1、三、压轴题 压轴题(一) 第二部分 刷题型 8(2020 山东德州一模)已知函数 f(x) 2x x1x0， ln x x x0， 若关于 x 的方 程 f2(x)(1m)f(x)m0 有且只有两个不同实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A. 1 e，2 B(，0) 1 e，2 C(，1)(1,0) 1 e，2 D(，0) 1 e，1 (1,2) 答案答案 解析 当 x0 时，f(x)ln x x ，则 f(x) 1ln x x2 ，令 f(x)0，得 0xe，令 f(x)e.函数 f(x)在(0，e)上单调递增，在e， )上单调递减，又 f(e)1 e，画出函数图象，如 图所示f2(x)(
2、1m)f(x)m0，即(f(x)m)(f(x)1)0，当 f(x)1 时， 根据图象知有 1 个解，故 f(x)m 有 1 个解，根据图象知 m(，1) (1,0) 1 e，2 .故选 C. 解析解析 12 (多选)(2020 山东大学附属中学 6 月模拟检测)已知 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 如图， M 为 CC1上的 动点，AM平面 .下面说法正确的是( ) A直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为 3 3 ， 2 2 B点 M 与点 C1重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大， 周长就越大 C点 M 为 CC1的中点时，若平面 经过点 B，则平面 截正方体所
3、得截面图形是等腰梯形 D已知 N 为 DD1的中点，当 AMMN 的和最小时，M 为 CC1的中点 答案答案 解析 以点 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，则点 A(2， 0,0)，B(2,2,0)，设点 M(0,2，a)(0a2)，AM平面 ， 则AM 为平面 的一个法向量，且AM (2,2，a)，AB (0,2,0)，|cosAB ，AM | |AB AM | | AB | AM | 4 2a28 2 a28 3 3 ， 2 2 ， 直线 AB 与平面 所成角的正弦值范围为 3 3 ， 2 2 ，A 正确； 解析解析 当 M 与
4、 C1重合时，连接 A1D，BD，A1B，AC，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，CC1平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDCC1，四边形 ABCD 是正方形，BDAC，CC1ACC，BD平面 ACC1，AC1平面 ACC1，AC1BD，同理可证 AC1A1D，A1DBDD，AC1平面 A1BD，易知A1BD 是边长为 2 2的等边三角形，其面积 为 SA1BD 3 4 (2 2)22 3，周长为 2 236 2.设 E，F，Q，N，G，H 分别为棱 A1D1，A1B1，BB1，BC， CD，DD1的中点，易知六边形 EFQNGH 是边长为 2的正 六边形，且平面 EFQNGH平面
5、A1BD，正六边形 EFQNGH 的周长为 6 2，面积为 6 3 4 ( 2)23 3， 解析解析 则A1BD 的面积小于正六边形 EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 错误；设平面 交棱 A1D1于点 E(b,0,2)，点 M(0,2,1)，AM (2,2,1)， AM平面 ，DE平面 ， AMDE，即AM DE 2b20，得 b1， E(1,0,2)， 解析解析 点 E 为棱 A1D1的中点，同理可知，平面 与棱 A1B1的交点 F 为棱 A1B1的中点，则 F(2,1,2)，EF (1,1,0)，而DB (2,2,0)，EF 1 2DB ，EF DB 且 EFDB， 由空间中两点间
6、的距离公式可得 DE1202225，BF 222122202 5， DEBF， 四边形 BDEF 为等腰梯形， C 正确；将矩形 ACC1A1与矩形 CC1D1D 展开到一个平面内，如下图所示： 解析解析 若 AMMN 最短，则 A，M，N 三点共线，CC1DD1，MC DN AC AD 2 2 2 222 2，DN1，MC2 2 1 2CC1，点 M 不是棱 CC1 的 中点，D 错误故选 AC. 解析解析 16(2020 新高考卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件 的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与 直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB
7、与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形， BCDG，垂足为 C，tanODC3 5，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的 面积为_ cm2. 答案 45 2 答案答案 解析 设 OBOAr，如图，过点 A 作直线 DE 和 EF 的垂线，垂足分 别为 M，N，AN 交 CG 于点 P.由题意知 AMAN7，EF12，所以 EN AM7，NFEFEN5，又因为 DE2，PN2，所以 APANPN5， 又 PGNF5，所以 APPG，所以AGP45 ，因为 BHDG，所以 AHO45 ，因为 AG
8、与圆弧 AB 相切于 A 点，所以 OAAG，即OAH 为 等腰直角三角形 解析解析 在 RtOQD 中，OQ5 2 2 r，DQ7 2 2 r，因为 tanODCOQ DQ 3 5， 所以 213 2 2 r255 2 2 r，解得 r2 2，所以等腰直角三角形 OAH 的面 积为 S11 22 22 24，扇形 AOB 的面积为 S2 1 2 3 4 (2 2)23， 所以阴影部分的面积为 S1S21 21 245 2 . 解析解析 21已知函数 f(x)1 2(x 22aln x) (1)讨论 f(x)1 2(x 22aln x)，x(1，e)的单调性； (2)若存在 x1，x2(1，e
9、)(x1x2)，使得 f(x1)f(x2)0)， 当 a0 时，f(x)0 恒成立， 所以 f(x)在(1，e)上单调递增； 当 a0 时，f(x)0 的解为 xa(舍去负值)， 若a1，即 a1,0)，则 f(x)在(1，e)上单调递增； 若ae，即 a(，e2， 则 f(x)在(1，e)上单调递减； 若 a(e2，1)，则 f(x)在(1，a)上单调递减，在a，e)上单 调递增 解解 (2)由(1)可知， 当 ae2或 a1 时， 函数 f(x)在(1， e)上为单调函数， 此时不存在 x1，x2(1，e)(x1x2)，使得 f(x1)f(x2)0，所以 g(a)在(e2，1)上单调递增，
10、 且 g(e)0， 所以当 a(e2，e)时，f(x)极小值0， 此时存在 x1，x2(1，e)(x1x2)， 使得 f(x1)f(x2)b0) 以抛物线 y28x 的焦点为顶点，且离心率为1 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 l：ykxm 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x4 相 交于 Q 点，P 是椭圆 E 上一点且满足OP OA OB (其中 O 为坐标原点)， 试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得OP TQ 为定值？若存在，求出点 T 的坐 标及OP TQ 的值；若不存在，请说明理由 解 (1)抛物线 y28x 的焦点坐标为(2,0)， 由题意可知 a2，且
11、ec a 1 2， 所以 c1，则 ba2c2 3， 所以椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 ykxm， x2 4 y 2 3 1， 消去 y 并整理得(4k23)x28kmx4m2120， 解解 由 (8km)24(4k23)(4m212)48(4k2m23)0， 得 m20. 解解 联立 ykxm， x4， 得 x4， ym4k， 则点 Q(4，m4k)， 设在 x 轴上存在一点 T(t,0)，使得OP TQ 为定值， 则TQ (4t，m4k)，OP TQ 8kmt46mm4k 4k23 8ktm8km6m 2 4m2 2kt1 m 3 2为定值， 要使OP TQ 为定值， 只需 2k1t m 24k 21t2 m2 4m231t2 m2 为定值，则 t10，解得 t1， 因此，在 x 轴上存在定点 T(1,0)，使得OP TQ 为定值 解解 本课结束