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2021年高考数学大二轮复习之压轴题4

1、三、压轴题 压轴题(四) 第二部分 刷题型 8已知函数 f(x)axa24(a0,xR),若 p2q28,则fq fp的取值 范围是( ) A(,2 3) B2 3,) C(2 3,2 3) D2 3,2 3 答案答案 解析 fq fp aqa24 apa24 qa4 a pa4 a ,表示点 A(p, q)与点 B a4 a,a 4 a 连线的斜率 又 a0, 所以 a4 a4,故取点 E(4,4)当 AB 与圆的切 线 EC 重合时,kAB取最小值,可求得 kECtan15 2 3,所以fq fp的最小 值为 2 3; 当 AB 与圆的切线 ED 重合时, kAB取最大值, 可求得 kED

2、tan75 2 3,所以fq fp的最大值为 2 3,故 fq fp的取值范围是2 3,2 3 解析解析 12(多选)(2020 山东济南 6 月仿真模拟)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为线段 BC1上的动点,下列说法正确的是( ) A对任意点 P,DP平面 AB1D1 B三棱锥 PA1DD1的体积为1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D存在点 P,使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的 大小为 3 答案答案 解析 由题可知,正方体的面对角线长度为 2,分别连接 C1D,BD, B1D1,AB1,AD1,易得平面 C1DB平面 AB1D1,DP平面

3、C1DB,故对任 意点 P,DP平面 AB1D1,故 A 正确;分别连接 PA,PD1,无论点 P 在哪 个位置,三棱锥 PA1DD1的高均为 1,底面 A1DD1的面积为1 2,所以三棱 锥 PA1DD1的体积为1 3 1 21 1 6,故 B 正确;线段 DP 在C1BD 中,当 点 P 为 BC1的中点时,DP 最小,此时 DPBC1,在 RtBPD 中,DP BD2PB2 22 2 2 2 6 2 ,故 DP 的最小值为 6 2 ,故 C 正确; 解析解析 点 P 在平面 ADD1A1上的投影在线段 AD1上,设点 P 的投影为点 Q,则 PDQ 为 DP 与平面 ADD1A1所成的角

4、,sinPDQPQ PD,PQ1,而 6 2 PD 2, 所以DP与平面ADD1A1所成角的正弦值的取值范围是 2 2 , 6 3 , 而 sin 3 3 2 6 3 ,所以不存在点 P,使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的大小 为 3,故 D 错误故选 ABC. 解析解析 16(2020 山东聊城二模)足球运动是一项古老的体育活动,众多的资 料表明,中国古代足球的出现比欧洲早,历史更为悠久,如图,现代比赛 用足球是由正五边形与正六边形构成的共 32 个面的多面体,著名数学家欧 拉证明了凸多面体的面数(F),顶点数(V),棱数(E)满足 FVE2,那么 足球有_个正六边形的面,若正六边形的

5、边长为 21,则足球的直径为 _(结果保留整数)(参考数据:tan54 1.38, 31.73,3.14) 20 22 解析 因为足球是由正五边形与正六边形构成的,所以每块正五边形 皮料周围都是正六边形皮料,每两个相邻的多边形恰有一条公共边,每个 顶点处都有三块皮料,而且都遵循一个正五边形,两个正六边形结论设 正五边形为 x 块,正六边形为 y 块,由题知, xy1 35x6y 1 25x6y2, 5x1 26y, 解析解析 解得 x12, y20. 所以足球有 20 个正六边形的面, 12 个正五边形的面 每 个正六边形的面积为 1 2( 21) 2 3 2 6 63 3 2 .每个正五边形

6、的面积为 1 2 21 21tan54 2 5 105tan54 4 . 球 的 表 面 积 S 20 63 3 2 12 105tan54 4 630 3315tan54 1089.9434.71524.6.所以 4R2 (2R)21524.6,2R22.所以足球的直径为 22. 解析解析 21(2020 山东滨州二模)在传染病学中,通常把从致病刺激物侵入机 体或者对机体发生作用起,到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关 症状时止的这一阶段称为潜伏期一研究团队统计了某地区 200 名患者的 相关信息,得到如下表格: 潜伏期 (单位:天) 0,2 (2,4 (4,6 (6,8 (8,10 (

7、10,12 (12,14 人数 17 41 62 50 26 3 1 (1)求这 200 名患者的潜伏期的样本平均数 x (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表); (2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响,为研究潜伏期与患者年龄的 关系,以潜伏期是否超过 6 天为标准进行分层抽样,从上述 200 名患者中 抽取 40 人得到如下列联表请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否 有 95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关; 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上(含 50 岁) 20 50 岁以下 9 总计 40 (3)以这 200 名患者的潜伏期超过 6 天的频率,代替该地区 1 名患

8、者潜 伏期超过 6 天发生的概率,每名患者的潜伏期是否超过 6 天相互独立为 了深入硏究,该研究团队在该地区随机调查了 10 名患者,其中潜伏期超过 6 天的人数最有可能(即概率最大)是多少? 附: P(K2k0) 0.05 0.025 0.010 k0 3.841 5.024 6.635 K2 nadbc2 abcdacbd,其中 nabcd. 解 (1) x 1 200 (117341562750926113 131)5.4(天) (2)根据题意,补充完整的列联表如下: 潜伏期6 天 潜伏期6 天 总计 50 岁以上(含 50 岁) 15 5 20 50 岁以下 9 11 20 总计 24

9、 16 40 则 K240151159 2 20202416 3.75, 经查表, 得 K23.750 时,都有 m2 2fx 1 x 2 2km1 恒成立, 求最大的整数 k.(参考数据:1.78) (2)注意到 x0, 不等式 m2 2fx1 x 2 2km1 中, 当 m0 时,显然成立; 当 m0 时,不等式可化为 2f(x)1 x 2 2km1 m2 , 令 h(x)2f(x)1 x2e x1 x,则 h(x)2e x1 x2, h 1 2 2e 1 21 1 2 22e 1 240,所以存在 x0 1 2, 3 3 , 使 h(x0)2ex0 1 x2 00. 因为 y2ex在(0

10、,)上单调递增,y 1 x2在(0,)上单调递减,所 以 h(x)在(0,)上单调递增,所以 x0是 h(x)的唯一零点 且在区间(0,x0)上,h(x)0,h(x)单调递增, 所以 h(x)的最小值为 h(x0)2ex0 1 x0 1 x2 0 1 x0, 解解 令 1 x0t( 3,2), 则 1 x2 0 1 x0t 2t(3 3,6), 将 h(x)的最小值设为 a,则 a(3 3,6), 因此原式需满足 a2 2km1 m2 , 即 am22 2km10 在 mR 上恒成立, 又 a0,可知判别式 8k4a0 即可,即 ka 2,且 a(3 3,6), 所以 k 可以取到的最大整数为 2. 解解 本课结束