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2021年高考数学大二轮专题复习规范答题系列三:数列类解答题

1、 数列类解答题数列类解答题 (12 分)已知各项均不为零的数列an的前 n 项和为 Sn,且对任意的 nN*,满足 Sn1 3a1(an1). (1)求数列an的通项公式; (2)设数列bn满足 anbnlog2an,数列bn的前 n 项和为 Tn,求证:Tn8 9. 解题思路 (1)根据 SnSn1an(n2)及递推关系式化简得 an和 an1的关系式, 从而求出 an;(2)采用错位相减法求 Tn,从而证明结论 解 (1)当 n1 时,a1S11 3a1(a11) 1 3a 2 11 3a1, a10,a14.(2 分) Sn4 3(an1),当 n2 时,Sn1 4 3(an11), 两

2、式相减得 an4an1(n2),(4 分) 数列an是首项为 4,公比为 4 的等比数列,an4n.(6 分) (2)证明:anbnlog2an2n,bn2n 4n,(7 分) Tn 2 41 4 42 6 43 2n 4n, 1 4Tn 2 42 4 43 6 44 2n 4n1,(8 分) 两式相减得3 4Tn 2 4 2 42 2 43 2 44 2 4n 2n 4n12 1 4 1 42 1 43 1 44 1 4n 2n 4n1 2 1 4 1 1 4n 11 4 2n 4n1 2 3 2 34n 2n 4n1 2 3 6n8 34n1.(10 分) Tn8 9 6n8 94n 8

3、9.(12 分) 1正确求出 a1的值给 2 分 2利用 an与 Sn的关系构造等比数列给 2 分 3写出数列an的通项公式给 2 分 4求出数列bn的通项公式给 1 分 5采取错位相减法给 1 分 6两式相减后的正确化简计算给 2 分 7放缩法证明不等式给 2 分 1由 an与 Sn的关系求通项公式,易忽略条件 n2 而出错 2错位相减法中两式相减后,一定成等比数列的有 n1 项,整个式子共有 n1 项 3放缩法证明不等式时,要注意放缩适度,放的过大或过小都不能达到证明的目的 跟踪训练 (2020 山东省临沂市二模)(12 分)在3Sn1Sn1, a21 9, 2Sn13an1 三个条件中

4、选择恰当的两个,补充在下面问题中,并给出解答 已知数列an的前 n 项和为 Sn,满足_,_;又知正项等差数列bn满足 b1 2,且 b1,b21,b3成等比数列 (1)求an和bn的通项公式; (2)证明:ab1ab2abn 3 26. 解 (1)方案一:选择, 当 n2 时,由 3Sn1Sn1 得 3SnSn11,(1 分) 两式相减,得 3an1an,即a n1 an 1 3(n2),(2 分) 由得 3S2S11,即 3(a1a2)a11, 2a113a211 3 2 3,得 a1 1 3,(3 分) a2 a1 1 3,an为 a1 1 3,公比为 1 3的等比数列, an1 3 1

5、 3 n1 1 3 n .(4 分) 设等差数列bn的公差为 d,d0,且 b1,b21,b3成等比数列 b1b3(b21)2,即 2(22d)(1d)2,(5 分) 解得 d3 或 d1(舍去), bn23(n1)3n1.(6 分) 方案二:选择, 当 n2 时,由2Sn13an1, 得 2Sn113an,(1 分) 两式相减,得 2an3an3an1,a n1 an 1 3(n2),(2 分) 由 2S113a2,得 a11 3,(3 分) a2 a1 1 3,an为 a1 1 3,公比为 1 3的等比数列, ana1qn11 3 1 3 n1 1 3 n .(4 分) 以下同方案一(6 分) (2)证明:由(1)得 abna3n1 1 3 3n1 ,(7 分) 则 ab1ab2abn 1 3 2 1 3 5 1 3 3n1 (8 分) 1 3 2 1 1 3 3n 1 1 3 3 (10 分) 3 26 1 1 3 3n (11 分) 3 26.(12 分)