1、2021 年广东省湛江高考数学模拟试卷（年广东省湛江高考数学模拟试卷（3 月份）月份） 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 A0，1，2，3，Bx|2x29x+90，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C2，3 D0，1，2 2如果复数是纯虚数，那么实数 m 等于（ ） A1 B0 C0 或 1 D0 或1 3如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，BCCC12，三棱锥 BDCD1的体积为（ ） A1 B2 C3 D6 4某种商品的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据， 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归
2、方程为 6.5x+17.5，则表中的 m 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A60 B55 C50 D45 5抛物线 C1：y28x，双曲线 C2：1（a0，b0），设 F 是 C1的焦点，点 A 是抛物线与双曲 线的一条渐近线的公共点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 6已知函数 f（x），如果关于 x 的方程 f（x）kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 C0k1 D0k1 7已知直线 l 的倾斜角 满足方程2，则直线 l 的斜率为（ ） A B C D 8四棱锥 ABCDE 的各顶点都在同一球面
3、上，AB底面 BCDE，底面 BCDE 为梯形，BCD60，且 ABCBBEED2，则此球的表面积等于（ ） A25 B24 C20 D16 二、多选题（共二、多选题（共 4 小题）小题）. 9已知 a，b，c 为直线， 为平面，则下列说法正确的是（ ） Aa，b，则 ab B，则 Ca，b，则 ab D，则 10给出下列命题，其中正确命题为（ ） A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6）各一 次，记硬币正面向上为事件 A，骰子向上的点数是 2 为事件 B，则事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 B 以模型 ycekx去拟合一组数据时， 为
4、了求出回归方程， 设 zlny， 将其变换后得到线性方程 z0.3x+4， 则 c，k 的值分别是 e4和 0.3 C随机变量 X 服从正态分布 N（1，2），P（X1.5）0.34，则 P（X0.5）0.16 D某选手射击三次，每次击中目标的概率均为，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中 2 次的概率为 11将函数的图象向左平移 个单位得到 g（x）的图象，以下结论中正确的 是（ ） Ag（x）最大值为 A Bg（x）有一条对称轴是 Cg（x）有一个对称中心是 Dg（x）是奇函数 12定义在（0，+）上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且（x+1）f（x）f（x）x2+2x 对 x
5、（0， +）恒成立下列结论正确的是（ ） A2f（2）3f（1）5 B若 f（1）2，x1，则 Cf（3）2f（1）7 D若 f（1）2，0 x1，则 三、单空题（共三、单空题（共 4 小题）小题）. 13（x）4的展开式中常数项为 （用数字表示） 142020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全 国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名 医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代 劳动人民对天文、气象进
6、行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧古代数学著作周髀 算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、 立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为 18 尺，立冬的日影子长为 10.8 尺，则夏至的日影子长为 尺 16已知函数 yf（x）是定义在4，4上的偶函数，且 f（x），则不等式（12x） g（log2x）0 的解集用区间表示为 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （）求的值；
7、（）若 B 为钝角，b10，求 a 的取值范围 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 6Sn3n+1+a（nN+） （1）求 a 的值及数列an的通项公式； （2）设 bn（1an）log3（an2an+1），求 的前 n 项和为 Tn 19在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，BCBB14，且BCC160 （1）求证：平面 ABC1平面 BCC1B1； （2）设二面角 CAC1B 的大小为 ，求 sin 的值 20衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的有参赛资格，90 分 以下（不包括 90 分）的则被淘汰若现有 500 人参加测试，学生成
8、绩的频率分布直方图如图： （）求获得参赛资格的人数； （）根据频率直方图，估算这 500 名学生测试的平均成绩； （）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对 3 题或答错 3 题 即终止，答对 3 题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影 响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望 21已知椭圆 C：1（ab0），过 C 上一点的切线 l 的方程为 x+2y4 0 （1）求椭圆 C 的方程 （2）设过点 M（0，1）且斜率不为 0 的直线交椭圆于 A，B 两点，试问 y 轴上是否存在点 P，使得
9、 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由 22已知函数 f（x）mlnx+（mR） （1）当 me 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 x时，恒有 f（x）0，求实数 m 的取值范围 附：1.65，ln20.69 参考答案参考答案 一、单选题（共一、单选题（共 8 小题）小题）. 1已知集合 A0，1，2，3，Bx|2x29x+90，则 AB（ ） A0，1 B1，2 C2，3 D0，1，2 解：； AB2，3 故选：C 2如果复数是纯虚数，那么实数 m 等于（ ） A1 B0 C0 或 1 D0 或1 解：是纯虚数， ，解得 m0 或1 故选：D 3如图，长方体 ABCDA1
10、B1C1D1中，AB3，BCCC12，三棱锥 BDCD1的体积为（ ） A1 B2 C3 D6 解：长方体 ABCDA1B1C1D1中，DD1平面 ABCD， 故选：B 4某种商品的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据， 用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.5x+17.5，则表中的 m 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A60 B55 C50 D45 解：由题意， 5， 38+， y 关于 x 的线性回归方程为， 38+6.55+17.5 38+50 12， m60 故选：A 5抛物线 C1：y
11、28x，双曲线 C2：1（a0，b0），设 F 是 C1的焦点，点 A 是抛物线与双曲 线的一条渐近线的公共点，且 AFx 轴，则双曲线的离心率为（ ） A B2 C D 解：由题意得 F（2，0），准线为 x2， 设双曲线的一条渐近线为 yx，则点 A（2，）， 由抛物线的定义得|PF|等于点 A 到准线的距离，即 2+2， b24a2，可得 c25a2，e ， 则双曲线的离心率为 故选：C 6已知函数 f（x），如果关于 x 的方程 f（x）kx2有四个不同的实数解，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 C0k1 D0k1 解：f（x）kx2有四个不同的实数解， 显然当 x0 时，无
12、论 k 为何值，都成立， 当只需有三个不等于零的不同实数根， 方程可化|x|（x+2）， 只需 y和 y|x|（x+2）有三个不等于零的交点即可，画出函数 y|x|（x+2）的图象如图： 有图象可知只需 01， k1， 故选：A 7已知直线 l 的倾斜角 满足方程2，则直线 l 的斜率为（ ） A B C D 解：因为2， 所以tan2， 所以 tan，即直线 l 的斜率为 故选：A 8四棱锥 ABCDE 的各顶点都在同一球面上，AB底面 BCDE，底面 BCDE 为梯形，BCD60，且 ABCBBEED2，则此球的表面积等于（ ） A25 B24 C20 D16 解：如图， 由已知可得，底面
13、四边形 BCDE 为等腰梯形， 设底面外接圆的圆心为 G，连接 BG，则 2BG， BG2，又 AB2，设四棱锥外接球的球心为 O， 则 OA，即四棱锥外接球的半径为 此球的表面积等于 故选：C 二、多选题（本大题共二、多选题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分）分） 9已知 a，b，c 为直线， 为平面，则下列说法正确的是（ ） Aa，b，则 ab B，则 Ca，b，则 ab D，则 解：由 a，b，c 为直线， 为平面，知： 对于 A，a，b，由线面垂直的性质定理得 ab，故 A 正确； 对于 B，则 与 相交或平行，故 B 错误； 对于 C，a，b，则 a 与 b 相交、平行或
14、异面，故 C 错误； 对于 D，由面面平行的判定定理得 ，故 D 正确 故选：AD 10给出下列命题，其中正确命题为（ ） A投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6）各一 次，记硬币正面向上为事件 A，骰子向上的点数是 2 为事件 B，则事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 B 以模型 ycekx去拟合一组数据时， 为了求出回归方程， 设 zlny， 将其变换后得到线性方程 z0.3x+4， 则 c，k 的值分别是 e4和 0.3 C随机变量 X 服从正态分布 N（1，2），P（X1.5）0.34，则 P（X0.5）0.16 D某选手射击三次
15、，每次击中目标的概率均为，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中 2 次的概率为 解：对于 A，根据乘法原理，事件所以可能数为 2612， 事件 A 和事件 B 同时发生的概率为，所以 A 对； 对于 B，ycekx，lnykx+lnc，zlny，z0.3x+4， 所以 lnc4ce4，k0.3，则 c，k 的值分别是 e4和 0.3，所以 B 对； 对于 C，XN（1，2），1， P（X0.5）P（X10.5）P（X1+0.5）P（X1.5）0.340.16，所以 C 错； 对于 D，选手射击三次，至少击中 2 次，即击中 2 次或 3 次， 其概率为，所以 D 对 故选：ABD 11将
16、函数的图象向左平移 个单位得到 g（x）的图象，以下结论中正确的 是（ ） Ag（x）最大值为 A Bg（x）有一条对称轴是 Cg（x）有一个对称中心是 Dg（x）是奇函数 解：当 A0 时，g（x）最大值为A；故 A 错误， 将 函 数的 图 象 向 左 平 移个 单 位 ， 得 到 函 数 ，则 g（x）是非奇非偶函数；故 D 错误， 因为，所以是 g（x）的一条对称轴；故 B 正确， 因为，所以是 g（x）的一个对称中心故 C 正确， 故选：BC 12定义在（0，+）上的函数 f（x）的导函数为 f（x），且（x+1）f（x）f（x）x2+2x 对 x（0， +）恒成立下列结论正确的是（
17、 ） A2f（2）3f（1）5 B若 f（1）2，x1，则 Cf（3）2f（1）7 D若 f（1）2，0 x1，则 解：设函数，则 因为（x+1）f（x）f（x）x2+2x，所以 g（x）0； 则 g（x）在（0，+）上单调递减，从而 g（1）g（2）g（3）， 整理得：2f（2）3f（1）5，f（3）2f（1）7； 所以 A 错误，C 正确； 当 0 x1 时，若 f（1）2，因为，g（x）在（0，+）上单调递减， 所以当 0 x1 时，g（x）g（1）， 即，即 f（x）， 所以 D 正确，则 B 错误； 故选：CD 三、单空题（本大题共三、单空题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0
18、 分）分） 13（x）4的展开式中常数项为 （用数字表示） 解：设（x）4展开式的通项为 Tr+1，则 Tr+1（）r x 42r， 令 42r0 得 r2 展开式中常数项为：（）2 故答案为： 142020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全 国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名 医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名医生赴湖北支援， 基本事件总数 n， 甲被选中包含的基本事件有 m， 甲被选中的概率为 p 故答案为：
19、 15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代 劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧古代数学著作周髀 算经中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、 立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长的和为 18 尺，立冬的日影子长为 10.8 尺，则夏至的日影子长为 3.6 尺 解：设夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个 节气的日影子长依次成等差数列an， 则 a3+a4+a53a418，a
20、1010.8， a46，a1010.8，d 0.8，a13.6 则夏至的日影子 a13.6 故答案为：3.6 16已知函数 yf（x）是定义在4，4上的偶函数，且 f（x），则不等式（12x） g（log2x）0 的解集用区间表示为 （，） 解：函数 yf（x）是定义在4，4上的偶函数， 且 f（x），则 g（x）3 x9，故 g（x）的零点为2 由不等式（12x）g（log2x）0，可得，或 由可得，x 由可得，x， 故答案为：（，） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 （）求的
21、值； （）若 B 为钝角，b10，求 a 的取值范围 【解答】（本小题满分 14 分） 解：（I）由正弦定理，设， 则， 所以 即（cosA3cosC）sinB（3sinCsinA）cosB， 化简可得 sin（A+B）3sin（B+C） 又 A+B+C， 所以 sinC3sinA 因此 （II）由得 c3a 由题意， 18已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 6Sn3n+1+a（nN+） （1）求 a 的值及数列an的通项公式； （2）设 bn（1an）log3（an2an+1），求 的前 n 项和为 Tn 解：（1）等比数列an满足 6Sn3n+1+a（nN+）， n1 时，6a19
22、+a； n2 时，6an6（SnSn1）3n+1+a（3n+a）23n an3n1，n1 时也成立，169+a，解得 a3 an3n1 （2）bn（1an）log3（an2an+1）（1+3n） （3n+1）（3n2）， 的前 n 项和为 Tn+ 19在三棱柱 ABCA1B1C1中，AB2，BCBB14，且BCC160 （1）求证：平面 ABC1平面 BCC1B1； （2）设二面角 CAC1B 的大小为 ，求 sin 的值 解：（1）证明：在ABC 中，AB2+BC220AC2，所以ABC90，即 ABBC 因为 BCBB1，ACAB1，ABAB，所以ABCABB1 所以ABB1ABC90，即
23、 ABBB1 又 BCBB1B，所以 AB平面 BCC1B1 又 AB平面 ABC1，所以平面 ABC1平面 BCC1B1 （2）解：由题意知，四边形 BCC1B1为菱形，且BCC160， 则BCC1为正三角形，取 CC1的中点 D，连接 BD，则 BDCC1 以 B 为原点，以的方向分别为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Bxyz， 则 B（0，0，0），B1（0，4，0），A（0，0，2）， ， 设平面 ACC1A1的法向量为 （x，y，z）， ， 由，得 取 x1，得 （1，0，） 由四边形 BCC1B1为菱形，得 BC1B1C； 又 AB平面 BCC1B1，所以 ABB1C
24、； 又 ABBC1B，所以 B1C平面 ABC1， 所以平面 ABC1的法向量为 所以 cos 设二面角 CAC1B 的大小为 ， 则 sin 20衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的有参赛资格，90 分 以下（不包括 90 分）的则被淘汰若现有 500 人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图： （）求获得参赛资格的人数； （）根据频率直方图，估算这 500 名学生测试的平均成绩； （）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对 3 题或答错 3 题 即终止，答对 3 题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率
25、都相同，并且相互之间没有影 响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望 解：（I）获得参赛资格的人数 m（0.005+0.0043+0.032）20500125 （II）平均成绩： （0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）2078.48 （III）设甲答对每一道题的概率为P 则（1p）2，p， 可能取得值为 3，4，5， P（3）P3+（1P）3， P（4）+ ， P（5）1， 的分布列为 3 4 5 P 21已知椭圆 C：1（ab0），过 C 上一点的切线 l 的方程为 x+2y4 0 （1）求椭圆 C 的方程 （2）设过点 M（0，1）且
26、斜率不为 0 的直线交椭圆于 A，B 两点，试问 y 轴上是否存在点 P，使得 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由 解：（1）由，消去 x 并整理得， 椭圆 C 与直线 l 相切， ， 化简得 4b2+a2320， 又点（2，）在椭圆 C 上， 1， 由得 a21，b24， 椭圆 C 的方程为 （2）y 轴上存在点 P，使得 理由如下： 设直线的方程为 ykx+1（k0）， 联立消去 y 并整理得（4k2+1）x2+8kx120 （8k）2+4（4k2+1）12256k2+480 设 假设存在点 P（0，t）满足条件， 由于， PM 平分APB 由题意知直线 PA 与直线 PB 的
27、倾斜角互补， kPA+kPB0， 即（*）， y1kx1+1，y2kx2+1 代入（*）并整理得 2kx1x2+（1t）（x1+x2）0， ， 整理得 3k+k（1t）0，即 k（4t）0， 当 t4 时，无论 k 取何值均成立 存在点 P（0，4）使得 22已知函数 f（x）mlnx+（mR） （1）当 me 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 x时，恒有 f（x）0，求实数 m 的取值范围 附：1.65，ln20.69 解：（1）f（x）mlnx+（mR）， （x0）， 若 me，f（x）在区间（0，+）上恒成立， 函数 f（x）在区间（0，+）上单调递减； 若 me，由 f（x）
28、0，解得 0 x1 或 xlnm；由 f（x）0，解得 1xlnm 函数 f（x）在区间（0，1），（lnm，+）上单调递减；在区间（1，lnm）上单调递增 综上所述，当 me 时，函数 f（x）在区间（0，+）上单调递减； 当 me 时，函数 f（x）在区间（0，1），（lnm，+）（lnm，+）上单调递减；在区间（1，lnm） 上单调递增 （2）由（1）知， 若，则 exm0，由 f（x）0，解得；由 f（x）0，解得 x1 函数 f（x）在区间（1，+）上单调递减；在区间（，1）上单调递增 当 x1 时，f（x）取得最大值为 f（1）me0， 当时，f（x）0 恒成立 若，由 f（x）0
29、，解得 lnmx1；由 f（x）0，解得或 x1， 函数 f（x）在区间（lnm，1）上单调递增；在区间（，lnm），（1，+）上单调递减 当 xlnm 时，f（x）取得极小值，极小值为 f（lnm），当 x1 时，f（x）取得极大值，极大值为 f（1） me 要使当时，f（x）0，则需，解得 ， 又，时，f（x）0 恒成立 若 me，由（1）知，函数 f（x）在区间（，+）上单调递减，又 f（1）0， 当x1 时，f（x）0，不满足题意 若 me，由（1）知，函数 f（x）在区间（，1），（lnm，+）上单调递减；在区间（1，lnm） 上单调递增故当 x1 时，函数 f（x）取得极小值，极小值为 f（1）me0，不满足题意 综上可知，实数 m 的取值范围为