF|2，动点 P 的轨迹记为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程； (2)已知 A(2，0)，过点 F 的动直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，记AOB 和AOD 的面积 分别为 S1和 S2，求 S1S2的最大值 解题思路 (1)设点 P(x，y)， 根据“动点 P 到直线 x6 的距离等于 2|PF|2”建立等量关 系，整理，得曲线 C 的方程；(2)先依据题意判断直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为
2、 x my1，将直线 l 的方程与轨迹 C 的方程联立消去 x，设 B(x1，y1)，D(x2，y2)，即可得 y1y2， y1y2，进而表示|y1y2|，依据 S1S21 2|OA| |y1| 1 2|OA|y2| 1 2|OA|y1y2|构建函数，利用基 本不等式求函数的最大值 解 (1)设点 P(x，y)，则由题意，得 |x6|2（x1）2y22(x0， 所以 y1y2 6m 3m24，y1y2 9 3m24，(6 分) 则|y1y2|（y1y2）24y1y2 6m 3m24 2 36 3m24 12m21 3m24 ，(7 分) 故 S1S21 2|OA| |y1| 1 2|OA| |
3、y2| 1 2|OA| |y1y2| 12m21 3m24 .(9 分) 设 tm211，则 m2t21， 则 S1S2 12t 3t21 12 3t1 t .(10 分) 因为 t1， 所以 3t1 t4(当且仅当 t1 时，等号成立)， 故 S1S2 12 3t1 t 3，即 S1S2的最大值为 3.(12 分) 1设点 P(x，y)，建立等量关系给 2 分 2化简整理，得曲线 C 的方程给 2 分 3直线 l 的方程与轨迹 C 的方程联立消元整理给 1 分 4利用根与系数的关系用参数表示 y1y2，y1y2给 1 分 5用参数表示|y1y2|给 1 分 6依据 S1S21 2|OA| |
4、y1| 1 2|OA| |y2| 1 2|OA|y1y2|建立函数关系给 2 分 7换元将所得函数关系式变形给 1 分 8利用基本不等式求最值并作答给 2 分 1求曲线方程时，将等量关系转化为方程时要注意正确利用有关公式，同时要注意一些 细节如本例中结合图形可判断 xb0)上一点，以 点 P 及椭圆的左、右焦点 F1，F2为顶点的三角形的面积为 2 3. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过 F2作斜率存在且互相垂直的直线 l1，l2，M 是 l1与 C 两交点的中点，N 是 l2与 C 两 交点的中点，求MNF2面积的最大值 解 (1)由点 P( 2， 3)在椭圆 C 上可得 2 a2
5、3 b21， 整理得 2b23a2a2b2. (1 分) SPF1F21 22c 32 3，解得 c2.(2 分) 所以 a2b2c2b24，代入式整理得 b4b2120.(3 分) 解得 b24，a28. 所以椭圆 C 的标准方程为x 2 8 y2 41.(4 分) (2)由(1)可得 F2(2，0)，所以设直线 l1：xmy2， 联立直线 l1与椭圆 C 的方程 xmy2， x2 8 y2 41， 整理得(m22)y24my80，(6 分) 显然 0，所以直线 l1与椭圆 C 的两交点的中点 M 的纵坐标 yMy 1y2 2 2m m22， 同理直线 l2与椭圆 C 的两交点的中点 N 的
6、纵坐标 yN 2 m 1 m22 2m 2m21，(8 分) 所以 SMNF21 2|MF2|NF2| 1 2 1m21 1 m2|yM|yN| 2m（1m2） 2m45m22 2m（1m2） 2（m21）2m2 ，(9 分) 将上式分子、分母同除 m(1m2)可得， SMNF2| 2 2 m21 m m 1m2 |，(10 分) 不妨设 m0，令m 21 m t，t2，则 SMNF2 2 2t1 t ， 令 f(t)2t1 t，则 f(t) 2t21 t2 ， 因为 t2，所以 f(t)0， 所以 f(t)在2，)上单调递增，(11 分) 所以当 t2 时，MNF2的面积取得最大值 Smax 2 41 2 4 9.(12 分)