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2021届广东省湛江市名校高考数学模拟试卷(含答案解析)

1、2021 年广东省湛江高考数学模拟试卷(年广东省湛江高考数学模拟试卷(3 月份)月份) 一、单选题(共一、单选题(共 8 小题)小题). 1已知集合 A0,1,2,3,Bx|2x29x+90,则 AB( ) A0,1 B1,2 C2,3 D0,1,2 2如果复数是纯虚数,那么实数 m 等于( ) A1 B0 C0 或 1 D0 或1 3如图,长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB3,BCCC12,三棱锥 BDCD1的体积为( ) A1 B2 C3 D6 4某种商品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的全部数据, 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归

2、方程为 6.5x+17.5,则表中的 m 的值为( ) x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A60 B55 C50 D45 5抛物线 C1:y28x,双曲线 C2:1(a0,b0),设 F 是 C1的焦点,点 A 是抛物线与双曲 线的一条渐近线的公共点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为( ) A B2 C D 6已知函数 f(x),如果关于 x 的方程 f(x)kx2有四个不同的实数解,则 k 的取值范围是( ) Ak1 Bk1 C0k1 D0k1 7已知直线 l 的倾斜角 满足方程2,则直线 l 的斜率为( ) A B C D 8四棱锥 ABCDE 的各顶点都在同一球面

3、上,AB底面 BCDE,底面 BCDE 为梯形,BCD60,且 ABCBBEED2,则此球的表面积等于( ) A25 B24 C20 D16 二、多选题(共二、多选题(共 4 小题)小题). 9已知 a,b,c 为直线, 为平面,则下列说法正确的是( ) Aa,b,则 ab B,则 Ca,b,则 ab D,则 10给出下列命题,其中正确命题为( ) A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子(形状为正方体,六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)各一 次,记硬币正面向上为事件 A,骰子向上的点数是 2 为事件 B,则事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 B 以模型 ycekx去拟合一组数据时, 为

4、了求出回归方程, 设 zlny, 将其变换后得到线性方程 z0.3x+4, 则 c,k 的值分别是 e4和 0.3 C随机变量 X 服从正态分布 N(1,2),P(X1.5)0.34,则 P(X0.5)0.16 D某选手射击三次,每次击中目标的概率均为,且每次射击都是相互独立的,则该选手至少击中 2 次的概率为 11将函数的图象向左平移 个单位得到 g(x)的图象,以下结论中正确的 是( ) Ag(x)最大值为 A Bg(x)有一条对称轴是 Cg(x)有一个对称中心是 Dg(x)是奇函数 12定义在(0,+)上的函数 f(x)的导函数为 f(x),且(x+1)f(x)f(x)x2+2x 对 x

5、(0, +)恒成立下列结论正确的是( ) A2f(2)3f(1)5 B若 f(1)2,x1,则 Cf(3)2f(1)7 D若 f(1)2,0 x1,则 三、单空题(共三、单空题(共 4 小题)小题). 13(x)4的展开式中常数项为 (用数字表示) 142020 年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全 国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲,乙,丙,丁 4 名医生志愿者中,随机选取 2 名 医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为 15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法,在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置,是古代 劳动人民对天文、气象进

6、行长期观察、研究的产物,凝聚了古代劳动人民的智慧古代数学著作周髀 算经中记载有这样一个问题:从夏至之日起,小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、 立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为 18 尺,立冬的日影子长为 10.8 尺,则夏至的日影子长为 尺 16已知函数 yf(x)是定义在4,4上的偶函数,且 f(x),则不等式(12x) g(log2x)0 的解集用区间表示为 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70.0 分)分) 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 ()求的值;

7、()若 B 为钝角,b10,求 a 的取值范围 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 6Sn3n+1+a(nN+) (1)求 a 的值及数列an的通项公式; (2)设 bn(1an)log3(an2an+1),求 的前 n 项和为 Tn 19在三棱柱 ABCA1B1C1中,AB2,BCBB14,且BCC160 (1)求证:平面 ABC1平面 BCC1B1; (2)设二面角 CAC1B 的大小为 ,求 sin 的值 20衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于 90 分的有参赛资格,90 分 以下(不包括 90 分)的则被淘汰若现有 500 人参加测试,学生成

8、绩的频率分布直方图如图: ()求获得参赛资格的人数; ()根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; ()若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会,累计答对 3 题或答错 3 题 即终止,答对 3 题者方可参加复赛,已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同,并且相互之间没有影 响,已知他连续两次答错的概率为,求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望 21已知椭圆 C:1(ab0),过 C 上一点的切线 l 的方程为 x+2y4 0 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设过点 M(0,1)且斜率不为 0 的直线交椭圆于 A,B 两点,试问 y 轴上是否存在点 P,使得

9、 ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在说明理由 22已知函数 f(x)mlnx+(mR) (1)当 me 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x时,恒有 f(x)0,求实数 m 的取值范围 附:1.65,ln20.69 参考答案参考答案 一、单选题(共一、单选题(共 8 小题)小题). 1已知集合 A0,1,2,3,Bx|2x29x+90,则 AB( ) A0,1 B1,2 C2,3 D0,1,2 解:; AB2,3 故选:C 2如果复数是纯虚数,那么实数 m 等于( ) A1 B0 C0 或 1 D0 或1 解:是纯虚数, ,解得 m0 或1 故选:D 3如图,长方体 ABCDA1

10、B1C1D1中,AB3,BCCC12,三棱锥 BDCD1的体积为( ) A1 B2 C3 D6 解:长方体 ABCDA1B1C1D1中,DD1平面 ABCD, 故选:B 4某种商品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据,根据表中提供的全部数据, 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.5x+17.5,则表中的 m 的值为( ) x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A60 B55 C50 D45 解:由题意, 5, 38+, y 关于 x 的线性回归方程为, 38+6.55+17.5 38+50 12, m60 故选:A 5抛物线 C1:y

11、28x,双曲线 C2:1(a0,b0),设 F 是 C1的焦点,点 A 是抛物线与双曲 线的一条渐近线的公共点,且 AFx 轴,则双曲线的离心率为( ) A B2 C D 解:由题意得 F(2,0),准线为 x2, 设双曲线的一条渐近线为 yx,则点 A(2,), 由抛物线的定义得|PF|等于点 A 到准线的距离,即 2+2, b24a2,可得 c25a2,e , 则双曲线的离心率为 故选:C 6已知函数 f(x),如果关于 x 的方程 f(x)kx2有四个不同的实数解,则 k 的取值范围是( ) Ak1 Bk1 C0k1 D0k1 解:f(x)kx2有四个不同的实数解, 显然当 x0 时,无

12、论 k 为何值,都成立, 当只需有三个不等于零的不同实数根, 方程可化|x|(x+2), 只需 y和 y|x|(x+2)有三个不等于零的交点即可,画出函数 y|x|(x+2)的图象如图: 有图象可知只需 01, k1, 故选:A 7已知直线 l 的倾斜角 满足方程2,则直线 l 的斜率为( ) A B C D 解:因为2, 所以tan2, 所以 tan,即直线 l 的斜率为 故选:A 8四棱锥 ABCDE 的各顶点都在同一球面上,AB底面 BCDE,底面 BCDE 为梯形,BCD60,且 ABCBBEED2,则此球的表面积等于( ) A25 B24 C20 D16 解:如图, 由已知可得,底面

13、四边形 BCDE 为等腰梯形, 设底面外接圆的圆心为 G,连接 BG,则 2BG, BG2,又 AB2,设四棱锥外接球的球心为 O, 则 OA,即四棱锥外接球的半径为 此球的表面积等于 故选:C 二、多选题(本大题共二、多选题(本大题共 4 小题,共小题,共 20.0 分)分) 9已知 a,b,c 为直线, 为平面,则下列说法正确的是( ) Aa,b,则 ab B,则 Ca,b,则 ab D,则 解:由 a,b,c 为直线, 为平面,知: 对于 A,a,b,由线面垂直的性质定理得 ab,故 A 正确; 对于 B,则 与 相交或平行,故 B 错误; 对于 C,a,b,则 a 与 b 相交、平行或

14、异面,故 C 错误; 对于 D,由面面平行的判定定理得 ,故 D 正确 故选:AD 10给出下列命题,其中正确命题为( ) A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子(形状为正方体,六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)各一 次,记硬币正面向上为事件 A,骰子向上的点数是 2 为事件 B,则事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 B 以模型 ycekx去拟合一组数据时, 为了求出回归方程, 设 zlny, 将其变换后得到线性方程 z0.3x+4, 则 c,k 的值分别是 e4和 0.3 C随机变量 X 服从正态分布 N(1,2),P(X1.5)0.34,则 P(X0.5)0.16 D某选手射击三次

15、,每次击中目标的概率均为,且每次射击都是相互独立的,则该选手至少击中 2 次的概率为 解:对于 A,根据乘法原理,事件所以可能数为 2612, 事件 A 和事件 B 同时发生的概率为,所以 A 对; 对于 B,ycekx,lnykx+lnc,zlny,z0.3x+4, 所以 lnc4ce4,k0.3,则 c,k 的值分别是 e4和 0.3,所以 B 对; 对于 C,XN(1,2),1, P(X0.5)P(X10.5)P(X1+0.5)P(X1.5)0.340.16,所以 C 错; 对于 D,选手射击三次,至少击中 2 次,即击中 2 次或 3 次, 其概率为,所以 D 对 故选:ABD 11将

16、函数的图象向左平移 个单位得到 g(x)的图象,以下结论中正确的 是( ) Ag(x)最大值为 A Bg(x)有一条对称轴是 Cg(x)有一个对称中心是 Dg(x)是奇函数 解:当 A0 时,g(x)最大值为A;故 A 错误, 将 函 数的 图 象 向 左 平 移个 单 位 , 得 到 函 数 ,则 g(x)是非奇非偶函数;故 D 错误, 因为,所以是 g(x)的一条对称轴;故 B 正确, 因为,所以是 g(x)的一个对称中心故 C 正确, 故选:BC 12定义在(0,+)上的函数 f(x)的导函数为 f(x),且(x+1)f(x)f(x)x2+2x 对 x(0, +)恒成立下列结论正确的是(

17、 ) A2f(2)3f(1)5 B若 f(1)2,x1,则 Cf(3)2f(1)7 D若 f(1)2,0 x1,则 解:设函数,则 因为(x+1)f(x)f(x)x2+2x,所以 g(x)0; 则 g(x)在(0,+)上单调递减,从而 g(1)g(2)g(3), 整理得:2f(2)3f(1)5,f(3)2f(1)7; 所以 A 错误,C 正确; 当 0 x1 时,若 f(1)2,因为,g(x)在(0,+)上单调递减, 所以当 0 x1 时,g(x)g(1), 即,即 f(x), 所以 D 正确,则 B 错误; 故选:CD 三、单空题(本大题共三、单空题(本大题共 4 小题,共小题,共 20.0

18、 分)分) 13(x)4的展开式中常数项为 (用数字表示) 解:设(x)4展开式的通项为 Tr+1,则 Tr+1()r x 42r, 令 42r0 得 r2 展开式中常数项为:()2 故答案为: 142020 年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全 国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲,乙,丙,丁 4 名医生志愿者中,随机选取 2 名 医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为 解:某医疗团队从甲,乙,丙,丁 4 名医生志愿者中,随机选取 2 名医生赴湖北支援, 基本事件总数 n, 甲被选中包含的基本事件有 m, 甲被选中的概率为 p 故答案为:

19、 15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法,在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置,是古代 劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物,凝聚了古代劳动人民的智慧古代数学著作周髀 算经中记载有这样一个问题:从夏至之日起,小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、 立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为 18 尺,立冬的日影子长为 10.8 尺,则夏至的日影子长为 3.6 尺 解:设夏至之日起,小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个 节气的日影子长依次成等差数列an, 则 a3+a4+a53a418,a

20、1010.8, a46,a1010.8,d 0.8,a13.6 则夏至的日影子 a13.6 故答案为:3.6 16已知函数 yf(x)是定义在4,4上的偶函数,且 f(x),则不等式(12x) g(log2x)0 的解集用区间表示为 (,) 解:函数 yf(x)是定义在4,4上的偶函数, 且 f(x),则 g(x)3 x9,故 g(x)的零点为2 由不等式(12x)g(log2x)0,可得,或 由可得,x 由可得,x, 故答案为:(,) 四、解答题(本大题共四、解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70.0 分)分) 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c已知 ()求的

21、值; ()若 B 为钝角,b10,求 a 的取值范围 【解答】(本小题满分 14 分) 解:(I)由正弦定理,设, 则, 所以 即(cosA3cosC)sinB(3sinCsinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)3sin(B+C) 又 A+B+C, 所以 sinC3sinA 因此 (II)由得 c3a 由题意, 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,且 6Sn3n+1+a(nN+) (1)求 a 的值及数列an的通项公式; (2)设 bn(1an)log3(an2an+1),求 的前 n 项和为 Tn 解:(1)等比数列an满足 6Sn3n+1+a(nN+), n1 时,6a19

22、+a; n2 时,6an6(SnSn1)3n+1+a(3n+a)23n an3n1,n1 时也成立,169+a,解得 a3 an3n1 (2)bn(1an)log3(an2an+1)(1+3n) (3n+1)(3n2), 的前 n 项和为 Tn+ 19在三棱柱 ABCA1B1C1中,AB2,BCBB14,且BCC160 (1)求证:平面 ABC1平面 BCC1B1; (2)设二面角 CAC1B 的大小为 ,求 sin 的值 解:(1)证明:在ABC 中,AB2+BC220AC2,所以ABC90,即 ABBC 因为 BCBB1,ACAB1,ABAB,所以ABCABB1 所以ABB1ABC90,即

23、 ABBB1 又 BCBB1B,所以 AB平面 BCC1B1 又 AB平面 ABC1,所以平面 ABC1平面 BCC1B1 (2)解:由题意知,四边形 BCC1B1为菱形,且BCC160, 则BCC1为正三角形,取 CC1的中点 D,连接 BD,则 BDCC1 以 B 为原点,以的方向分别为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 Bxyz, 则 B(0,0,0),B1(0,4,0),A(0,0,2), , 设平面 ACC1A1的法向量为 (x,y,z), , 由,得 取 x1,得 (1,0,) 由四边形 BCC1B1为菱形,得 BC1B1C; 又 AB平面 BCC1B1,所以 ABB1C

24、; 又 ABBC1B,所以 B1C平面 ABC1, 所以平面 ABC1的法向量为 所以 cos 设二面角 CAC1B 的大小为 , 则 sin 20衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试,且规定:成绩大于或等于 90 分的有参赛资格,90 分 以下(不包括 90 分)的则被淘汰若现有 500 人参加测试,学生成绩的频率分布直方图如图: ()求获得参赛资格的人数; ()根据频率直方图,估算这 500 名学生测试的平均成绩; ()若知识竞赛分初赛和复赛,在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会,累计答对 3 题或答错 3 题 即终止,答对 3 题者方可参加复赛,已知参赛者甲答对每一个问题的概率

25、都相同,并且相互之间没有影 响,已知他连续两次答错的概率为,求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望 解:(I)获得参赛资格的人数 m(0.005+0.0043+0.032)20500125 (II)平均成绩: (0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448)2078.48 (III)设甲答对每一道题的概率为P 则(1p)2,p, 可能取得值为 3,4,5, P(3)P3+(1P)3, P(4)+ , P(5)1, 的分布列为 3 4 5 P 21已知椭圆 C:1(ab0),过 C 上一点的切线 l 的方程为 x+2y4 0 (1)求椭圆 C 的方程 (2)设过点 M(0,1)且

26、斜率不为 0 的直线交椭圆于 A,B 两点,试问 y 轴上是否存在点 P,使得 ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在说明理由 解:(1)由,消去 x 并整理得, 椭圆 C 与直线 l 相切, , 化简得 4b2+a2320, 又点(2,)在椭圆 C 上, 1, 由得 a21,b24, 椭圆 C 的方程为 (2)y 轴上存在点 P,使得 理由如下: 设直线的方程为 ykx+1(k0), 联立消去 y 并整理得(4k2+1)x2+8kx120 (8k)2+4(4k2+1)12256k2+480 设 假设存在点 P(0,t)满足条件, 由于, PM 平分APB 由题意知直线 PA 与直线 PB 的

27、倾斜角互补, kPA+kPB0, 即(*), y1kx1+1,y2kx2+1 代入(*)并整理得 2kx1x2+(1t)(x1+x2)0, , 整理得 3k+k(1t)0,即 k(4t)0, 当 t4 时,无论 k 取何值均成立 存在点 P(0,4)使得 22已知函数 f(x)mlnx+(mR) (1)当 me 时,讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x时,恒有 f(x)0,求实数 m 的取值范围 附:1.65,ln20.69 解:(1)f(x)mlnx+(mR), (x0), 若 me,f(x)在区间(0,+)上恒成立, 函数 f(x)在区间(0,+)上单调递减; 若 me,由 f(x)

28、0,解得 0 x1 或 xlnm;由 f(x)0,解得 1xlnm 函数 f(x)在区间(0,1),(lnm,+)上单调递减;在区间(1,lnm)上单调递增 综上所述,当 me 时,函数 f(x)在区间(0,+)上单调递减; 当 me 时,函数 f(x)在区间(0,1),(lnm,+)(lnm,+)上单调递减;在区间(1,lnm) 上单调递增 (2)由(1)知, 若,则 exm0,由 f(x)0,解得;由 f(x)0,解得 x1 函数 f(x)在区间(1,+)上单调递减;在区间(,1)上单调递增 当 x1 时,f(x)取得最大值为 f(1)me0, 当时,f(x)0 恒成立 若,由 f(x)0

29、,解得 lnmx1;由 f(x)0,解得或 x1, 函数 f(x)在区间(lnm,1)上单调递增;在区间(,lnm),(1,+)上单调递减 当 xlnm 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(lnm),当 x1 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(1) me 要使当时,f(x)0,则需,解得 , 又,时,f(x)0 恒成立 若 me,由(1)知,函数 f(x)在区间(,+)上单调递减,又 f(1)0, 当x1 时,f(x)0,不满足题意 若 me,由(1)知,函数 f(x)在区间(,1),(lnm,+)上单调递减;在区间(1,lnm) 上单调递增故当 x1 时,函数 f(x)取得极小值,极小值为 f(1)me0,不满足题意 综上可知,实数 m 的取值范围为