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2021年高考数学二轮复习考点-空间几何体的表面积与体积

1、考点十三考点十三 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1(2020 天津高考)若棱长为 2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A12 B24 C36 D144 答案 C 解析 正方体的外接球半径等于正方体的体对角线长的一半,即外接球半径 R 2 322 322 32 2 3,所以这个球的表面积为 S4R243236.故选 C. 2.(2020 山东济南 6 月针对性训练)如图,在圆柱 O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切若 O1O22,则圆柱 O1O2的表面积为( ) A4 B5 C6 D 答案 C 解析 因为该球与圆柱

2、的上、下底面,母线均相切,不妨设圆柱的底面半径为 r,故 2r O1O22,解得 r1.故该圆柱的表面积为 2r22rO1O2246.故选 C. 3 (2020 山东聊城三模)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的 数书九章 (1247 年) 该书第二章为“天时类”, 收录了有关降水量计算的四个例子, 分别是“天池测雨”“圆 罂测雨”“峻积验雪”和“竹器验雪” 其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆 收集雨水已知天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸当盆中积 水深九寸(注:1 尺10 寸)时,平地降雨量是( ) A9 寸 B7 寸 C8 寸 D3 寸 答案 D

3、解析 由已知,得天池盆盆口的半径为 14 寸,盆底的半径为 6 寸,则盆口的面积为 196 平方寸,盆底的面积为 36 平方寸又盆高 18 寸,积水深 9 寸,则积水的水面半径为146 2 10(寸),积水的水面面积为 100 平方寸,积水的体积为 V1 3(36 36100100)9 588(立方寸),所以平地降雨量为588立方寸 196平方寸3(寸) 4(2020 山东德州高三 4 月模拟)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SA 平面 ABC,SA2,AB1,AC2,BAC 3,则球 O 的体积为( ) A.16 2 3 B8 2 3 C4 2 D4 2 3 答案 B

4、解析 根据余弦定理,BC2AC2AB22AB AC cosBAC3,故 BC 3.根据正弦定 理, 2r BC sinBAC2, 故 r1(r 为ABC 外接圆半径), 设 R 为三棱锥 SABC 外接球的半径, 则 R2r2 SA 2 22,故 R 2,故 V4 3R 38 2 3 .故选 B. 5如图,在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,EF 是棱 AB 上的一条线段,且 EF ba,若 Q 是 A1D1上的定点,P 在 C1D1上滑动,则四面体 PQEF 的体积( ) A是变量且有最大值 B是变量且有最小值 C是变量无最大、最小值 D是常量 答案 D 解析 EF 是定长,

5、Q 到 EF 的距离就是 Q 到 AB 的距离,也为定长,即QEF 的底和 高都是定值,QEF 的面积是定值,C1D1平面 QEF,P 在 C1D1上滑动,P 到平面 QEF 的距离是定值即三棱锥 PQEF 的高也是定值,于是体积固定三棱锥 PQEF 的 体积是定值,即四面体 PQEF 的体积是定值 6(2020 全国卷)已知 A,B,C 为球 O 的球面上的三个点,O1为ABC 的外接圆, 若O1的面积为 4,ABBCACOO1,则球 O 的表面积为( ) A64 B48 C36 D32 答案 A 解析 设圆O1的半径为r, 球的半径为R, 依题意, 得r24, r2.由正弦定理可得 AB

6、sin60 2r,AB2rsin60 2 3.OO1AB2 3.根据球中圆截面的性质得 OO1平面 ABC, OO1O1A,ROAOO21O1A2OO21r24,球 O 的表面积 S4R264.故选 A. 7(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M,N,若线段 MN 的最小值为 3 1,则( ) A正方体的外接球的表面积为 12 B正方体的内切球的体积为4 3 C正方体的棱长为 2 D线段 MN 的最大值为 2 3 答案 ABC 解析 设正方体的棱长为 a,则正方体外接球的半径为体对角线长的一半,即 3 2 a;内切 球的半径为棱长的一半,即a 2.M,N 分别为外接球和内切球上的

7、动点,MNmin 3 2 aa 2 31 2 a 31,解得 a2,即正方体的棱长为 2,C 正确;正方体的外接球的表面积为 4( 3)212,A 正确;正方体的内切球的体积为4 3 ,B 正确;线段 MN 的最大值为 3 2 aa 2 31,D 错误故选 ABC. 8(多选)若正三棱柱 ABCABC的所有棱长都为 3,外接球的球心为 O,则下列四 个结论正确的是( ) A其外接球的表面积为 21 B直线 AB与直线 BC 所成的角为 3 CAOBC D三棱锥 OABC 的体积为9 3 8 答案 ACD 解析 如图,球心 O 到下底面的距离 OO3 2,AO 2 3 3 2 3 3,所以其外接

8、球 的半径 RAO2OO2 21 2 ,所以其外接球的表面积为 4R221,A 正确;直线 AB 与直线 BC 所成的角即直线 AB与直线 BC所成的角,设其为 ,在ABC中,cos 3 2 2323 22 23 23 2 4 ,故 B 错误;由 OO平面 ABC,得 OOBC,O为ABC 的重心,则 AOBC,故 BC平面 AOO,即 BCAO,故 AOBC,C 正确;根据 三棱锥的体积公式可得 VOABC1 3 3 2 1 23 3 3 2 9 3 8 ,D 正确 二、填空题 9(2020 浙江高考)已知圆锥展开图的侧面积为 2,且为半圆,则底面半径为_ 答案 1 解析 设圆锥底面半径为

9、r,母线长为 l,则 rl2, 2r1 22l, 解得 r1,l2. 10学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型,如图,该模型为圆锥底部挖去一 个正方体后的剩余部分(正方体四个顶点在圆锥母线上,四个顶点在圆锥底面上),圆锥底面直 径为 10 2 cm,高为 10 cm,打印所用原料密度为 0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所 需原料的质量为_ g( 取 3.14) 答案 358.5 解析 设被挖去的正方体的棱长为 x cm, 圆锥底面半径为 r cm, 高为 h cm, 则 2 2 x r hx h , 即 2 2 x 5 2 10 x 10 ,解得 x5,所以制作该模型

10、所需材料质量约为 mV0.9 1 3r 2 hx3 0.350100.9125358.5 g. 11(2020 山东泰安二轮复习质量检测)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,AOB90 ,C 为该球面上的动点,若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为_ 答案 144 解析 如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径的端点时,三棱锥的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时 VOABCVCAOB1 3 1 2R 2R1 6R 336,故 R6,则球 O 的表面积为 S 4R2144. 12.(2020 山东聊城一模)点 M,N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 B

11、C,BB1的中点,设 A1MN 的面积为 S1,平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面的面积为 S,五棱锥 A1 CC1B1NM 的体积为 V1,三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V,则V1 V _,S1 S _. 答案 7 12 3 5 解析 如图所示, 延长 NM 交直线 C1C 于点 P, 连接 PA1交 AC 于点 Q, 连接 QM.平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ. BB1CC1,M 为 BC 的中点,则PCMNBM.点 M 为 PN 的中点 A1MN 的面积 S11 2SA1NP, QCA1C1, PC PC1 1 3 PQ

12、PA1, A1QM 的面积2 3SA1PM, S1 S 3 5. BMN 的面积1 8S 四边形 B1C1CB, 五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V17 8V 四棱锥 A1B1C1CB,而四棱锥 A1B1C1CB 的 体积2 3V, V1 V 7 8 2 3V V 7 12. 三、解答题 13 如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面,且底面是边长为 2 的正三角形, AA13,点 D,E,F,G 分别是所在棱的中点 (1)证明:平面 BEF平面 DA1C1; (2)求三棱柱 ABCA1B1C1夹在平面 BEF 和平面 DA1C1之间部分的体积 解 (1)证明:E,F 分别是

13、 A1B1和 B1C1的中点, EFA1C1, EF平面 DA1C1,A1C1平面 DA1C1, EF平面 DA1C1, D,E 分别是 AB 和 A1B1的中点,DB 綊 A1E, 四边形 BDA1E 是平行四边形,BEA1D, BE平面 DA1C1,A1D平面 DA1C1, BE平面 DA1C1, BEEFE,平面 BEF平面 DA1C1. (2)由题图可知,三棱柱 ABCA1B1C1夹在平面 BEF 和平面 DA1C1之间的部分,可看作三 棱台 DBGA1B1C1减掉三棱锥 BB1EF 后的剩余部分, SDBGSB1EF 3 4 12 3 4 ,SA1B1C1 3 4 22 3, 三棱台

14、 DBGA1B1C1的体积为 V11 3 3 4 3 4 3 3 7 3 4 , 三棱锥 BB1EF 的体积 V21 3 3 4 3 3 4 , 三棱柱ABCA1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间部分的体积为VV1V27 3 4 3 4 3 3 2 . 14.如图,已知棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,BAD60 ,SASD 5,SB 7,点 E 是棱 AD 的中点,点 F 在棱 SC 上,且SF SC,SA平面 BEF. (1)求实数 的值; (2)求三棱锥 FEBC 的体积 解 (1)连接 AC,设 ACBEG,则平面 SAC平面 EFBFG, SA平面

15、EFB,SAFG, GEAGBC,AG GC AE BC 1 2, SF FC AG GC 1 2.SF 1 3SC, 1 3. (2)SASD 5,SEAD,SE2, 又 ABAD2,BAD60 ,BE 3, SE2BE2SB2.SEBE,SE平面 ABCD, VFEBC2 3VSEBC 1 3VSABCD 1 3 1 322sin60 2 4 3 9 . 一、选择题 1.(2020 山东临沂一模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中商功 有如下问题:“今有委粟平地,下周一十二丈,高一丈,问积及为粟几何?”意思是“有粟若 干,堆积在平地上,它底圆周长为 12 丈,高为 1 丈,问它

16、的体积和粟各为多少?”如图,主 人意欲卖掉该堆粟,已知圆周率约为 3,一斛粟的体积约为 2700 立方寸(单位换算:1 立方丈 106立方寸),一斛粟米卖 270 钱,一两银子 1000 钱,则主人卖后可得银子( ) A200 两 B240 两 C360 两 D400 两 答案 D 解析 该堆粟的底面半径为 r 12 232, 体积 V 1 332 214 立方丈4106 立方寸 40000 27 斛,故主人卖后可得银子40000 27 270 1000400 两故选 D. 2 (2020 海口市高考模拟演练)一个底面边长为 3 的正三棱锥的体积与表面积为 24 的正方 体的体积相等,则该正三

17、棱锥的高为( ) A12 3 B32 3 3 C32 3 9 D12 答案 C 解析 因为正方体的表面积为 24,所以其棱长为 2,体积为 238.设正三棱锥的高为 h, 因为正三棱锥的体积与正方体的体积相等,所以1 3 1 233 3 2 h8,解得 h32 3 9 . 3.(2020 海南中学高三摸底)已知一个凸多面体共有 9 个面,所有棱长均为 1,其平面展开 图如图所示,则该凸多面体的体积 V( ) A1 2 6 B1 C 2 6 D1 2 2 答案 A 解析 根据平面展开图,还原几何体如右图所示,故该几何体是由棱长为 1 的正方体和底 边棱长为 1 的正四棱锥组合而成则其体积 V13

18、1 311 2 2 1 2 6 .故选 A. 4(2020 海南高考调研测试)张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家,他曾经得出 圆周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱锥 ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上, AB底面BCD, BCCD, 且ABCD 3, BC2, 利用张衡的结论可得球O的表面积为( ) A30 B10 10 C33 D12 10 答案 B 解析 因为 BCCD,所以 BD 7,又 AB底面 BCD,所以球 O 的球心为侧棱 AD 的 中点,从而球 O 的直径为 10.利用张衡的结论可得 2 16 5 8,则 10,所以球 O 的表面积为 4 10 2 21010

19、10.故选 B. 5 (2020 山东青岛三模)在三棱柱 ABCA1B1C1中, ABBCAC, 侧棱 AA1底面 ABC, 若该三棱柱的所有顶点都在同一个球 O 的表面上,且球 O 的表面积的最小值为 4,则该三棱 柱的侧面积为( ) A6 3 B3 3 C3 2 D3 答案 B 解析 如图,设三棱柱上、下底面中心分别为 O1,O2,则 O1O2的中点为 O,设球 O 的半 径为 R,则 OAR,设 ABBCACa,AA1h,则 OO21 2h,O2A 2 3 3 2 AB 3 3 a,则在 RtOO2A 中, R2OA2OO22O2A21 4h 21 3a 221 2h 3 3 a 3 3

20、 ah, 当且仅当 h2 3 3 a 时, 等号成立,所以 S 球4R 24 3 3 ah,所以4 3 3 ah4,所以 ah 3,所以该三棱柱的侧 面积为 3ah3 3.故选 B. 6(2020 山东安丘模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图 1 所示,其浮雕临摹了国画、漆绘 和墓室壁画,体现了古人的智慧与工艺. 它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体 (假设内壁表面光滑, 忽略杯壁厚度), 如图 2 所示, 已知球的半径为 R, 酒杯内壁表面积为14 3 R2. 设酒杯上部分(圆柱)的体积为 V1,下部分(半球)的体积为 V2,则V1 V2( ) A2 B3 2 C1 D3 4 答案 A

21、 解析 由球的半径为 R,得半球表面积为 2R2,又酒杯内壁表面积为14 3 R2,圆柱的侧 面积为8 3R 2.设圆柱的高为 h, 则 2R h8 3R 2, 即 h4 3R.V1R 2 4 3R 4 3R 3, V22 3R 3.V1 V2 4 3R 3 2 3R 32.故选 A. 7(多选)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接 管道组成, 开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间 称为该沙漏的一个沙时 如图, 某沙漏由上、 下两个圆锥组成, 圆锥的底面直径和高均为 8 cm, 细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的2 3(细管

22、长度忽略不计)假设该沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3的沙,且细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则以下结论正 确的是(3.14)( ) A沙漏中细沙的体积为1024 81 cm3 B沙漏的体积是 128 cm3 C细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 2.4 cm D该沙漏的一个沙时大约是 1985 秒 答案 ACD 解析 对于 A,根据圆锥的截面图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半 径之比等于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径 r2 34 8 3 cm,所以沙漏中细沙 的体积 V 沙1 3r 2 2h 3 1 3 64 9 16 3 1024 8

23、1 cm3, A 正确; 对于 B, 沙漏的体积 V 漏21 3 h 2 2h21 34 28256 3 cm3,B 错误;对于 C,设细沙全部漏入下部后的高度为 h1,根 据细沙体积不变可知, 1024 81 1 3 h 2 2h1, 所以1024 81 16 3 h1, 所以 h12.4 cm, C 正确; 对于 D,因为细沙的体积为1024 81 cm3,沙漏每秒钟漏下 0.02 cm3的沙,所以一个沙时为 1024 81 0.02 10243.14 81 501985 秒,D 正确故选 ACD. 8.(多选)(2020 山东青岛一模)已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上、下底面均为

24、正方形,其 中 AB2 2,A1B1 2,AA1BB1CC12,则下述正确的是( ) A该四棱台的高为 3 BAA1CC1 C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为 16 答案 AD 解析 由题意可得该四棱台为正四棱台由棱台的性质,画出切割前的四棱锥,如图,由 AB2 2,A1B1 2可知SA1B1与SAB 的相似比为 12,所以 SA2AA14,AO2,所 以 SO2 3,所以 OO1 3,故该四棱台的高为 3,A 正确;因为 SASCAC4,所以 AA1与 CC1的夹角为 60 ,不垂直,B 错误;该四棱台的表面积为 SS 上底S下底S侧28 4 22 2 2 14 2 10

25、6 7,C 错误;易知该四棱台外接球的球心在 OO1上,在平面 B1BOO1中,由于 OO1 3,B1O11,则 OB12OB,即点 O 到点 B 与点 B1的距离相等, 则该四棱台外接球的半径 rOB2,该四棱台外接球的表面积为 16,D 正确,故选 AD. 二、填空题 9已知圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则该圆柱的侧面积等于_ 答案 4 解析 圆柱的底面半径为 r1,母线长为 l2,其侧面积为 S2rl2124. 10.(2020 江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知 螺帽的底面正六边形边长为 2 cm,高为 2 cm,内孔半径为 0.5 cm,则此六

26、角螺帽毛坯的体积 是_cm3. 答案 12 3 2 解析 正六棱柱体积为 6 3 4 22212 3 cm3, 挖去的圆柱体积为 1 2 22 2 cm 3, 故此六角螺帽毛坯的体积为 12 3 2 cm3. 11(2020 江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)设棱长为 a 的正方体的体积和表面积分别为 V1,S1,底面半径和高均为 r 的圆锥的体积和侧面积分别为 V2,S2,若V1 V2 3 ,则 S1 S2的值为_ 答案 3 2 解析 不妨设 V127,V29,故 V1a327,所以 a3,所以 S16a254.如图所示, 因为 V21 3hr 21 3r 39,

27、所以 r3,又 l 2r,所以 S21 2l2r 2r 29 2,所以S1 S2 54 9 2 3 2 . 12(2020 山东潍坊高密二模)在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,AP2,点 M 是 矩形 ABCD 内(含边界)的动点,且 AB1,AD3,直线 PM 与平面 ABCD 所成的角为 4.记点 M 的轨迹长度为 ,则 tan_;当三棱锥 PABM 的体积最小时,三棱锥 PABM 的外接球的表面积为_ 答案 3 8 解析 如图,因为 PA平面 ABCD,垂足为 A,则PMA 为直线 PM 与平面 ABCD 所成 的角,所以PMA 4.因为 AP2,所以 AM2,所以点 M 位

28、于底面矩形 ABCD 内的以点 A 为圆心,2 为半径的圆上,记点 M 的轨迹为圆弧.连接 AF,则 AF2.因为 AB1,AD3, 所以AFBFAE 6,则 的长度 62 3,所以 tan 3.当点 M 位于点 F 时,三棱 锥 PABM 的体积最小,又PAFPBF 2,所以三棱锥 PABM 的外接球的球心为 PF 的中点 因为 PF22222 2, 所以三棱锥 PABM 的外接球的表面积 S4( 2)28. 三、解答题 13如图 1,在菱形 ABCD 中,AB2,DAB60 ,M 是 AD 的中点,以 BM 为折痕, 将ABM 折起,使点 A 到达点 A1的位置,且平面 A1BM平面 BC

29、DM,如图 2. (1)求证:A1MBD; (2)若 K 为 A1C 的中点,求四面体 MA1BK 的体积 解 (1)证明:在图 1 中,连接 BD(如图 a), 四边形 ABCD 是菱形,DAB60 ,M 是 AD 的中点, ADBM,故在图 2 中,BMA1M, 平面 A1BM平面 BCDM,平面 A1BM平面 BCDMBM,A1M平面 BCDM, 又 BD平面 BCDM,A1MBD. (2)在图 1 中,四边形 ABCD 是菱形,ADBM,ADBC, BMBC,且 BM 3,在图 2 中,连接 CM(如图 b), 则 VA1BCM1 3SBCM A1M 1 3 1 22 31 3 3 , K 为 A1C 的中点,VMA1BKVKMA1B1 2VCMA1B 1 2VA1BCM 3 6 . 四面体 MA1BK 的体积为 3 6 .