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2021年高考数学大二轮专题复习规范答题系列二:三角函数与解三角形类解答题

1、 三角函数与解三角形类解答题三角函数与解三角形类解答题 (2020 新高考卷)(10 分)在ac 3,c sin A3,c 3b 这三个条件中任 选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求 c 的值;若问题中的三角形不存在, 说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin A 3sin B, C 6,_? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 解题思路 解法一:先用正弦定理化“角”为“边”,推出 a 与 b 的关系进而结合余弦 定理用同一字母表示 a,b,c.若选可直接列方程求 m.若选可先用余弦定理求 cos A,再求 sin A

2、,由 c sin A3 求出 c.若选,则发现 c 3b 与所推出的 b,c 关系矛盾,此时三角形不 存在 解法二:先利用 sin Bsin (AC)和已知条件推出只有 A 的关系式,求出 A.进而求出 B, C.若选,可推出 a,b,c 之间的比例关系,结合 ac 3可求 c.若选,可直接列方程求 c. 若选,则发现 c 3b 与所推出的 b,c 关系矛盾,此时三角形不存在 解 解法一:由 sin A 3sin B 可得a b 3,(3 分) 不妨设 a 3m,bm(m0), 则 c2a2b22ab cos C3m2m22 3mm 3 2 m2,即 cm.(6 分) 选择条件: 据此可得 a

3、c 3mm 3m2 3, m1,此时 cm1.(10 分) 选择条件: 据此可得 cos Ab 2c2a2 2bc m 2m23m2 2m2 1 2, 则 sin A 1 1 2 2 3 2 , 此时 c sin Am 3 2 3, 则 cm2 3.(10 分) 选择条件: 由题意可得c b m m1,cb, 与条件 c 3b 矛盾,则问题中的三角形不存在(10 分) 解法二:sin A 3sin B,B(AC), sin A 3sin (AC),(2 分) 又 C 6, sin A 3sin A 6 3sin A 3 2 3cos A1 2,(4 分) sin A 3cos A,tan A

4、3,(6 分) A2 3 ,BC 6.(7 分) 选择条件: 由正弦定理,得a c sin A sin C 3 2 1 2 3, a 3c, 3c2 3,c1.(10 分) 选择条件: 由 c sin A3,得 3c 2 3,c2 3.(10 分) 选择条件: 由 BC 可得 bc,与条件 c 3b 矛盾,则问题中的三角形不存在(10 分) (解法一) 1边角互化:用正弦定理化“角”为“边”,给 3 分 2推三边关系:用余弦定理和所得条件用 m 表示 a,b,c,给 3 分 3选条件求 c:选不同的条件,得到不同的判断,若三角形存在,求出 c,给 4 分 (解法二) 1消角:根据 ABC,用诱

5、导公式消去角 B,给 2 分 2变形:用两角和的正弦公式变形,给 2 分 3求值:用同角三角函数关系求 tan A,给 2 分 4求角:求角 A,B,C,给 1 分 5选条件求 c:选不同的条件,得到不同的判断,若三角形存在求出 c,给 3 分 1发现差异:观察角、函数运算的差异,即进行所谓的“差异分析” 2寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系 3合理转化:选择恰当的公式促使差异的转化 4恰当选择条件:根据已知条件推出有关信息,要注意选择容易利用的条件,从而节约 时间 跟踪训练 (2020 山东省德州市一模)(10 分)在条件2cos A(b cos Cc cos B)a,c sin

6、 BC 2 a sin C,(sin Bsin C)2sin2AsinB sin C 中任选一个,补充到下面问题中,并给出问题的解 答 已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a 7,bc2,_求 BC 边上的高 注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 解 若选,因为 2cos A(b cos Cc cos B)a, 由正弦定理,得 2cos A(sin B cos Csin C cos B)sin A,(2 分) 即 2cos A sin (BC)sin A,cos A1 2.(4 分) 因为 0A,所以 A 3.(5 分) 由余弦定理,得 a2b2c22bc c

7、os A, 所以 b 2c2bc7, bc2, 化简,得 c22c30,(7 分) 所以 c3(舍去)或 c1,(8 分) 从而 b3. 设 BC 边上的高是 h,所以1 2bc sin A 1 2ah, 所以 h3 21 14 .(10 分) 若选,由题设及正弦定理,得 sin C sin BC 2 sin A sin C. 因为 sin C0,所以 sin BC 2 sin A(2 分) 由 ABC,可得 sin BC 2 cos A 2, 故 cos A 22sin A 2cos A 2.(4 分) 因为 cos A 20,故 sin A 2 1 2,因此 A 3.(5 分) 下同选.(10 分) 若选,由已知,得 sin2Bsin2Csin2Asin B sin C, 故由正弦定理,得 b2c2a2bc.(2 分) 由余弦定理,得 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2.(4 分) 因为 0A, 所以 A 3.(5 分) 下同选.(10 分)