1、 立体几何类解答题 (2020 新高考卷)(12 分)如图，四棱锥 PABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l. (1)证明：l平面 PDC； (2)已知 PDAD1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值 解题思路 (1)先证 AD平面 PBC， 从而得到 ADl， 再由 ADDC， ADPD， 得到 lDC， lPD，结合线面垂直的判定定理，得到 l平面 PDC；(2)建立空间直角坐标系，得到PB 的坐 标，设 Q(m，0，1)，求出平面 QCD 的一个法向量 n，写出 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值 关
2、于 m 的表达式，结合基本不等式求解 解 (1)证明：在正方形 ABCD 中，ADBC， 因为 AD平面 PBC，BC 平面 PBC， 所以 AD平面 PBC，(1 分) 又因为 AD 平面 PAD，平面 PAD平面 PBCl， 所以 ADl.(2 分) 因为在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，所以 ADDC，所以 lDC， 又 PD平面 ABCD，所以 ADPD，所以 lPD.(4 分) 因为 DCPDD，所以 l平面 PDC.(5 分) (2)如图，建立空间直角坐标系 Dxyz， 因为 PDAD1，则有 D(0，0，0)，C(0，1，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)
3、，B(1，1，0)， 设 Q(m，0，1)，则有DC (0，1，0)，DQ (m，0，1)，PB (1，1，1).(6 分) 设平面 QCD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 DC n0， DQ n0， 即 y0， mxz0， 令 x1，则 zm， 所以平面 QCD 的一个法向量为 n(1，0，m)，(8 分) 则 cos n，PB n PB |n|PB | 10m 3m21. 根据直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的 正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于 |cos n，PB | |1m| 3m21 3 3 12mm2 m21 3 3 1 2m m21
4、 3 3 1 2|m| m21 3 3 11 6 3 ， 当且仅当 m1 时取等号，(11 分) 所以 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值为 6 3 .(12 分) 1由线面平行的判定定理证明 AD平面 PBC 给 1 分 2由线面平行的性质定理证明 ADl 给 1 分 3由直线与平面垂直证明直线与直线垂直给 2 分 4由线面垂直的判定定理证明 l平面 PDC 给 1 分 5由底面 ABCD 为矩形，PD底面 ABCD，建立空间直角坐标系，并写出相关点及向量 的坐标给 1 分 6求平面 QCD 的一个法向量给 2 分 7求直线与平面所成角的正弦值的最大值，给 3 分 8作答给出结论给
5、 1 分 1写全得分条件，证明线面平行时，一定要说明平面内的直线和平面外的直线 2写明得分关键，利用法向量求解空间角时，要构建恰当的空间直角坐标系，准确求解 相关点的坐标，赋值法求出平面的法向量，利用公式求出直线的方向向量与平面的法向量夹角 的余弦值或两平面法向量的夹角， 从而求出要求的线面角或二面角的三角函数值其中二面角 要根据几何体的结构特征判断其取值范围 跟踪训练 (12 分)如图所示， 在几何体 ABCDE 中， ABC 是等边三角形， AE平面 ABC， CDAE， 且 CD2AE2AC. (1)试在线段 BD 上确定点 M 的位置，使 EM平面 BCD，并证明； (2)求二面角 E
6、BCD 的余弦值. 解 (1)当点 M 为 BD 的中点时，EM平面 BCD.(1 分) 证明如下：取 BC 的中点 F，连接 AF，MF， MFCD 且 MF1 2CD， 又 AECD，AE1 2CD， MFAE 且 MFAE， 四边形 AEMF 为平行四边形， EMAF.(2 分) 又 AE平面 ABC，CDAE，CD平面 ABC， 又 CD 平面 BCD，平面 BCD平面 ABC，(3 分) ABC 是等边三角形，AFBC， 又平面 ABC平面 BCDBC，AF平面 BCD，(5 分) EM平面 BCD.(6 分) (2)由(1)知，FA，FB，FM 两两互相垂直，以 F 为原点，FA，
7、FB，FM 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 AEAC2，则 CD4， C(0，1，0)，B(0，1，0)，E( 3，0，2)， CE ( 3，1，2)，BE ( 3，1，2).(7 分) 设平面 EBC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n CE 0， n BE 0， 即 3xy2z0， 3xy2z0，解得 y0， 令 x 3，则 z3 2，n 3，0，3 2 ，(9 分) 由(1)知，平面 BCD 的一个法向量为 m(1，0，0)，(10 分) cos m，n m n |m|n| 2 7 7 ，(11 分) 由图知，二面角 EBCD 为锐角， 二面角 EBCD 的余弦值为2 7 7 .(12 分)