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2021年高考数学二轮复习考点-不等式

1、考点五考点五 不等式不等式 A 卷卷 一、选择题 1若 ab 1 b B 1 ab 1 a Cacbc Da2b2 答案 A 解析 由 ab0 得1 a 1 b ba ab 0,故 A 正确;由 ab0,得 aab0,即 1 ab0 时,由 ab0,得 acbc,故 C 错误;由 ab|b|,即 a2b2,故 D 错误故 选 A. 2(2020 浙江温州期末)不等式 x23x100 的解集是( ) A(2,5) B(5,2) C(,5)(2,) D(,2)(5,) 答案 A 解析 不等式 x23x100 化为(x2)(x5)0, 解得2x5, 所以该不等式的解集是( 2,5)故选 A. 3已知

2、点 A(3,1)与点 B(4,6)在直线 3x2ya0 的两侧,则实数 a 的取值范围 是( ) A(24,7) B(7,24) C(,24)(7,) D(,7)(24,) 答案 B 解析 由题意可得(92a)(1212a)0,所以7a24.故选 B. 4(2020 山东青岛一模)已知集合 AxR|log2x2,集合 BxR|x1|2,则 AB ( ) A(0,3) B(1,3) C(0,4) D(,3) 答案 A 解析 集合 AxR|log2x2x|0x4,集合 BxR|x1|2x|1x3, ABx|0x0,b0,且 a3b2ab0,则 3ab 的最小值 是( ) A6 B8 C12 D16

3、 答案 B 解析 因为 a3b2ab0,a0,b0,所以3 a 1 b2,所以 3ab 1 2 3 a 1 b (3ab)1 2 3b a 3a b 10 1 2(610)8(当且仅当 ab2 时取等号) 6如果关于 x 的不等式 x2axb 的解集是x|1x3,那么 ba等于( ) A81 B81 C64 D64 答案 B 解析 不等式 x2axb 可化为 x2axb0,其解集为x|1xbc Bcab Ccba Dbca 答案 D 解析 a282 12,b216,c282 15,2 152 12,且 82 15,b2c2a2, bca.故选 D. 8(2020 山东高密一模)已知 x0,y0

4、,且1 x 9 y1,则 xy 的最小值为( ) A100 B81 C36 D9 答案 C 解析 已知 x0,y0,且1 x 9 y1,所以 1 x 9 y2 1 x 9 y,即 12 9 xy,故 xy36.当且 仅当1 x 9 y,即 x2,y18 时等号成立所以 xy 的最小值为 36.故选 C. 9(2020 山东济宁三模)设 a1 4log2 1 3,b 1 2 0.3,则有( ) Aabab Babab Cabab Dabab 答案 A 解析 a1 4log2 1 3 1 4log23,又 3 2log232, 1 2 1 4log23 3 8,即 1 2a 1 2 11 2,ab

5、0,abab.故选 A. 10(2020 上海高考)下列等式恒成立的是( ) Aa2b22ab Ba2b22ab Cab2 |ab| Da2b22ab 答案 B 解析 显然当 a0 时,不等式 a2b22ab 不成立,故 A 错误;(ab)20,a2 b22ab0,a2b22ab,故 B 正确;显然当 a0,b0,b0 时,不等式 a2b22ab 不成立,故 D 错误故选 B. 11(2020 北京房山区期末)已知函数 f(x) x2,x0, x2,x0, 则不等式 f(x)x2的解集为 ( ) Ax|1x1 Bx|2x2 Cx|2x1 Dx|1x2 答案 A 解 析 函 数 f(x) x2,

6、x0, x2,x0, 则 不 等 式 f(x)x2, 即 x0, x2x2 或 x0, x2x2 .解可得1x0,解可得 00,y0,则 x8y 的最小值为( ) A21 B25 C27 D34 答案 B 解析 根据题意, A, B, C三点共线, 点O在直线AB外, OA 1 xOB 2 yOC .设BA BC(0, 1),则OA OB BA OB BC OB (OC OB )OC (1)OB , 11 x, 2 y, 消 去 得1 x 2 y1,x8y(x8y) 1 x 2 y 12x y 8y x 16172 2x y 8y x 25(当且仅当 x 5,y5 2时等式成立)故选 B. 1

7、3(2020 北京房山区期末)若不等式3xa x2 0 的解集是 x|1 3x2 ,则 a 的值是( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 不等式3xa x2 0 的解集是 x|1 3x2 , (3xa)(x2)0 的解集是 x|1 3x0,b0)对 称,则2 a 1 b的最小值为( ) A4 B4 2 C9 D9 2 答案 C 解析 由题意可知,圆心(2,1)在直线 axby10 上,则 2ab1,又因为 a0,b0, 所以2 a 1 b 2 a 1 b (2ab)52b a 2a b 549,当且仅当2b a 2a b 且 2ab1,即 a1 3,b 1 3时取等号,此时取得最小值

8、9.故选 C. 15(2020 山东日照二模)已知函数 f(x)x2(1m)xm,若 f(f(x)0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A3,32 2 B1,32 2 C3,1 D32 2,1 答案 A 解析 f(x)x2(1m)xm(xm)(x1), m1, f(f(x)0恒成立等价于f(x)m或f(x)1恒成立, 即f(x)x2(1m)xmm 或 f(x)x2(1m)xm1(不符合题意,舍去)恒成立,即 1m28m0, m1, 解得 m (1,32 2 ;m1,f(f(x)0 恒成立,符合题意; m1,f(f(x)0 恒成立等价于 f(x)m(不符合题意,舍去)或 f(x)1 恒成立

9、,等价 于 1m241m0, m1, 解得 m3,1) 综上所述,m3,32 2,故选 A. 16(2020 山东威海二模)若 logab0 且 a1),2b2b1,则( ) Aa1,b1 B0a1 Ca1,0b1 D0a1,0b1 答案 B 解析 logab0 且 a1),b0. 2b2b120,b2b0,b1. 由可得,b1.再结合 logab0,可得 0a1,故选 B. 17(2020 山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)当 a0 时,关于 x 的不等式 x24ax 3a20 的解集是(x1,x2),则 bx1x2 a x1x2取得最值的充分条件是( ) A有最大值,b1 B有最小值,

10、b4 3 C有最大值,b5 D有最小值,b4 3 3 答案 C 解析 不等式 x24ax3a20 的解集是(x1,x2),故 x1x24a,x1x23a2.bx1x2 a x1x2 4a 1 3a 4a 1 3a 2 4 3 4 3 3 ,当4a 1 3a,即 a 3 6 时等号成立,根据 充分条件的定义知 C 满足故选 C. 18(2020 浙江高考)已知 a,bR 且 ab0,若(xa)(xb)(x2ab)0 在 x0 上恒成 立,则( ) Aa0 Cb0 答案 C 解析 因为 ab0,所以 a0 且 b0,设 f(x)(xa)(xb)(x2ab),则 f(x)的零点为 x1a,x2b,x

11、32ab.当 a0 时,x2x3,x10,要使 f(x)0,必有 2aba,且 b0, 即 ba,且 b0,所以 b0;当 a0 时,x2x3,x10,要使 f(x)0,必有 b0.综上可 得 b0.故选 C. 二、填空题 19(2020 江苏连云港模拟)若关于 x 的不等式 mx2mx10 的解集不是空集,则 m 的取 值范围是_ 答案 (,0)(4,) 解析 若 m0, 则原不等式等价为 10, 此时不等式的解集为空集, 所以不成立, 即 m0. 若 m0,要使不等式 mx2mx10 时,有 m24m0,解得 m4.若 m1,b0,且 1 a1 1 b1,则 a b 的最小值是_ 答案 5

12、 解析 a1,b0,且 1 a1 1 b1,aba1b1(a1b) 1 a1 1 b 11 a1 b b a11132 a1 b b a15(当且仅当 a1b 即 a3,b2 时取等号) 22已知 f(x)ax2bx,1f(1)2,2f(1)4,则 f(2)的取值范围为_ 答案 5,10 解析 设 f(2)mf(1)nf(1)(m,n 为待定系数), 则 4a2bm(ab)n(ab),即 4a2b(mn)a(nm)b. 则 mn4, nm2, 解得 m3, n1, f(2)3f(1)f(1), 又 1f(1)2,2f(1)4, 53f(1)f(1)10,故 5f(2)10. 一、选择题 1下列

13、命题中正确的是( ) A若 ab,则 ac2bc2 B若 ab,cd,则 acbd C若 ab0,ab,则1 ab,c b d 答案 C 解析 对于 A,若 c0,则 ac2bc2,故 A 不正确;对于 B,取 a5,b4,c1,d 2,满足条件 ab,cd,但 ac0,ab,则1 ab,cd,但a cb),向盐水中再加 入 m 克盐,那么盐水将变得更咸,下面哪一个式子可以说明这一事实( ) A.b a bm am C.b a bm a 答案 A 解析 向盐水溶液中加入 m 克盐,盐水的浓度变为bm am,此时浓度变大,盐水更咸,即 bm am b a.故选 A. 3(2020 山东滨州高三上

14、学期联考)已知 a0,b0,若不等式4 a 1 b m ab恒成立,则 m 的最大值为( ) A10 B12 C16 D9 答案 D 解析 由已知 a0,b0,若不等式4 a 1 b m ab恒成立,则 m 4 a 1 b (ab)恒成立,转化 成求 y 4 a 1 b (ab)的最小值y 4 a 1 b (ab)54b a a b52 4b a a b9,所以 m9, 故选 D. 4(2020 山东莱州一中质量检测)对任意实数 x,不等式3x 22x2 x2x1 k 恒成立,则正整数 k 的值为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 x2x1 恒为正数,原题等价于 3x22x2kx2

15、kxk 对 xR 恒成立,(k 3)x2(k2)xk20 恒成立,即 k30, 0, (k2)24(k2) (k3)(k2)(k24k 12)(k2)(103k)由 0,得 k10 3 .又 k3,ky0,且 xy1,则 2 x3y 1 xy的最小值 为( ) A.10 3 B3 2 2 C32 2 D2 2 答案 B 解析 因为实数 x,y 满足 xy0,且 xy1,所以 x1x0,解得 1x1 2y0,则 2 x3y 1 xy 2 x31x 1 x1x 2 32x 1 2x1 1 2 2 32x 1 2x1 (32x)(2x1) 1 2 322x1 32x 32x 2x1 1 2(32 2

16、) 3 2 2,当且仅当 22x1 32x 32x 2x1时取等号,故选 B. 6设 0b(ax)2的解集中的整数恰有 4 个,则 b a1的取 值范围为( ) A(3,4 B(3,4) C(2,3 D(2,3) 答案 A 解析 整理不等式得(1a)xb(1a)xb0,因为整数解只有 4 个,且 1a0,可得 1a1.其解集为 b 1a, b 1a ,又 0b1a,所以 0 b 1a1,欲使解集中的整数 只有 4 个,则4 b 1ab, 则下列不等式一定成立的是( ) A.1 a 1 b B2020ab1 Cln aln b Da(c21)b(c21) 答案 BD 解析 对于 A,若 ab0,

17、则1 a0,所以 2020 ab1, 故 B 正确;对于 C,函数 yln x 的定义域为(0,),而 a,b 不一定是正数,所以 C 错误; 对于 D,因为 c210,所以 a(c21)b(c21),所以 D 正确故选 BD. 8(多选)(2020 山东潍坊二模)若 ab0,则下列不等式中一定成立的是( ) Aa1 ab 1 b Ba1 b0 D a b c b a c 答案 BD 解析 由函数 yx1 x在(,1)上为增函数可知,当 ab1 时,a 1 ab 1 b,故 A 错误;由函数 yx1 x在(,1)上为增函数可知,当 ab1 时,a 1 ab 1 b,即 a 1 bb 1 a,故

18、 B 正确;由于 a0,但不确定 ba 与 1 的大小关系,故 ln (ba)与 0 的 大小关系不确定,故 C 错误;由 ab1,0 b a0,则 a b c1 b a c0,故 D 正确故选 BD. 二、填空题 9(2020 山东青岛一模)若 x(0,),4xx1a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 _ 答案 (,4 解析 因为x(0,),4xx14x1 x2 4x 1 x4,当且仅当 4x 1 x,即 x 1 2时 取等号,又 x(0,),4xx1a 恒成立,所以 a4,故实数 a 的取值范围为(,4 10(2020 青海西宁期末)关于 x 的不等式 ax2bx20 的解集是 x|1 2

19、x0 的解集为 x|1 2x 1 3 , 1 2和 1 3为方程 ax 2bx20 的两 个实根,且 ab,给出下列不等式: 1 ab3; a2 b2;2ac22bc2;a b1;a 2b21abab. 其中一定成立的不等式的序号是_ 答案 解析 令 a1,b1,1 a 1 b,排除; a 2 b2,排除;a b1b3,故一定成 立;由于 a2b21(abab)1 2(ab) 2(a1)2(b1)20,故 a2b21abab, 故一定成立所以一定成立的是. 三、解答题 13已知常数 1,解关于 x 的不等式:(lg x1)(lg x)0. 解 显然,当 0 或 1 时,不等式的解集为;当 01

20、 时,不等式等价于(lg x 1)(lg x)0,则 lg x1,解得 10x10,不等式的解集为(10,10);当 0, 则 lg x1, 解得 0x10, 不等式的解集为(0,10) (10,) 14已知函数 f(x)xa xb(a,b 为常数) (1)若 b1,解不等式 f(x1) 1 xb2恒成立,求 b 的取值范围 解 (1)f(x)xa xb,b1,f(x) xa x1, f(x1)x1a x11 x1a x , f(x1)0,x1a x 0,等价于 xx(1a)0,即 a1 时,不等式的解集为(0,1a); 当 1a0,即 a1 时,不等式的解集为; 当 1a1 时,不等式的解集为(1a,0) (2)a1,f(x) 1 xb2, x1 xb 1 xb2,(xb)(x1)1, () 显然 xb,易知当 x1 时,不等式()成立; 当1 1 x1x1 1 x1x1 , x10, 1 x1(x1)2 1 x1 x12, 当且仅当 x0 时,等号成立,故 b1. xb0,xb,b1,2,故 b1. 综上所述,b1.