1、考点五考点五 不等式不等式 A 卷卷 一、选择题 1若 ab 1 b B 1 ab 1 a Cacbc Da2b2 答案 A 解析 由 ab0 得1 a 1 b ba ab 0，故 A 正确；由 ab0，得 aab0，即 1 ab0 时，由 ab0，得 acbc，故 C 错误；由 ab|b|，即 a2b2，故 D 错误故 选 A. 2(2020 浙江温州期末)不等式 x23x100 的解集是( ) A(2,5) B(5,2) C(，5)(2，) D(，2)(5，) 答案 A 解析 不等式 x23x100 化为(x2)(x5)0， 解得2x5， 所以该不等式的解集是( 2,5)故选 A. 3已知
2、点 A(3，1)与点 B(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则实数 a 的取值范围 是( ) A(24,7) B(7,24) C(，24)(7，) D(，7)(24，) 答案 B 解析 由题意可得(92a)(1212a)0，所以7a24.故选 B. 4(2020 山东青岛一模)已知集合 AxR|log2x2，集合 BxR|x1|2，则 AB ( ) A(0,3) B(1,3) C(0,4) D(，3) 答案 A 解析 集合 AxR|log2x2x|0x4，集合 BxR|x1|2x|1x3， ABx|0x0，b0，且 a3b2ab0，则 3ab 的最小值 是( ) A6 B8 C12 D16
3、 答案 B 解析 因为 a3b2ab0，a0，b0，所以3 a 1 b2，所以 3ab 1 2 3 a 1 b (3ab)1 2 3b a 3a b 10 1 2(610)8(当且仅当 ab2 时取等号) 6如果关于 x 的不等式 x2axb 的解集是x|1x3，那么 ba等于( ) A81 B81 C64 D64 答案 B 解析 不等式 x2axb 可化为 x2axb0，其解集为x|1xbc Bcab Ccba Dbca 答案 D 解析 a282 12，b216，c282 15，2 152 12，且 82 15，b2c2a2， bca.故选 D. 8(2020 山东高密一模)已知 x0，y0
4、，且1 x 9 y1，则 xy 的最小值为( ) A100 B81 C36 D9 答案 C 解析 已知 x0，y0，且1 x 9 y1，所以 1 x 9 y2 1 x 9 y，即 12 9 xy，故 xy36.当且 仅当1 x 9 y，即 x2，y18 时等号成立所以 xy 的最小值为 36.故选 C. 9(2020 山东济宁三模)设 a1 4log2 1 3，b 1 2 0.3，则有( ) Aabab Babab Cabab Dabab 答案 A 解析 a1 4log2 1 3 1 4log23，又 3 2log232， 1 2 1 4log23 3 8，即 1 2a 1 2 11 2，ab
5、0，abab.故选 A. 10(2020 上海高考)下列等式恒成立的是( ) Aa2b22ab Ba2b22ab Cab2 |ab| Da2b22ab 答案 B 解析 显然当 a0 时，不等式 a2b22ab 不成立，故 A 错误；(ab)20，a2 b22ab0，a2b22ab，故 B 正确；显然当 a0，b0，b0 时，不等式 a2b22ab 不成立，故 D 错误故选 B. 11(2020 北京房山区期末)已知函数 f(x) x2，x0， x2，x0， 则不等式 f(x)x2的解集为 ( ) Ax|1x1 Bx|2x2 Cx|2x1 Dx|1x2 答案 A 解 析 函 数 f(x) x2，
6、x0， x2，x0， 则 不 等 式 f(x)x2， 即 x0， x2x2 或 x0， x2x2 .解可得1x0，解可得 00，y0，则 x8y 的最小值为( ) A21 B25 C27 D34 答案 B 解析 根据题意， A， B， C三点共线， 点O在直线AB外， OA 1 xOB 2 yOC .设BA BC(0， 1)，则OA OB BA OB BC OB (OC OB )OC (1)OB ， 11 x， 2 y， 消 去 得1 x 2 y1，x8y(x8y) 1 x 2 y 12x y 8y x 16172 2x y 8y x 25(当且仅当 x 5，y5 2时等式成立)故选 B. 1
7、3(2020 北京房山区期末)若不等式3xa x2 0 的解集是 x|1 3x2 ，则 a 的值是( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 不等式3xa x2 0 的解集是 x|1 3x2 ， (3xa)(x2)0 的解集是 x|1 3x0，b0)对 称，则2 a 1 b的最小值为( ) A4 B4 2 C9 D9 2 答案 C 解析 由题意可知，圆心(2,1)在直线 axby10 上，则 2ab1，又因为 a0，b0， 所以2 a 1 b 2 a 1 b (2ab)52b a 2a b 549，当且仅当2b a 2a b 且 2ab1，即 a1 3，b 1 3时取等号，此时取得最小值
8、9.故选 C. 15(2020 山东日照二模)已知函数 f(x)x2(1m)xm，若 f(f(x)0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A3，32 2 B1，32 2 C3,1 D32 2，1 答案 A 解析 f(x)x2(1m)xm(xm)(x1)， m1， f(f(x)0恒成立等价于f(x)m或f(x)1恒成立， 即f(x)x2(1m)xmm 或 f(x)x2(1m)xm1(不符合题意，舍去)恒成立，即 1m28m0， m1， 解得 m (1，32 2 ；m1，f(f(x)0 恒成立，符合题意； m1，f(f(x)0 恒成立等价于 f(x)m(不符合题意，舍去)或 f(x)1 恒成立
9、，等价 于 1m241m0， m1， 解得 m3，1) 综上所述，m3，32 2，故选 A. 16(2020 山东威海二模)若 logab0 且 a1)，2b2b1，则( ) Aa1，b1 B0a1 Ca1,0b1 D0a1,0b1 答案 B 解析 logab0 且 a1)，b0. 2b2b120，b2b0，b1. 由可得，b1.再结合 logab0，可得 0a1，故选 B. 17(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)当 a0 时，关于 x 的不等式 x24ax 3a20 的解集是(x1，x2)，则 bx1x2 a x1x2取得最值的充分条件是( ) A有最大值，b1 B有最小值，
10、b4 3 C有最大值，b5 D有最小值，b4 3 3 答案 C 解析 不等式 x24ax3a20 的解集是(x1，x2)，故 x1x24a，x1x23a2.bx1x2 a x1x2 4a 1 3a 4a 1 3a 2 4 3 4 3 3 ，当4a 1 3a，即 a 3 6 时等号成立，根据 充分条件的定义知 C 满足故选 C. 18(2020 浙江高考)已知 a，bR 且 ab0，若(xa)(xb)(x2ab)0 在 x0 上恒成 立，则( ) Aa0 Cb0 答案 C 解析 因为 ab0，所以 a0 且 b0，设 f(x)(xa)(xb)(x2ab)，则 f(x)的零点为 x1a，x2b，x
11、32ab.当 a0 时，x2x3，x10，要使 f(x)0，必有 2aba，且 b0， 即 ba，且 b0，所以 b0；当 a0 时，x2x3，x10，要使 f(x)0，必有 b0.综上可 得 b0.故选 C. 二、填空题 19(2020 江苏连云港模拟)若关于 x 的不等式 mx2mx10 的解集不是空集，则 m 的取 值范围是_ 答案 (，0)(4，) 解析 若 m0， 则原不等式等价为 10， 此时不等式的解集为空集， 所以不成立， 即 m0. 若 m0，要使不等式 mx2mx10 时，有 m24m0，解得 m4.若 m1，b0，且 1 a1 1 b1，则 a b 的最小值是_ 答案 5
12、 解析 a1，b0，且 1 a1 1 b1，aba1b1(a1b) 1 a1 1 b 11 a1 b b a11132 a1 b b a15(当且仅当 a1b 即 a3，b2 时取等号) 22已知 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4，则 f(2)的取值范围为_ 答案 5,10 解析 设 f(2)mf(1)nf(1)(m，n 为待定系数)， 则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2b(mn)a(nm)b. 则 mn4， nm2， 解得 m3， n1， f(2)3f(1)f(1)， 又 1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故 5f(2)10. 一、选择题 1下列
13、命题中正确的是( ) A若 ab，则 ac2bc2 B若 ab，cd，则 acbd C若 ab0，ab，则1 ab，c b d 答案 C 解析 对于 A，若 c0，则 ac2bc2，故 A 不正确；对于 B，取 a5，b4，c1，d 2，满足条件 ab，cd，但 ac0，ab，则1 ab，cd，但a cb)，向盐水中再加 入 m 克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实( ) A.b a bm am C.b a bm a 答案 A 解析 向盐水溶液中加入 m 克盐，盐水的浓度变为bm am，此时浓度变大，盐水更咸，即 bm am b a.故选 A. 3(2020 山东滨州高三上
14、学期联考)已知 a0，b0，若不等式4 a 1 b m ab恒成立，则 m 的最大值为( ) A10 B12 C16 D9 答案 D 解析 由已知 a0，b0，若不等式4 a 1 b m ab恒成立，则 m 4 a 1 b (ab)恒成立，转化 成求 y 4 a 1 b (ab)的最小值y 4 a 1 b (ab)54b a a b52 4b a a b9，所以 m9， 故选 D. 4(2020 山东莱州一中质量检测)对任意实数 x，不等式3x 22x2 x2x1 k 恒成立，则正整数 k 的值为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 x2x1 恒为正数，原题等价于 3x22x2kx2
15、kxk 对 xR 恒成立，(k 3)x2(k2)xk20 恒成立，即 k30， 0， (k2)24(k2) (k3)(k2)(k24k 12)(k2)(103k)由 0，得 k10 3 .又 k3，ky0，且 xy1，则 2 x3y 1 xy的最小值 为( ) A.10 3 B3 2 2 C32 2 D2 2 答案 B 解析 因为实数 x，y 满足 xy0，且 xy1，所以 x1x0，解得 1x1 2y0，则 2 x3y 1 xy 2 x31x 1 x1x 2 32x 1 2x1 1 2 2 32x 1 2x1 (32x)(2x1) 1 2 322x1 32x 32x 2x1 1 2(32 2
16、) 3 2 2，当且仅当 22x1 32x 32x 2x1时取等号，故选 B. 6设 0b(ax)2的解集中的整数恰有 4 个，则 b a1的取 值范围为( ) A(3,4 B(3,4) C(2,3 D(2,3) 答案 A 解析 整理不等式得(1a)xb(1a)xb0，因为整数解只有 4 个，且 1a0，可得 1a1.其解集为 b 1a， b 1a ，又 0b1a，所以 0 b 1a1，欲使解集中的整数 只有 4 个，则4 b 1ab， 则下列不等式一定成立的是( ) A.1 a 1 b B2020ab1 Cln aln b Da(c21)b(c21) 答案 BD 解析 对于 A，若 ab0，
17、则1 a0，所以 2020 ab1， 故 B 正确；对于 C，函数 yln x 的定义域为(0，)，而 a，b 不一定是正数，所以 C 错误； 对于 D，因为 c210，所以 a(c21)b(c21)，所以 D 正确故选 BD. 8(多选)(2020 山东潍坊二模)若 ab0，则下列不等式中一定成立的是( ) Aa1 ab 1 b Ba1 b0 D a b c b a c 答案 BD 解析 由函数 yx1 x在(，1)上为增函数可知，当 ab1 时，a 1 ab 1 b，故 A 错误；由函数 yx1 x在(，1)上为增函数可知，当 ab1 时，a 1 ab 1 b，即 a 1 bb 1 a，故
18、 B 正确；由于 a0，但不确定 ba 与 1 的大小关系，故 ln (ba)与 0 的 大小关系不确定，故 C 错误；由 ab1,0 b a0，则 a b c1 b a c0，故 D 正确故选 BD. 二、填空题 9(2020 山东青岛一模)若 x(0，)，4xx1a 恒成立，则实数 a 的取值范围为 _ 答案 (，4 解析 因为x(0，)，4xx14x1 x2 4x 1 x4，当且仅当 4x 1 x，即 x 1 2时 取等号，又 x(0，)，4xx1a 恒成立，所以 a4，故实数 a 的取值范围为(，4 10(2020 青海西宁期末)关于 x 的不等式 ax2bx20 的解集是 x|1 2
19、x0 的解集为 x|1 2x 1 3 ， 1 2和 1 3为方程 ax 2bx20 的两 个实根，且 ab，给出下列不等式： 1 ab3； a2 b2；2ac22bc2；a b1；a 2b21abab. 其中一定成立的不等式的序号是_ 答案 解析 令 a1，b1，1 a 1 b，排除； a 2 b2，排除；a b1b3，故一定成 立；由于 a2b21(abab)1 2(ab) 2(a1)2(b1)20，故 a2b21abab， 故一定成立所以一定成立的是. 三、解答题 13已知常数 1，解关于 x 的不等式：(lg x1)(lg x)0. 解 显然，当 0 或 1 时，不等式的解集为；当 01
20、 时，不等式等价于(lg x 1)(lg x)0，则 lg x1，解得 10x10，不等式的解集为(10，10)；当 0， 则 lg x1， 解得 0x10， 不等式的解集为(0,10) (10，) 14已知函数 f(x)xa xb(a，b 为常数) (1)若 b1，解不等式 f(x1) 1 xb2恒成立，求 b 的取值范围 解 (1)f(x)xa xb，b1，f(x) xa x1， f(x1)x1a x11 x1a x ， f(x1)0，x1a x 0，等价于 xx(1a)0，即 a1 时，不等式的解集为(0,1a)； 当 1a0，即 a1 时，不等式的解集为； 当 1a1 时，不等式的解集为(1a,0) (2)a1，f(x) 1 xb2， x1 xb 1 xb2，(xb)(x1)1， () 显然 xb，易知当 x1 时，不等式()成立； 当1 1 x1x1 1 x1x1 ， x10， 1 x1(x1)2 1 x1 x12， 当且仅当 x0 时，等号成立，故 b1. xb0，xb，b1,2，故 b1. 综上所述，b1.