1、2020-2021 学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. 1RtABC 中，C90，AC2，BC1，sinA（ ） A B2 C D 2如图，在ABC 中，DEBC，AD2DB，DE2，则 BC（ ） A6 B5 C4 D3 3对称轴为 y 轴的二次函数是（ ） Ay（x+1）2 By2（x1）2 Cy2x2+1 Dy（x1）2
2、 4随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为（ ） A B C D 5如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 OE6，DO10，则 CD 的长为（ ） A8 B12 C16 D20 6以下点可能成为二次函数 yx2+2mx 顶点的是（ ） A （2，4） B （1，2） C （1，1） D （2，4） 7如图，将正方形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到正方形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在正方形 ABCD 的对 角线上，若 AD3，则的长为（ ） A B C D 8如图，点 B，C，D 在A 上，CBD2BDC，BAC44，则CAD
3、 的度数为（ ） A68 B78 C88 D98 9已知二次函数 yax2+bx+1 的图象与 x 轴没有交点，且过点 A（2，y1） ，B（3，y2） ，C（1，y2） ，D （，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy1y2y3 10如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连接 EG，BD 相 交于点 O，BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP，下列结论：GOPBCP，BCBP，BG： PG+1，DPPO正确的是（ ） A B C D 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小
4、题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11已知 a3，b27，则 a，b 的比例中项为 12如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上） ，则DEF 与ABC 的周 长比为 13把只有颜色不同的 1 个白球和 2 个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出 1 个球后放回 搅匀，再次随机地摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为 14某工厂 1 月份的产值是 200 万元，平均每月产值的增长率为 x（x0） ，则该工厂第一季度的产值 y 关 于 x 的函数解析式为 15如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，ABCABC点 B正好落在
5、 AB 上，A B与 AC 相交于点 D，那么 16设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 m 个交点，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 n 个交 点，则所有可能的数对（m，n）是 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.如图，已知 MN 是O 的直径，AB 是O 的弦，ABMN，点 C 在线段 AB 上，OCAC2，BC4， 求O 的半径 18.小明想利用所学的知识来求出树的高度如图，他观察到小树 AB 在路灯 C 的照射下形成投影 B
6、E若根 据灯杆的指示牌，已知路灯的高度 CD6 米，测得树影 BE3.6 米，树与路灯的水平距离 BD4 米， 则树高 AB 为多少？ 19.一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片， 编号为 1、 2、 3， 先任取一张， 再从剩下的两张中任取一张 请 你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两张卡片上的数字之和为 5 的概率 20.已知二次函数 ya（x1）2+h （1）若函数图象经过点 A（0，4） ，B（2，m） ，求 m 的值； （2）当 a0，h0 时，求证：函数图象与 x 轴有两个交点 21.如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB5，AC3连接 OC，弦 AD 分别交
7、 OC，BC 于点 E， F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 EF：FD 的值 22.已知二次函数 y（x+1） （x+3k） （1）若当 x2 时，该函数有最小值，求 k 的值 （2）若二次函数图象向上平移 4 个单位后与 x 轴只有一个交点，求 k 的值 （3）已知 k1，当 xm 时，y 随着 x 的增大而增大，试求出 m 的一个值 23.如图，在ABCD 中，点 E 在 AB 上，AEAB，ED 和 AC 相交于点 F，过点 F 作 FGAB，交 AD 于 点 G （1）求 FG：AE 的值 （2）若 AB：AC：2， 求证：AEFACB 求证：DF2
8、DGDA 2020-2021 学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1RtABC 中，C90，AC2，BC1，sinA（ ） A B2 C D 【分析】先利用勾股定理计算出 AB，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：C90，AC2，BC1， AB， sinA 故选：A 2如图，在ABC 中，DEBC，AD2DB，DE2，则 BC（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】由 DEBC 可得出ABCADE，利用相似三角形的性质可得出，即可求出结论 【解答】解：A
9、D2DB， DEBC， ABCADE， ，即， BC3 故选：D 3对称轴为 y 轴的二次函数是（ ） Ay（x+1）2 By2（x1）2 Cy2x2+1 Dy（x1）2 【分析】对称轴是 y 轴，即直线 x0，所以 b0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可 【解答】解：抛物线对称轴为 y 轴，即直线 x0，只要解析式一般式缺少一次项即可， 故选：C 4随机从二男一女三名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为（ ） A B C D 【分析】画出树状图得出所有等情况数和被抽中的两人性别不同的情况数，再根据概率公式即可得出答 案 【解答】解：画树状图如图： 共有 6 种等情况数
10、，其中被抽中的两人性别不同的有 4 种， 被抽中的两人性别不同的概率为， 故选：C 5如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 OE6，DO10，则 CD 的长为（ ） A8 B12 C16 D20 【分析】先由垂径定理得 CEDECD，再由勾股定理求出 DE8，即可得出答案 【解答】解：弦 CDAB 于点 E， CEDECD，OED90， DE8， CD2DE16， 故选：C 6以下点可能成为二次函数 yx2+2mx 顶点的是（ ） A （2，4） B （1，2） C （1，1） D （2，4） 【分析】化成顶点式求得顶点坐标为（m，m2） ，即可得出横坐标和纵坐标的关系，然后
11、就能确定可能的 顶点 【解答】解：yx2+2mx（xm）2+m2， 顶点坐标为（m，m2） ， 可能成为函数顶点的是（2，4） ， 故选：A 7如图，将正方形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到正方形 AEFG，点 B 的对应点 E 落在正方形 ABCD 的对 角线上，若 AD3，则的长为（ ） A B C D 【分析】连接 AC， AF，根据正方形的性质得出DAC45， ADDC3，ADC90，求出 A、 D、F 三点共线，A、E、C 三点共线，求出FAC45，再根据弧长公式求出答案即可 【解答】解：连接 AC，AF， 四边形 ABCD 是正方形， DAC45，ADDC3，ADC90， 由
12、勾股定理得：AC3， 将正方形 ABCD 绕着点 A 逆时针旋转得到正方形 AEFG， 点 B 的对应点 E 落在正方形 ABCD 的对角线 上， A、D、F 三点共线，A、E、C 三点共线， FAC45， 的长是， 故选：B 8如图，点 B，C，D 在A 上，CBD2BDC，BAC44，则CAD 的度数为（ ） A68 B78 C88 D98 【分析】根据圆周角定理得到BDCBAC22，则CBD44，然后再用圆周角定理得到 CAD 的度数 【解答】解：BDCBAC4422， CBD2BDC22244， CBDCAD， CAD24488 故选：C 9已知二次函数 yax2+bx+1 的图象与
13、x 轴没有交点，且过点 A（2，y1） ，B（3，y2） ，C（1，y2） ，D （，y3） ，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By3y2y1 Cy1y3y2 Dy1y2y3 【分析】 由函数二次函数 yax2+bx+1 知 c1， 即抛物线和 y 轴交于点 （0， 1） ， 而图象与 x 轴没有交点， 故抛物线开口向上，点 B、C 的纵坐标相同，则函数的对称轴为 x（3+1）1，再根据点离函数 对称轴的距离的大小情况，即可求解 【解答】解：由函数二次函数 yax2+bx+1 知 c1，即抛物线和 y 轴交于点（0，1） ， 而图象与 x 轴没有交点，故抛物线开口向上，
14、 点 B、C 的纵坐标相同，则函数的对称轴为 x（3+1）1， 而点离函数对称轴的距离从大到小的顺序是 D、B（C） 、A， 故 y3y2y1， 故选：B 10如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH连接 EG，BD 相 交于点 O，BD 与 HC 相交于点 P若 GOGP，下列结论：GOPBCP，BCBP，BG： PG+1，DPPO正确的是（ ） A B C D 【分析】求得GOPOPG67.5，BCP67.5即可判断；根据等角对等边即可判断；设 OGPGCGx，则 EG2x，FGx，即可得到 BGx+x，即可得到 BG：PG+1，即可判 断；由即可
15、判断 【解答】解：四边形 EFGH 为正方形， EGH45，FGH90， OGGP， GOPOPG67.5， PBG22.5， 又DBC45， GBC22.5， PBGGBC22.5， BGC90， BCP9022.567.5， GOPBCP，故正确； GOPBCP， BCBP，故正确； 设 OGPGCGx， O 为 EG，BD 的交点， EG2x，FGx， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图” ， BFCGDHx， BGx+x， BG：PG+1，故正确； BG：PG+1， BG：DH+1， DEBG， PDHPBG， ， OBOD， DPPO，故错误， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 6
16、 小题）小题） 11已知 a3，b27，则 a，b 的比例中项为 9 【分析】根据比例中项的定义直接列式求值，问题即可解决 【解答】解：设 a、b 的比例中项为 x， a3，b27， ， 即 x281， x9， a，b 的比例中项为9， 故答案为：9 12如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上） ，则DEF 与ABC 的周 长比为 ：1 【分析】如图，设正方形网格的边长为 1，根据勾股定理求出EFD、ABC 的边长，运用三边对应成 比例，则两个三角形相似这一判定定理证明EDFBAC，即可解决问题 【解答】解：设正方形网格的边长为 1，由勾股定理得： DE222+2
17、2，EF222+42， DE2，EF2； 同理可求：AC，BC， DF2，AB2， ， EDFBAC， DEF 与ABC 的周长比为：1 故答案为：1 13把只有颜色不同的 1 个白球和 2 个红球装入一个不透明的口袋里搅匀，从中随机地摸出 1 个球后放回 搅匀，再次随机地摸出 1 个球，两次都摸到红球的概率为 【分析】画树状图，共有 9 种等可能情况，两次都摸到红球的有 4 种情况，再由概率公式求解即可 【解答】解：画树状图如图所示： 共有 9 种等可能情况，两次都摸到红球的有 4 种情况， 两次都摸到红球的概率为， 故答案为： 14某工厂 1 月份的产值是 200 万元，平均每月产值的增长
18、率为 x（x0） ，则该工厂第一季度的产值 y 关 于 x 的函数解析式为 y200 x2+600 x+400 【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可 【解答】解：由题意得：y200+200 x+200（1+x）2200+200 x+200+400 x+200 x2200 x2+600 x+400， 故答案为：y200 x2+600 x+400 15如图，在 RtABC 中，C90，BC3，AC4，ABCABC点 B正好落在 AB 上，A B与 AC 相交于点 D，那么 【分析】作辅助线；首先求出 BM 的长度，进而求出 AC、BB的长度；证明ADCADB，得 ，即可
19、解决问题 【解答】解：如图，过点 C 作 CMAB 于点 M， C90，BC3，AC4， AB5， ；设 BC3，则 AB5， 由勾股定理得 AC4， 由射影定理得：BC2BMAB， BM 由ABCABC 得： CBCB，ACAC4，AA；而 CMBB， BMBM，AB5， AA，ADCADB， ADCADB， ， 故答案为： 16设函数 y（x+a） （x+b）的图象与 x 轴有 m 个交点，函数 y（ax+1） （bx+1）的图象与 x 轴有 n 个交 点，则所有可能的数对（m，n）是 （1，0） 、 （1，1） 、 （2，1） 、 （2，2） 【分析】分 m1 和 m2 两种情况，利用函
20、数和 x 轴交点情况，分别求解即可 【解答】解： （1）当 m1 时，则 ab， 当 ab0 时，则 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1a2x2+2ax+1，则4a24a20，故 n1， 当 ab0 时，同理函数的表达式为 y1，则 n0； （2）当 m2 时，则 ab， 当 ab0 时，则 y（ax+1） （bx+1）abx2+（a+b）x+1，则（a+b）24ab（ab）20，故 n 2， 当 ab0 时，同理函数的表达式为 y（a+b）x+1，则 n1； 故答案为： （1，1） 、 （1，0） 、 （2，2） 、 （2，1） 三解答题三解答题 17.如图，已知 MN
21、是O 的直径，AB 是O 的弦，ABMN，点 C 在线段 AB 上，OCAC2，BC4， 求O 的半径 【考点】勾股定理；垂径定理 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力 【答案】2 【分析】连接 OB，先由垂径定理得 ADBDAB3，则 CDADAC1，再由勾股定理求出 OD ，然后由勾股定理求出 OB 即可 【解答】解：连接 OB，设 AB 与 MN 交于点 D，如图所示： AC2，BC4， ABAC+BC6， ABMN， ADBDAB3，ODCODB90， CDADAC1， OD， OB2， 即O 的半径为 2 18.小明想利用所学的知识来求出树的高度如图
22、，他观察到小树 AB 在路灯 C 的照射下形成投影 BE若根 据灯杆的指示牌，已知路灯的高度 CD6 米，测得树影 BE3.6 米，树与路灯的水平距离 BD4 米， 则树高 AB 为多少？ 【考点】相似三角形的应用；中心投影 【专题】图形的相似；应用意识 【答案】树高 AB 为米 【分析】利用相似三角形的性质求解即可 【解答】解：ABCD， CEDAEB， ， ， AB（m） ， 答：树高 AB 为米 19.一个袋中有 3 张形状大小完全相同的卡片， 编号为 1、 2、 3， 先任取一张， 再从剩下的两张中任取一张 请 你用列举法（画树状图或列表的方法）求取出的两张卡片上的数字之和为 5 的概
23、率 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【答案】见试题解答内容 【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为 5 的情况数占总情况数的多少即可 【解答】解：依题意画出树状图如下 共 6 种情况，数字之和为 5 的情况数有 2 种，P（数字之和为5） 20.已知二次函数 ya（x1）2+h （1）若函数图象经过点 A（0，4） ，B（2，m） ，求 m 的值； （2）当 a0，h0 时，求证：函数图象与 x 轴有两个交点 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】 （1）4； （2）见解答 【分析】
24、 （1）把两个已知点的坐标代入可求出 m 的值； （2）利用抛物线开口向下，顶点在 x 轴上方进行证明 【解答】 （1）解：根据题意得， m4； （2）证明：抛物线 ya（x1）2+h 的顶点坐标为（1，h） ， a0， 图象开口向下， h0， 抛物线的顶点（1，h）在 x 轴上方， 函数图象与 x 轴有 2 个交点 21.如图，ABC 内接于O，AB 为O 的直径，AB5，AC3连接 OC，弦 AD 分别交 OC，BC 于点 E， F，其中点 E 是 AD 的中点 （1）求证：CADCBA （2）求 EF：FD 的值 【考点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心 【专题】几何综合题；几
25、何直观 【答案】 （1）见解答； （2）EF：FD9：7 【分析】 （1）证明：OC 为半径，E 为 AD 中点，则 OCAD，ACCD，即可求解； （2）求出 sinCBA，得到 AEED、AF，进而求解 【解答】 （1）证明：OC 为半径，E 为 AD 中点 OCAD，ACCD， ABCCAD； （2）解：在 RtABC 中，AB5，AC3，则 BC4， sinCBA， sinCAD，则 CE， 则 AEED， cosCBA，则 cosCAD， 则 AF， EFAFAE， 则 FDADAF， EF：FD9：7 22.已知二次函数 y（x+1） （x+3k） （1）若当 x2 时，该函数有最
26、小值，求 k 的值 （2）若二次函数图象向上平移 4 个单位后与 x 轴只有一个交点，求 k 的值 （3）已知 k1，当 xm 时，y 随着 x 的增大而增大，试求出 m 的一个值 【考点】二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；二次函数的最值；抛物线与 x 轴的交点 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】 （1）； （2）1 或； （3）在 m2 任意取一个值，如 m0 【分析】 （1）先二次函数的解析式化为一般式，写出抛物线的对称轴方程，利用二次函数的性质得到 2，然后解方程即可； （2）写出平移后的抛物线解析式，再利用判别式的意义得到（3k+1）24（3k+4）0，然后解关 于
27、 k 的方程； （3）利用 k1 确定抛物线的对称轴在直线 x2 的左侧，根据二次函数的性质得到当 x2 时，y 随着 x 的增大而增大，从而得到 m2 【解答】解： （1）yx2+（3k+1）x+3k， a10， 当 x时，y 有最小值， 即2， 解得 k； （2）二次函数图象向上平移 4 个单位所得抛物线解析式为 yx2+（3k+1）x+3k+4， 根据题意得（3k+1）24（3k+4）0，解得 k11，k2， k 的值为1 或； 后与 x 轴只有一个交点， （3）抛物线 yx2+（3k+1）x+3k 的对称轴为直线 x， k1， 抛物线的对称轴在直线 x2 的左侧， 抛物线开口向上， 当
28、 x2 时，y 随着 x 的增大而增大， m 可以取 0 23.如图，在ABCD 中，点 E 在 AB 上，AEAB，ED 和 AC 相交于点 F，过点 F 作 FGAB，交 AD 于 点 G （1）求 FG：AE 的值 （2）若 AB：AC：2， 求证：AEFACB 求证：DF2DGDA 【考点】相似形综合题 【专题】几何综合题；图形的相似；推理能力 【答案】 （1）； （2）证明见解答过程 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得到 ABCD，ABCD，证明AFECFD，根据相似三角形的 性质得到，再根据DFGDEA 列式计算即可； （2）设 AC2a，根据题意用 a 表示出 AE、AF，证明EAFCAB，根据相似三角形的对应角相 等证明即可； 证明DFGDAF，根据相似三角形的性质列式计算即可证明结论 【解答】 （1）解：四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，ABCD， AEAB， ， ABCD， AFECFD， ， ， FGAB， DFGDEA， ； （2）证明：设 AC2a，则 ABa， AEa， 由（1）可知，AFECFD， ， AFa， ， EAFCAB， EAFCAB， AEFACB； GFAB， DFGDEA， AEFACB， DFGACB， ADAC， ACBFAD， DFGFAD， FDGADF， DFGDAF， ， DF2DGDA