1、2021 年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（理科）年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1设集合 Ax|1x3，Bx|y2x（0，4，则 AB（ ） A1，3 B1，2 C（0，2 D2，3 2（1+2x）6的二项展开式中第三项是（ ） A240 x4 B160 C160 x3 D60 x2 3复数 z 的共轭复数为 ，是 z 为纯虚数的（ ）条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 4过双曲线的右焦点 F 作它的渐近线 l 的垂线，垂足为 P，若 （O 是坐标原点），则（ ） A B2 C5 D
2、5直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ） A2 B C4 D 6若函数 f（x）x3+ax2+bx+1 在 x1 处取极值 0，则 ab（ ） A0 B2 C2 D1 7已知直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切，则 ab 的最大值是（ ） A B C D1 8设二元一次不等式组，所表示的平面区域为 D，使函数 ylogax（a0 且 a1）的图像 过区域 D 的 a 的取值范围是（ ） A B C D 9f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图像如图所示，下列有关它的描述正确的是（ ） A B把 f（x）图像向左平移单位长度，可得 y
3、2cos2x C把 f（x）图像向右平移单位长度，可得 y2cos2x D为得到它的图像可将 y2sinx 的图像向右平移单位长度，再把所得图像上点的横坐标变为原来 的 10碳14 年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得利比（WillardFrankLibby）发明，威拉得利比 因此获得诺贝尔化学奖碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14 含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳14 开始减少，人们可通过检测一件古物的碳 14 含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法 设 Nf是生物样品中的碳14 的含量，N0是活体组织中碳14 的含量，t 为生物
4、死亡的时间（单位年）， 已知（其中 T 为碳14 半衰期， 且 T5730） ， 若 2021 年测定某生物样本中 Nf， 则此生物大概生活在哪个朝代（ ） 参考资料：log231.585 西周：公元前 1046 年前 771 年；晋代：公元 265公元 420；宋代：公元 907公元 1279；明代：公 元 1368公元 1644 A西周 B晋代 C宋代 D明代 11已知圆 O：x2+y24 与抛物线 y22px 交于 A，B 两点，且，则如图所示阴影部分绕 x 轴旋 转形成的旋转体的体积是（ ） A B C D 12数列an中 an表示与最接近的整数，则（ ） A B C D 二、填空题（
5、共二、填空题（共 4 小题）小题）. 13已知向量 （1，2）， （1，），若 ，则 14数列an前 n 项和为 Sn，且满足 Snan+1（nN+），a11，则 an 15已知某农场某植物高度 N（，0.04），且 P（6）P（6），如果这个农场有这种植物 10000 棵，试估计该农场这种植物高度在区间（6.2，6.4上的棵数为 参考数据：若 N（，2），则 P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P （3+3）0.9974 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b3，tanC2tanA，则 cosB 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，
6、共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤分，解答应写出文字说明或演算步骤.）（一）必考题：共）（一）必考题：共 60 分分 17首项为 2 的等差数列an，满足 a1，a2，a4成等比数列，且 a1a2021 （1）求an的通项公式； （2）记数列的前 n 项和为 Tn，若，求 n 的值 18如图已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上底面和下底面都是正方形，且 ABAA11，A1B12，AA1平 面 A1B1C1D1 （1）证明：A1D平面 DDC1C； （2）求二面角 DCD1B1的平面角的大小 19“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发
7、 达国家被广大民众接受并执行，S 市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥 堵，现先对 100 人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如表 （1）如果把 45 周岁以下人群定义为“青年”，完成下列 22 列联表，并问你有多少把握认为该地区市 民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关？ 年龄 考虑骑车 不考虑骑车 15 以下 6 3 15，30） 16 6 30，45） 13 6 45，60） 14 16 60，75） 5 9 75 以上 1 5 合计 55 45 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 45 岁以上 合计 100 p（K2k） 0.15 0.10 0.05
8、 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82 参考：，na+b+c+d （2） S 市为了鼓励大家骑自行车上班， 为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道， 该市市民小明家离上班地点 10km，现有两种上班方案给他选择； 方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 方案二：开车以 30km/h 的速度上班，但要经过 A、B、C 三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是， ， ， 且是相互独立的， 并且每次堵车的时间都是 10 分钟 （假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶）
9、 若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由 20已知抛物线 M：y22px（p0）与椭圆 N：1（ab0）在第一象限交于 E 点，且它们有 公共的焦点 F，O 是椭圆的中心 （1）若 EFx 轴，求椭圆的离心率； （2）若 EF 不与 x 轴垂直，椭圆的另一个焦点为 F，已知|OF|1，且EFF的周长为 6，过 F 的直线 l 与两曲线从上至下依次交于 A，B，C，D 四点（其中 A，CM，B，DN），若 3|AB|4|BC|+7|CD|，求 l 的方程 21已知 f（x）ex1ax+1（xR） （1）若 f（x）存在最小值，求此时 a 的取值范围，并求出 f（x）的最小值； （
10、2）当 x1 时，f（x）+lnx0 恒成立，求 a 的取值范围 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考试在第请考试在第 22 题和题和 23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数，0），曲线 C 的参数方程 为（ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设 C 与 l 交于 A，B 两点（异于原点），求|OA|+|OB|的最大值 选修选
11、修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23（1）证明不等式，并指出等号成立的条件； （2）求的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1设集合 Ax|1x3，Bx|y2x（0，4，则 AB（ ） A1，3 B1，2 C（0，2 D2，3 解：Ax|1x3，Bx|y2x（0，4x|x2, AB1,2 故选：B 2（1+2x）6的二项展开式中第三项是（ ） A240 x4 B160 C160 x3 D60 x2 解：（1+2x）6的二项展开式中第三项为 (2x)260 x2， 故选：D 3复数 z 的共轭复数为 ，是 z 为纯虚数的（ ）条件 A充要 B充分不必
12、要 C必要不充分 D既不充分也不必要 解：若 z 为纯虚数，设 zbi,则 bi，则 z+ bibi0， 当 z 是实数 0 时，即 z0,则 0，则 z+ 0+00，但此时 z 不是纯虚数， 即是 z 为纯虚数的必要不充分条件， 故选：C 4过双曲线的右焦点 F 作它的渐近线 l 的垂线，垂足为 P，若 （O 是坐标原点），则（ ） A B2 C5 D 解：设 F(c,0),渐近线 l 的方程为 bxay0, 则|PF|b, |OP| a, 则 SPFOabb2 , 即 a2b,cb, 则, 故选：A 5直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2，主视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ） A
13、2 B C4 D 解：结合正视图，俯视图，得到左视图是矩形，长为 2，宽为， 如图， 故其面积为：2， 故选：D 6若函数 f（x）x3+ax2+bx+1 在 x1 处取极值 0，则 ab（ ） A0 B2 C2 D1 解：f(x）x3+ax2+bx+1, 则 f(x)3x2+2ax+b, 若 f(x)在 x1 处取极值 0， 则,解得：, 故 ab0, 故选：A 7已知直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切，则 ab 的最大值是（ ） A B C D1 解：根据题意，圆 x2+y21 的圆心为（0，0），半径 r1， 若直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切，则有1，变形可得
14、 a2+4b21， 又由 1a2+4b24ab，变形可得 ab ，当且仅当 a2b 时等号成立， 故 ab 的最大值是， 故选：A 8设二元一次不等式组，所表示的平面区域为 D，使函数 ylogax（a0 且 a1）的图像 过区域 D 的 a 的取值范围是（ ） A B C D 解：由约束条件作出可行域 D 如图， 联立，解得 A（3，1）， 联立，解得 B（4，2）， 由图可知，当 0a1 时，由1loga3，解得 a； 当 a1 时，由 2loga4，解得 a2 使函数 ylogax（a0 且 a1）的图像过区域 D 的 a 的取值范围是 故选：B 9f（x）Asin（x+）（A0，0，|
15、）的图像如图所示，下列有关它的描述正确的是（ ） A B把 f（x）图像向左平移单位长度，可得 y2cos2x C把 f（x）图像向右平移单位长度，可得 y2cos2x D为得到它的图像可将 y2sinx 的图像向右平移单位长度，再把所得图像上点的横坐标变为原来 的 解：根据 f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图像， 可得 A2，+，2 再根据五点法作图，2+0， f（x）2sin（2x） 故 A 错误； 把 f（x）图像向左平移单位长度，可得 y2sin（2x+） 2cos2x 的图象，故 B 正确； 把 f（x）图像向右平移单位长度， 可得 y2sin（2x）2sin（2x+）2c
16、os（2x+）的图象， 故 C 错误； 将 y2sinx 的图像向右平移单位长度，可得 y2sin（x）的图象， 再把所得图像上点的横坐标变为原来的倍，可得 y2sin（2x）的图象， 故 D 错误， 故选：B 10碳14 年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得利比（WillardFrankLibby）发明，威拉得利比 因此获得诺贝尔化学奖碳是有机物的元素之一，生物在生存的时候，由于需要呼吸，其体内的碳14 含量大致不变，生物死去后会停止呼吸，此时体内的碳14 开始减少，人们可通过检测一件古物的碳 14 含量，来估计它的大概年龄，这种方法称之为碳定年法 设 Nf是生物样品中的碳14 的含量，
17、N0是活体组织中碳14 的含量，t 为生物死亡的时间（单位年）， 已知（其中 T 为碳14 半衰期， 且 T5730） ， 若 2021 年测定某生物样本中 Nf， 则此生物大概生活在哪个朝代（ ） 参考资料：log231.585 西周：公元前 1046 年前 771 年；晋代：公元 265公元 420；宋代：公元 907公元 1279；明代：公 元 1368公元 1644 A西周 B晋代 C宋代 D明代 解：2021 年测定某生物样本中 Nf，已知， ，得， 则(32log23)(321.585)0.17， T5730，t0.175730974.1 故此生物大概生活在宋代 故选：C 11已知
18、圆 O：x2+y24 与抛物线 y22px 交于 A，B 两点，且，则如图所示阴影部分绕 x 轴旋 转形成的旋转体的体积是（ ） A B C D 解：线段 AB 是圆 O：x2+y24 的一条弦长， 则点 O 到线段 AB 的距离为， 所以点， 又点 A，B 在抛物线 y22px 上， 所以有 2p3，则抛物线的方程为 y23x， 设阴影部分绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积为 V， 则 故选：C 12数列an中 an表示与最接近的整数，则（ ） A B C D 解：an是与（nN*）最接近的正整数， n1，2 时，an1； n3，4，5，6 时，an2； n7，8，12 时，an3； n13，
19、14，20 时，an4； n21，14，30 时，an5； n31，32，40，41，42 时，an6； n43，44，56 时，an7； n57，59，72 时，an8； n73，74，90 时，an9； 故使得 anm 的正整数有 2m 个，且最小的是 m2m+1，最大的是 m2+m， 442+442021452+45，且 442+441980， 2+4+6+8+88+4188 故选：D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分共分，满分共 20 分）分） 13已知向量 （1，2）， （1，），若 ，则 2 解：向量 （1，2）， （1，）， ， ，
20、 解得 2 故答案为：2 14数列an前 n 项和为 Sn，且满足 Snan+1（nN+），a11，则 an 解：Snan+1（nN+），a11， 当 n1 时，a2S1a11， 当 n2 时，Sn1an， 则 anSnSn1an+1an， 即 an+12an（n2）， 而 a2a11，不满足上式， 所以数列an是从第二项开始为等比数列， 当 n2 时，ana22n22n2， 所以 an 故答案为： 15已知某农场某植物高度 N（，0.04），且 P（6）P（6），如果这个农场有这种植物 10000 棵，试估计该农场这种植物高度在区间（6.2，6.4上的棵数为 1359 参考数据：若 N（，2
21、），则 P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P （3+3）0.9974 解：由 P（6）P（6），得 6， 又 N（，0.04），0.2， 则 P（6.26.4）P（+2）P（2+2）P（+） （0.95440.6826）0.1359， 估计该农场这种植物高度在区间（6.2，6.4上的棵数为 100000.13591359 故答案为：1359 16在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b3，tanC2tanA，则 cosB 解：ABC 中，由于 b3， 整理得， 利用正弦定理：， 整理得：， 所以 3a， 由于 tanC2tanA， 所以， 整理得， 故， 将 b
22、3，代入上式得到， 整理得， 解得 c3（3 舍去） 故 a， 所以 故答案为： 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤分，解答应写出文字说明或演算步骤.）（一）必考题：共）（一）必考题：共 60 分分 17首项为 2 的等差数列an，满足 a1，a2，a4成等比数列，且 a1a2021 （1）求an的通项公式； （2）记数列的前 n 项和为 Tn，若，求 n 的值 解：（1）设数列an的公差为 d， 由题设可得：a22a1a4， 又 a12， (2+d)22(2+3d)，解得：d2 或 0， a1a2021， d2，an2n；
23、（2）由（1）可得：()， Tn (1+ +)(1)， 又， ，解得：n2020 18如图已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上底面和下底面都是正方形，且 ABAA11，A1B12，AA1平 面 A1B1C1D1 （1）证明：A1D平面 DDC1C； （2）求二面角 DCD1B1的平面角的大小 【解答】（1）证明：因为四边形 A1B1C1D1是正方形，且 AA1平面 A1B1C1D1， 故以 A1为坐标原点，A1B1,A1D1,A1A 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 则 A1(0,0,0),D(0,1,1),D1(0,2,0),C1(2,2,0),C(1,1,1)
24、， 所以, 设平面 DD1C1C 的法向量为 ，则，即， 令 y1，则 z1，故， 因为， 所以 A1D平面 DD1C1C； （2）解：设平面 CD1B1的法向量为， 因为， 则有，即， 令 a1，则 b1，所以， 所以， 因为 DCD1B1为钝角， 所以二面角 DCD1B1的平面角的大小为 120 19“低碳出行”，一种降低“碳”的出行，以低能耗、低污染为基础，是环保的深层次体现，在众多发 达国家被广大民众接受并执行，S 市即将投放一批公共自行车以方便市民出行，减少污染，缓解交通拥 堵，现先对 100 人做了是否会考虑选择自行车出行的调查，结果如表 （1）如果把 45 周岁以下人群定义为“青
25、年”，完成下列 22 列联表，并问你有多少把握认为该地区市 民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关？ 年龄 考虑骑车 不考虑骑车 15 以下 6 3 15，30） 16 6 30，45） 13 6 45，60） 14 16 60，75） 5 9 75 以上 1 5 合计 55 45 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 45 岁以上 合计 100 p（K2k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82 参考：，na+b+c+d （2） S 市为了鼓励大家骑自行车上班， 为此还专门在
26、几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道， 该市市民小明家离上班地点 10km，现有两种上班方案给他选择； 方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 方案二：开车以 30km/h 的速度上班，但要经过 A、B、C 三个易堵路段，三个路段堵车的概率分别是， ， ， 且是相互独立的， 并且每次堵车的时间都是 10 分钟 （假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶） 若仅从时间的角度考虑，请你给小明作一个选择，并说明理由 解：（1）根据题目所给的数据填写 22 列联表如下： 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁以上 20 30 50 合计 55
27、 45 100 9.097.87 故有 99.5%把握认为该地区市民是否考虑单车与他（她）是不是“青年人”有关； （2）方案一：选择自行车，走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 则所需时间为：t1h， 方案二： 开车以 30km/h 的速度上班， 但要经过 A、 B、 C 三个易堵路段， 分别令三个路段堵车的事件为 A、 B、C， 因为三个路段堵车的概率分别是，且是相互独立的，并且每次堵车的时间都是 10 分钟（假设 除了堵车时间其他时间都是匀速行驶） 则在路上遇上堵车的概率为：P1P（ ）1P（ ）（ ）（）11P（A）1 P（B）1P（C）1， 故选择方案二上班所需时间为
28、t2+h， 因为 t1t2； 若仅从时间的角度考虑，应选方案二省时间 20已知抛物线 M：y22px（p0）与椭圆 N：1（ab0）在第一象限交于 E 点，且它们有 公共的焦点 F，O 是椭圆的中心 （1）若 EFx 轴，求椭圆的离心率； （2）若 EF 不与 x 轴垂直，椭圆的另一个焦点为 F，已知|OF|1，且EFF的周长为 6，过 F 的直线 l 与两曲线从上至下依次交于 A，B，C，D 四点（其中 A，CM，B，DN），若 3|AB|4|BC|+7|CD|，求 l 的方程 解：（1）由条件 E2c， e2+2e10e1 （2）|OF|1c,62a+2c，a2,c1,p2， 抛物线 M
29、方程 y24x； 椭圆 N 方程 1， 依题意可令 l 方程 xmy+1 且 m0， 设 A(x1,y1),C(x2,y2)B(x3,y3),D(x4,y4)， 结合图形，由 3|AB|4|BC|+7|CD|得 3(y1y3)4(y3y2)+7(y2y4)， 3(y1y2)7(y3y4)（ 注意 y1y3y2y4）， 3 （*）， ，4， ， 代入方程（*）得 m1, 所以直线 l 方程为 yx1 21已知 f（x）ex1ax+1（xR） （1）若 f（x）存在最小值，求此时 a 的取值范围，并求出 f（x）的最小值； （2）当 x1 时，f（x）+lnx0 恒成立，求 a 的取值范围 解：（
30、1）f（x）ex1ax+1（xR），则 f(x)ex1a， 当 a0 时，f(x)0 恒成立，所以 f（x）在 R 上单调递增，故不存在最小值，不符合题意 当 a0 时，令 f(x)0，解得 x1+lna， 当 x1+lna 时，f(x)0，故 f（x）单调递减，当 x1+lna 时，f(x)0，故 f（x）单调递增， 所以当 x1+lna 时，f（x）取得最小值为 f（1+lna）1alna 综上所述，a 的取值范围为 a0，f（x）的最小值为 1alna； （2）当 x1 时，f（x）+lnx0 恒成立，即 ex1ax+1+lnx0 对 x1 恒成立， 等价于对 x1 恒成立, 令 g(x
31、),则， 令 h(x)(x1)ex1lnx，则 ，则对 x1 恒成立， 所以 h(x)在1,+)上单调递增，所以 h(x)h(1)0， 则 h（x）在1,+)上单调递增，所以 h（x）h（1）0， 故 g（x）在1,+)上单调递增，所以 g（x）g（1）1，即 g（x）的最小值为 2， 所以 a2 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考试在第请考试在第 22 题和题和 23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t
32、 为参数，0），曲线 C 的参数方程 为（ 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设 C 与 l 交于 A，B 两点（异于原点），求|OA|+|OB|的最大值 解：（1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数），转换为直角坐标方程为 x2+（y1）21， 整理得 x2+y22y0，根据 转换为极坐标方程为 22sin，整理得 2sin （2）直线 l 经过圆心， 设 C 与 l 交于 A，B 两点（异于原点），所以, 设 A（1，）B（）， 所以|OA|+|OB|1+2 当，|OA|+|OB|的最大值为 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23（1）证明不等式，并指出等号成立的条件； （2）求的最小值 【解答】（1）证明：记 g（x）1， 则 g（x）在0，+）上单调递增， 因为|a+b|a|+|b|，当 ab0 时取等号， 所以 g（|a+b|）g（|a|+|b|）， 即，ab0 时等号成立 （2）解：因为|x+1|+|x1|x+1x+1|2，当且仅当（x+1）（1x）0，即1x1 时等号成立， 由 g（x）在0，+）上单调递增， 所以 g（|x+1|+|x1|）g（2）， 即， 所以 f（x）的最小值为