1、 三角函数与解三角形类解答题三角函数与解三角形类解答题 (2020 新高考卷)(10 分)在ac 3，c sin A3，c 3b 这三个条件中任 选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在， 说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin A 3sin B， C 6，_？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解题思路 解法一：先用正弦定理化“角”为“边”，推出 a 与 b 的关系进而结合余弦 定理用同一字母表示 a，b，c.若选可直接列方程求 m.若选可先用余弦定理求 cos A，再求 sin A
2、，由 c sin A3 求出 c.若选，则发现 c 3b 与所推出的 b，c 关系矛盾，此时三角形不 存在 解法二：先利用 sin Bsin (AC)和已知条件推出只有 A 的关系式，求出 A.进而求出 B， C.若选，可推出 a，b，c 之间的比例关系，结合 ac 3可求 c.若选，可直接列方程求 c. 若选，则发现 c 3b 与所推出的 b，c 关系矛盾，此时三角形不存在 解 解法一：由 sin A 3sin B 可得a b 3，(3 分) 不妨设 a 3m，bm(m0)， 则 c2a2b22ab cos C3m2m22 3mm 3 2 m2，即 cm.(6 分) 选择条件： 据此可得 a
3、c 3mm 3m2 3， m1，此时 cm1.(10 分) 选择条件： 据此可得 cos Ab 2c2a2 2bc m 2m23m2 2m2 1 2， 则 sin A 1 1 2 2 3 2 ， 此时 c sin Am 3 2 3， 则 cm2 3.(10 分) 选择条件： 由题意可得c b m m1，cb， 与条件 c 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在(10 分) 解法二：sin A 3sin B，B(AC)， sin A 3sin (AC)，(2 分) 又 C 6， sin A 3sin A 6 3sin A 3 2 3cos A1 2，(4 分) sin A 3cos A，tan A
4、3，(6 分) A2 3 ，BC 6.(7 分) 选择条件： 由正弦定理，得a c sin A sin C 3 2 1 2 3， a 3c， 3c2 3，c1.(10 分) 选择条件： 由 c sin A3，得 3c 2 3，c2 3.(10 分) 选择条件： 由 BC 可得 bc，与条件 c 3b 矛盾，则问题中的三角形不存在(10 分) (解法一) 1边角互化：用正弦定理化“角”为“边”，给 3 分 2推三边关系：用余弦定理和所得条件用 m 表示 a，b，c，给 3 分 3选条件求 c：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在，求出 c，给 4 分 (解法二) 1消角：根据 ABC，用诱
5、导公式消去角 B，给 2 分 2变形：用两角和的正弦公式变形，给 2 分 3求值：用同角三角函数关系求 tan A，给 2 分 4求角：求角 A，B，C，给 1 分 5选条件求 c：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在求出 c，给 3 分 1发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析” 2寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系 3合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化 4恰当选择条件：根据已知条件推出有关信息，要注意选择容易利用的条件，从而节约 时间 跟踪训练 (2020 山东省德州市一模)(10 分)在条件2cos A(b cos Cc cos B)a，c sin
6、 BC 2 a sin C，(sin Bsin C)2sin2AsinB sin C 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的解 答 已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a 7，bc2，_求 BC 边上的高 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解 若选，因为 2cos A(b cos Cc cos B)a， 由正弦定理，得 2cos A(sin B cos Csin C cos B)sin A，(2 分) 即 2cos A sin (BC)sin A，cos A1 2.(4 分) 因为 0A，所以 A 3.(5 分) 由余弦定理，得 a2b2c22bc c
7、os A， 所以 b 2c2bc7， bc2， 化简，得 c22c30，(7 分) 所以 c3(舍去)或 c1，(8 分) 从而 b3. 设 BC 边上的高是 h，所以1 2bc sin A 1 2ah， 所以 h3 21 14 .(10 分) 若选，由题设及正弦定理，得 sin C sin BC 2 sin A sin C. 因为 sin C0，所以 sin BC 2 sin A(2 分) 由 ABC，可得 sin BC 2 cos A 2， 故 cos A 22sin A 2cos A 2.(4 分) 因为 cos A 20，故 sin A 2 1 2，因此 A 3.(5 分) 下同选.(10 分) 若选，由已知，得 sin2Bsin2Csin2Asin B sin C， 故由正弦定理，得 b2c2a2bc.(2 分) 由余弦定理，得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2.(4 分) 因为 0A， 所以 A 3.(5 分) 下同选.(10 分)