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2021年高考数学大二轮复习之压轴题1

1、三、压轴题 压轴题(一) 第二部分 刷题型 8(2020 山东德州一模)已知函数 f(x) 2x x1x0, ln x x x0, 若关于 x 的方 程 f2(x)(1m)f(x)m0 有且只有两个不同实数根,则 m 的取值范围是 ( ) A. 1 e,2 B(,0) 1 e,2 C(,1)(1,0) 1 e,2 D(,0) 1 e,1 (1,2) 答案答案 解析 当 x0 时,f(x)ln x x ,则 f(x) 1ln x x2 ,令 f(x)0,得 0xe,令 f(x)e.函数 f(x)在(0,e)上单调递增,在e, )上单调递减,又 f(e)1 e,画出函数图象,如 图所示f2(x)(

2、1m)f(x)m0,即(f(x)m)(f(x)1)0,当 f(x)1 时, 根据图象知有 1 个解,故 f(x)m 有 1 个解,根据图象知 m(,1) (1,0) 1 e,2 .故选 C. 解析解析 12 (多选)(2020 山东大学附属中学 6 月模拟检测)已知 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2, 如图, M 为 CC1上的 动点,AM平面 .下面说法正确的是( ) A直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为 3 3 , 2 2 B点 M 与点 C1重合时,平面 截正方体所得的截面,其面积越大, 周长就越大 C点 M 为 CC1的中点时,若平面 经过点 B,则平面 截正方体所

3、得截面图形是等腰梯形 D已知 N 为 DD1的中点,当 AMMN 的和最小时,M 为 CC1的中点 答案答案 解析 以点 D 为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,则点 A(2, 0,0),B(2,2,0),设点 M(0,2,a)(0a2),AM平面 , 则AM 为平面 的一个法向量,且AM (2,2,a),AB (0,2,0),|cosAB ,AM | |AB AM | | AB | AM | 4 2a28 2 a28 3 3 , 2 2 , 直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为 3 3 , 2 2 ,A 正确; 解析解析 当 M 与

4、 C1重合时,连接 A1D,BD,A1B,AC,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,CC1平面 ABCD,BD平面 ABCD,BDCC1,四边形 ABCD 是正方形,BDAC,CC1ACC,BD平面 ACC1,AC1平面 ACC1,AC1BD,同理可证 AC1A1D,A1DBDD,AC1平面 A1BD,易知A1BD 是边长为 2 2的等边三角形,其面积 为 SA1BD 3 4 (2 2)22 3,周长为 2 236 2.设 E,F,Q,N,G,H 分别为棱 A1D1,A1B1,BB1,BC, CD,DD1的中点,易知六边形 EFQNGH 是边长为 2的正 六边形,且平面 EFQNGH平面

5、A1BD,正六边形 EFQNGH 的周长为 6 2,面积为 6 3 4 ( 2)23 3, 解析解析 则A1BD 的面积小于正六边形 EFQNGH 的面积,它们的周长相等,B 错误;设平面 交棱 A1D1于点 E(b,0,2),点 M(0,2,1),AM (2,2,1), AM平面 ,DE平面 , AMDE,即AM DE 2b20,得 b1, E(1,0,2), 解析解析 点 E 为棱 A1D1的中点,同理可知,平面 与棱 A1B1的交点 F 为棱 A1B1的中点,则 F(2,1,2),EF (1,1,0),而DB (2,2,0),EF 1 2DB ,EF DB 且 EFDB, 由空间中两点间

6、的距离公式可得 DE1202225,BF 222122202 5, DEBF, 四边形 BDEF 为等腰梯形, C 正确;将矩形 ACC1A1与矩形 CC1D1D 展开到一个平面内,如下图所示: 解析解析 若 AMMN 最短,则 A,M,N 三点共线,CC1DD1,MC DN AC AD 2 2 2 222 2,DN1,MC2 2 1 2CC1,点 M 不是棱 CC1 的 中点,D 错误故选 AC. 解析解析 16(2020 新高考卷)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件 的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心,A 是圆弧 AB 与 直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB

7、与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形, BCDG,垂足为 C,tanODC3 5,BHDG,EF12 cm,DE2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的 面积为_ cm2. 答案 45 2 答案答案 解析 设 OBOAr,如图,过点 A 作直线 DE 和 EF 的垂线,垂足分 别为 M,N,AN 交 CG 于点 P.由题意知 AMAN7,EF12,所以 EN AM7,NFEFEN5,又因为 DE2,PN2,所以 APANPN5, 又 PGNF5,所以 APPG,所以AGP45 ,因为 BHDG,所以 AHO45 ,因为 AG

8、与圆弧 AB 相切于 A 点,所以 OAAG,即OAH 为 等腰直角三角形 解析解析 在 RtOQD 中,OQ5 2 2 r,DQ7 2 2 r,因为 tanODCOQ DQ 3 5, 所以 213 2 2 r255 2 2 r,解得 r2 2,所以等腰直角三角形 OAH 的面 积为 S11 22 22 24,扇形 AOB 的面积为 S2 1 2 3 4 (2 2)23, 所以阴影部分的面积为 S1S21 21 245 2 . 解析解析 21已知函数 f(x)1 2(x 22aln x) (1)讨论 f(x)1 2(x 22aln x),x(1,e)的单调性; (2)若存在 x1,x2(1,e

9、)(x1x2),使得 f(x1)f(x2)0), 当 a0 时,f(x)0 恒成立, 所以 f(x)在(1,e)上单调递增; 当 a0 时,f(x)0 的解为 xa(舍去负值), 若a1,即 a1,0),则 f(x)在(1,e)上单调递增; 若ae,即 a(,e2, 则 f(x)在(1,e)上单调递减; 若 a(e2,1),则 f(x)在(1,a)上单调递减,在a,e)上单 调递增 解解 (2)由(1)可知, 当 ae2或 a1 时, 函数 f(x)在(1, e)上为单调函数, 此时不存在 x1,x2(1,e)(x1x2),使得 f(x1)f(x2)0,所以 g(a)在(e2,1)上单调递增,

10、 且 g(e)0, 所以当 a(e2,e)时,f(x)极小值0, 此时存在 x1,x2(1,e)(x1x2), 使得 f(x1)f(x2)b0) 以抛物线 y28x 的焦点为顶点,且离心率为1 2. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若直线 l:ykxm 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,与直线 x4 相 交于 Q 点,P 是椭圆 E 上一点且满足OP OA OB (其中 O 为坐标原点), 试问在 x 轴上是否存在一点 T,使得OP TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐 标及OP TQ 的值;若不存在,请说明理由 解 (1)抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0), 由题意可知 a2,且

11、ec a 1 2, 所以 c1,则 ba2c2 3, 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 ykxm, x2 4 y 2 3 1, 消去 y 并整理得(4k23)x28kmx4m2120, 解解 由 (8km)24(4k23)(4m212)48(4k2m23)0, 得 m20. 解解 联立 ykxm, x4, 得 x4, ym4k, 则点 Q(4,m4k), 设在 x 轴上存在一点 T(t,0),使得OP TQ 为定值, 则TQ (4t,m4k),OP TQ 8kmt46mm4k 4k23 8ktm8km6m 2 4m2 2kt1 m 3 2为定值, 要使OP TQ 为定值, 只需 2k1t m 24k 21t2 m2 4m231t2 m2 为定值,则 t10,解得 t1, 因此,在 x 轴上存在定点 T(1,0),使得OP TQ 为定值 解解 本课结束