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江西省重点中学盟校2021届高三下学期第一次联考数学试卷(理科)(解析版)

1、2021 年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷(理科)年江西省重点中学盟校高考数学第一次联考试卷(理科) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1设集合 Ax|1x3,Bx|y2x(0,4,则 AB( ) A1,3 B1,2 C(0,2 D2,3 2(1+2x)6的二项展开式中第三项是( ) A240 x4 B160 C160 x3 D60 x2 3复数 z 的共轭复数为 ,是 z 为纯虚数的( )条件 A充要 B充分不必要 C必要不充分 D既不充分也不必要 4过双曲线的右焦点 F 作它的渐近线 l 的垂线,垂足为 P,若 (O 是坐标原点),则( ) A B2 C5 D

2、5直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,主视图和俯视图如图所示,则其左视图的面积为( ) A2 B C4 D 6若函数 f(x)x3+ax2+bx+1 在 x1 处取极值 0,则 ab( ) A0 B2 C2 D1 7已知直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切,则 ab 的最大值是( ) A B C D1 8设二元一次不等式组,所表示的平面区域为 D,使函数 ylogax(a0 且 a1)的图像 过区域 D 的 a 的取值范围是( ) A B C D 9f(x)Asin(x+)(A0,0,|)的图像如图所示,下列有关它的描述正确的是( ) A B把 f(x)图像向左平移单位长度,可得 y

3、2cos2x C把 f(x)图像向右平移单位长度,可得 y2cos2x D为得到它的图像可将 y2sinx 的图像向右平移单位长度,再把所得图像上点的横坐标变为原来 的 10碳14 年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得利比(WillardFrankLibby)发明,威拉得利比 因此获得诺贝尔化学奖碳是有机物的元素之一,生物在生存的时候,由于需要呼吸,其体内的碳14 含量大致不变,生物死去后会停止呼吸,此时体内的碳14 开始减少,人们可通过检测一件古物的碳 14 含量,来估计它的大概年龄,这种方法称之为碳定年法 设 Nf是生物样品中的碳14 的含量,N0是活体组织中碳14 的含量,t 为生物

4、死亡的时间(单位年), 已知(其中 T 为碳14 半衰期, 且 T5730) , 若 2021 年测定某生物样本中 Nf, 则此生物大概生活在哪个朝代( ) 参考资料:log231.585 西周:公元前 1046 年前 771 年;晋代:公元 265公元 420;宋代:公元 907公元 1279;明代:公 元 1368公元 1644 A西周 B晋代 C宋代 D明代 11已知圆 O:x2+y24 与抛物线 y22px 交于 A,B 两点,且,则如图所示阴影部分绕 x 轴旋 转形成的旋转体的体积是( ) A B C D 12数列an中 an表示与最接近的整数,则( ) A B C D 二、填空题(

5、共二、填空题(共 4 小题)小题). 13已知向量 (1,2), (1,),若 ,则 14数列an前 n 项和为 Sn,且满足 Snan+1(nN+),a11,则 an 15已知某农场某植物高度 N(,0.04),且 P(6)P(6),如果这个农场有这种植物 10000 棵,试估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4上的棵数为 参考数据:若 N(,2),则 P(+)0.6826,P(2+2)0.9544,P (3+3)0.9974 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b3,tanC2tanA,则 cosB 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,

6、共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤分,解答应写出文字说明或演算步骤.)(一)必考题:共)(一)必考题:共 60 分分 17首项为 2 的等差数列an,满足 a1,a2,a4成等比数列,且 a1a2021 (1)求an的通项公式; (2)记数列的前 n 项和为 Tn,若,求 n 的值 18如图已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上底面和下底面都是正方形,且 ABAA11,A1B12,AA1平 面 A1B1C1D1 (1)证明:A1D平面 DDC1C; (2)求二面角 DCD1B1的平面角的大小 19“低碳出行”,一种降低“碳”的出行,以低能耗、低污染为基础,是环保的深层次体现,在众多发

7、 达国家被广大民众接受并执行,S 市即将投放一批公共自行车以方便市民出行,减少污染,缓解交通拥 堵,现先对 100 人做了是否会考虑选择自行车出行的调查,结果如表 (1)如果把 45 周岁以下人群定义为“青年”,完成下列 22 列联表,并问你有多少把握认为该地区市 民是否考虑单车与他(她)是不是“青年人”有关? 年龄 考虑骑车 不考虑骑车 15 以下 6 3 15,30) 16 6 30,45) 13 6 45,60) 14 16 60,75) 5 9 75 以上 1 5 合计 55 45 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 45 岁以上 合计 100 p(K2k) 0.15 0.10 0.05

8、 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82 参考:,na+b+c+d (2) S 市为了鼓励大家骑自行车上班, 为此还专门在几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道, 该市市民小明家离上班地点 10km,现有两种上班方案给他选择; 方案一:选择自行车,走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 方案二:开车以 30km/h 的速度上班,但要经过 A、B、C 三个易堵路段,三个路段堵车的概率分别是, , , 且是相互独立的, 并且每次堵车的时间都是 10 分钟 (假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶)

9、 若仅从时间的角度考虑,请你给小明作一个选择,并说明理由 20已知抛物线 M:y22px(p0)与椭圆 N:1(ab0)在第一象限交于 E 点,且它们有 公共的焦点 F,O 是椭圆的中心 (1)若 EFx 轴,求椭圆的离心率; (2)若 EF 不与 x 轴垂直,椭圆的另一个焦点为 F,已知|OF|1,且EFF的周长为 6,过 F 的直线 l 与两曲线从上至下依次交于 A,B,C,D 四点(其中 A,CM,B,DN),若 3|AB|4|BC|+7|CD|,求 l 的方程 21已知 f(x)ex1ax+1(xR) (1)若 f(x)存在最小值,求此时 a 的取值范围,并求出 f(x)的最小值; (

10、2)当 x1 时,f(x)+lnx0 恒成立,求 a 的取值范围 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考试在第请考试在第 22 题和题和 23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t 为参数,0),曲线 C 的参数方程 为( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)设 C 与 l 交于 A,B 两点(异于原点),求|OA|+|OB|的最大值 选修选

11、修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23(1)证明不等式,并指出等号成立的条件; (2)求的最小值 参考答案参考答案 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题)小题). 1设集合 Ax|1x3,Bx|y2x(0,4,则 AB( ) A1,3 B1,2 C(0,2 D2,3 解:Ax|1x3,Bx|y2x(0,4x|x2, AB1,2 故选:B 2(1+2x)6的二项展开式中第三项是( ) A240 x4 B160 C160 x3 D60 x2 解:(1+2x)6的二项展开式中第三项为 (2x)260 x2, 故选:D 3复数 z 的共轭复数为 ,是 z 为纯虚数的( )条件 A充要 B充分不必

12、要 C必要不充分 D既不充分也不必要 解:若 z 为纯虚数,设 zbi,则 bi,则 z+ bibi0, 当 z 是实数 0 时,即 z0,则 0,则 z+ 0+00,但此时 z 不是纯虚数, 即是 z 为纯虚数的必要不充分条件, 故选:C 4过双曲线的右焦点 F 作它的渐近线 l 的垂线,垂足为 P,若 (O 是坐标原点),则( ) A B2 C5 D 解:设 F(c,0),渐近线 l 的方程为 bxay0, 则|PF|b, |OP| a, 则 SPFOabb2 , 即 a2b,cb, 则, 故选:A 5直三棱柱的侧棱长和底面边长均为 2,主视图和俯视图如图所示,则其左视图的面积为( ) A

13、2 B C4 D 解:结合正视图,俯视图,得到左视图是矩形,长为 2,宽为, 如图, 故其面积为:2, 故选:D 6若函数 f(x)x3+ax2+bx+1 在 x1 处取极值 0,则 ab( ) A0 B2 C2 D1 解:f(x)x3+ax2+bx+1, 则 f(x)3x2+2ax+b, 若 f(x)在 x1 处取极值 0, 则,解得:, 故 ab0, 故选:A 7已知直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切,则 ab 的最大值是( ) A B C D1 解:根据题意,圆 x2+y21 的圆心为(0,0),半径 r1, 若直线 ax+2by10 和 x2+y21 相切,则有1,变形可得

14、 a2+4b21, 又由 1a2+4b24ab,变形可得 ab ,当且仅当 a2b 时等号成立, 故 ab 的最大值是, 故选:A 8设二元一次不等式组,所表示的平面区域为 D,使函数 ylogax(a0 且 a1)的图像 过区域 D 的 a 的取值范围是( ) A B C D 解:由约束条件作出可行域 D 如图, 联立,解得 A(3,1), 联立,解得 B(4,2), 由图可知,当 0a1 时,由1loga3,解得 a; 当 a1 时,由 2loga4,解得 a2 使函数 ylogax(a0 且 a1)的图像过区域 D 的 a 的取值范围是 故选:B 9f(x)Asin(x+)(A0,0,|

15、)的图像如图所示,下列有关它的描述正确的是( ) A B把 f(x)图像向左平移单位长度,可得 y2cos2x C把 f(x)图像向右平移单位长度,可得 y2cos2x D为得到它的图像可将 y2sinx 的图像向右平移单位长度,再把所得图像上点的横坐标变为原来 的 解:根据 f(x)Asin(x+)(A0,0,|)的图像, 可得 A2,+,2 再根据五点法作图,2+0, f(x)2sin(2x) 故 A 错误; 把 f(x)图像向左平移单位长度,可得 y2sin(2x+) 2cos2x 的图象,故 B 正确; 把 f(x)图像向右平移单位长度, 可得 y2sin(2x)2sin(2x+)2c

16、os(2x+)的图象, 故 C 错误; 将 y2sinx 的图像向右平移单位长度,可得 y2sin(x)的图象, 再把所得图像上点的横坐标变为原来的倍,可得 y2sin(2x)的图象, 故 D 错误, 故选:B 10碳14 年代测定法由时任美国芝加哥大学教授威拉得利比(WillardFrankLibby)发明,威拉得利比 因此获得诺贝尔化学奖碳是有机物的元素之一,生物在生存的时候,由于需要呼吸,其体内的碳14 含量大致不变,生物死去后会停止呼吸,此时体内的碳14 开始减少,人们可通过检测一件古物的碳 14 含量,来估计它的大概年龄,这种方法称之为碳定年法 设 Nf是生物样品中的碳14 的含量,

17、N0是活体组织中碳14 的含量,t 为生物死亡的时间(单位年), 已知(其中 T 为碳14 半衰期, 且 T5730) , 若 2021 年测定某生物样本中 Nf, 则此生物大概生活在哪个朝代( ) 参考资料:log231.585 西周:公元前 1046 年前 771 年;晋代:公元 265公元 420;宋代:公元 907公元 1279;明代:公 元 1368公元 1644 A西周 B晋代 C宋代 D明代 解:2021 年测定某生物样本中 Nf,已知, ,得, 则(32log23)(321.585)0.17, T5730,t0.175730974.1 故此生物大概生活在宋代 故选:C 11已知

18、圆 O:x2+y24 与抛物线 y22px 交于 A,B 两点,且,则如图所示阴影部分绕 x 轴旋 转形成的旋转体的体积是( ) A B C D 解:线段 AB 是圆 O:x2+y24 的一条弦长, 则点 O 到线段 AB 的距离为, 所以点, 又点 A,B 在抛物线 y22px 上, 所以有 2p3,则抛物线的方程为 y23x, 设阴影部分绕 x 轴旋转形成的旋转体的体积为 V, 则 故选:C 12数列an中 an表示与最接近的整数,则( ) A B C D 解:an是与(nN*)最接近的正整数, n1,2 时,an1; n3,4,5,6 时,an2; n7,8,12 时,an3; n13,

19、14,20 时,an4; n21,14,30 时,an5; n31,32,40,41,42 时,an6; n43,44,56 时,an7; n57,59,72 时,an8; n73,74,90 时,an9; 故使得 anm 的正整数有 2m 个,且最小的是 m2m+1,最大的是 m2+m, 442+442021452+45,且 442+441980, 2+4+6+8+88+4188 故选:D 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分共分,满分共 20 分)分) 13已知向量 (1,2), (1,),若 ,则 2 解:向量 (1,2), (1,), , ,

20、 解得 2 故答案为:2 14数列an前 n 项和为 Sn,且满足 Snan+1(nN+),a11,则 an 解:Snan+1(nN+),a11, 当 n1 时,a2S1a11, 当 n2 时,Sn1an, 则 anSnSn1an+1an, 即 an+12an(n2), 而 a2a11,不满足上式, 所以数列an是从第二项开始为等比数列, 当 n2 时,ana22n22n2, 所以 an 故答案为: 15已知某农场某植物高度 N(,0.04),且 P(6)P(6),如果这个农场有这种植物 10000 棵,试估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4上的棵数为 1359 参考数据:若 N(,2

21、),则 P(+)0.6826,P(2+2)0.9544,P (3+3)0.9974 解:由 P(6)P(6),得 6, 又 N(,0.04),0.2, 则 P(6.26.4)P(+2)P(2+2)P(+) (0.95440.6826)0.1359, 估计该农场这种植物高度在区间(6.2,6.4上的棵数为 100000.13591359 故答案为:1359 16在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b3,tanC2tanA,则 cosB 解:ABC 中,由于 b3, 整理得, 利用正弦定理:, 整理得:, 所以 3a, 由于 tanC2tanA, 所以, 整理得, 故, 将 b

22、3,代入上式得到, 整理得, 解得 c3(3 舍去) 故 a, 所以 故答案为: 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明或演算步骤分,解答应写出文字说明或演算步骤.)(一)必考题:共)(一)必考题:共 60 分分 17首项为 2 的等差数列an,满足 a1,a2,a4成等比数列,且 a1a2021 (1)求an的通项公式; (2)记数列的前 n 项和为 Tn,若,求 n 的值 解:(1)设数列an的公差为 d, 由题设可得:a22a1a4, 又 a12, (2+d)22(2+3d),解得:d2 或 0, a1a2021, d2,an2n;

23、(2)由(1)可得:(), Tn (1+ +)(1), 又, ,解得:n2020 18如图已知四棱台 ABCDA1B1C1D1的上底面和下底面都是正方形,且 ABAA11,A1B12,AA1平 面 A1B1C1D1 (1)证明:A1D平面 DDC1C; (2)求二面角 DCD1B1的平面角的大小 【解答】(1)证明:因为四边形 A1B1C1D1是正方形,且 AA1平面 A1B1C1D1, 故以 A1为坐标原点,A1B1,A1D1,A1A 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如图所示, 则 A1(0,0,0),D(0,1,1),D1(0,2,0),C1(2,2,0),C(1,1,1)

24、, 所以, 设平面 DD1C1C 的法向量为 ,则,即, 令 y1,则 z1,故, 因为, 所以 A1D平面 DD1C1C; (2)解:设平面 CD1B1的法向量为, 因为, 则有,即, 令 a1,则 b1,所以, 所以, 因为 DCD1B1为钝角, 所以二面角 DCD1B1的平面角的大小为 120 19“低碳出行”,一种降低“碳”的出行,以低能耗、低污染为基础,是环保的深层次体现,在众多发 达国家被广大民众接受并执行,S 市即将投放一批公共自行车以方便市民出行,减少污染,缓解交通拥 堵,现先对 100 人做了是否会考虑选择自行车出行的调查,结果如表 (1)如果把 45 周岁以下人群定义为“青

25、年”,完成下列 22 列联表,并问你有多少把握认为该地区市 民是否考虑单车与他(她)是不是“青年人”有关? 年龄 考虑骑车 不考虑骑车 15 以下 6 3 15,30) 16 6 30,45) 13 6 45,60) 14 16 60,75) 5 9 75 以上 1 5 合计 55 45 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 45 岁以上 合计 100 p(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.07 2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82 参考:,na+b+c+d (2) S 市为了鼓励大家骑自行车上班, 为此还专门在

26、几条平时比较拥堵的城市主道建有无障碍自行车道, 该市市民小明家离上班地点 10km,现有两种上班方案给他选择; 方案一:选择自行车,走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 方案二:开车以 30km/h 的速度上班,但要经过 A、B、C 三个易堵路段,三个路段堵车的概率分别是, , , 且是相互独立的, 并且每次堵车的时间都是 10 分钟 (假设除了堵车时间其他时间都是匀速行驶) 若仅从时间的角度考虑,请你给小明作一个选择,并说明理由 解:(1)根据题目所给的数据填写 22 列联表如下: 骑车 不骑车 合计 45 岁以下 35 15 50 45 岁以上 20 30 50 合计 55

27、 45 100 9.097.87 故有 99.5%把握认为该地区市民是否考虑单车与他(她)是不是“青年人”有关; (2)方案一:选择自行车,走无障碍自行车道以 19km/h 的速度直达上班地点 则所需时间为:t1h, 方案二: 开车以 30km/h 的速度上班, 但要经过 A、 B、 C 三个易堵路段, 分别令三个路段堵车的事件为 A、 B、C, 因为三个路段堵车的概率分别是,且是相互独立的,并且每次堵车的时间都是 10 分钟(假设 除了堵车时间其他时间都是匀速行驶) 则在路上遇上堵车的概率为:P1P( )1P( )( )()11P(A)1 P(B)1P(C)1, 故选择方案二上班所需时间为

28、t2+h, 因为 t1t2; 若仅从时间的角度考虑,应选方案二省时间 20已知抛物线 M:y22px(p0)与椭圆 N:1(ab0)在第一象限交于 E 点,且它们有 公共的焦点 F,O 是椭圆的中心 (1)若 EFx 轴,求椭圆的离心率; (2)若 EF 不与 x 轴垂直,椭圆的另一个焦点为 F,已知|OF|1,且EFF的周长为 6,过 F 的直线 l 与两曲线从上至下依次交于 A,B,C,D 四点(其中 A,CM,B,DN),若 3|AB|4|BC|+7|CD|,求 l 的方程 解:(1)由条件 E2c, e2+2e10e1 (2)|OF|1c,62a+2c,a2,c1,p2, 抛物线 M

29、方程 y24x; 椭圆 N 方程 1, 依题意可令 l 方程 xmy+1 且 m0, 设 A(x1,y1),C(x2,y2)B(x3,y3),D(x4,y4), 结合图形,由 3|AB|4|BC|+7|CD|得 3(y1y3)4(y3y2)+7(y2y4), 3(y1y2)7(y3y4)( 注意 y1y3y2y4), 3 (*), ,4, , 代入方程(*)得 m1, 所以直线 l 方程为 yx1 21已知 f(x)ex1ax+1(xR) (1)若 f(x)存在最小值,求此时 a 的取值范围,并求出 f(x)的最小值; (2)当 x1 时,f(x)+lnx0 恒成立,求 a 的取值范围 解:(

30、1)f(x)ex1ax+1(xR),则 f(x)ex1a, 当 a0 时,f(x)0 恒成立,所以 f(x)在 R 上单调递增,故不存在最小值,不符合题意 当 a0 时,令 f(x)0,解得 x1+lna, 当 x1+lna 时,f(x)0,故 f(x)单调递减,当 x1+lna 时,f(x)0,故 f(x)单调递增, 所以当 x1+lna 时,f(x)取得最小值为 f(1+lna)1alna 综上所述,a 的取值范围为 a0,f(x)的最小值为 1alna; (2)当 x1 时,f(x)+lnx0 恒成立,即 ex1ax+1+lnx0 对 x1 恒成立, 等价于对 x1 恒成立, 令 g(x

31、),则, 令 h(x)(x1)ex1lnx,则 ,则对 x1 恒成立, 所以 h(x)在1,+)上单调递增,所以 h(x)h(1)0, 则 h(x)在1,+)上单调递增,所以 h(x)h(1)0, 故 g(x)在1,+)上单调递增,所以 g(x)g(1)1,即 g(x)的最小值为 2, 所以 a2 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考试在第请考试在第 22 题和题和 23 题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分题中任选一题作答,如果多选,则按所做的第一题计分.选选 修修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为(t

32、 为参数,0),曲线 C 的参数方程 为( 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)设 C 与 l 交于 A,B 两点(异于原点),求|OA|+|OB|的最大值 解:(1)曲线 C 的参数方程为( 为参数),转换为直角坐标方程为 x2+(y1)21, 整理得 x2+y22y0,根据 转换为极坐标方程为 22sin,整理得 2sin (2)直线 l 经过圆心, 设 C 与 l 交于 A,B 两点(异于原点),所以, 设 A(1,)B(), 所以|OA|+|OB|1+2 当,|OA|+|OB|的最大值为 2 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23(1)证明不等式,并指出等号成立的条件; (2)求的最小值 【解答】(1)证明:记 g(x)1, 则 g(x)在0,+)上单调递增, 因为|a+b|a|+|b|,当 ab0 时取等号, 所以 g(|a+b|)g(|a|+|b|), 即,ab0 时等号成立 (2)解:因为|x+1|+|x1|x+1x+1|2,当且仅当(x+1)(1x)0,即1x1 时等号成立, 由 g(x)在0,+)上单调递增, 所以 g(|x+1|+|x1|)g(2), 即, 所以 f(x)的最小值为