1、2020-2021 学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 题，每小题题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分）每小题都给出分）每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有四个选项，其中只有 一个是符合题目要求的一个是符合题目要求的 1下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A戴口罩讲卫生 B勤洗手勤通风 C有症状早就医 D少出门少聚集 2如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值为（ ） A2 B3 C4 D
2、5 3如图，一个斜边长为 6cm 的红色直角三角形纸片，一个斜边长为 10cm 的蓝色直角三角形纸片，一张黄 色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A30cm2 B40cm2 C50cm2 D60cm2 4如图，ABC 的三个顶点都在 55 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度）的格点上，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转到ABC的位置，且点 A、C仍落在格点上，则线段 AB 扫过的图形的面 积是（ ）平方单位（结果保留 ） A B C D 5成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定 6如图，在平面直角坐标
3、系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点 B 在 x 轴正半轴上，OA， OB 的长分别是一元二次方程 x27x+120 的两个根（OAOB） ，在直线 BC 上取点 P，使PCD 为等 腰三角形，则点 P 的坐标为（ ） A （3，0） B （7，3） C （11，6） D （11，6）或（3，0） 7某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨， 求蔬菜产量的年平均增长率， 设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A80（1+x）2100 B100（1x）280 C80（1+2x）100 D80（1+x2）100
4、8若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0（a0）有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 C2a0 D2a0 9如图，在正三角形网格中，ABC 的顶点都在格点上，点 P，Q，M 的 AB 与格线的交点，则ABC 的 外心是（ ） AP 点 BQ 点 CM 点 DN 点 10如图，四边形 ABCD 为正方形，若 AB4，E 是 AD 边上一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，BE 的中垂线 交 AB 于 M，交 DC 于 N，设 AEx，则图中阴影部分的面积 S 与 x 的大致图象是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，
5、每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 11点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标是 12 如图， A、 B 是双曲线的一个分支上的两点， 且点 B （a， b） 在点 A 的右侧， 则 b 的取值范围是 13设 ab2+，bc2，则 2a2+2b2+2c22ab2ac2bc 14已知O 的两条半径 OA 与 OB 相互垂直，C 为优弧 AB 上一点，且满足 AB2+OB2BC2，则OAC 度 三解答题（共三解答题（共 90 分分） 15解方程：x22x150 16如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（3，2） ， （1）画出平面直角坐
6、标系 （2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标 17.杨辉算法中有这么一道题： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一 块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多了多少步？ 18.如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，4） ，且经过点 A（4，5） （1）求该二次函数的表达式； （2）点 P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点 P 到 y 轴的距离不大于 4，请根据图象直接写出 n 的 取值范围 19.如图，一次函数 yx+b 的图象与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，与反比例函数
7、 y的图象交于点 E（1，5）和点 F （1）求 k，b 的值以及点 F 的坐标； （2）求EOF 的面积； （3）请根据函数图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的范围 20.如图，在ABC 中，C90，ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E，过点 E 作直线 BE 的垂线交 AB 于点 F，O 是BEF 的外接圆 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EHAB 于点 H，求证：EF 平分AEH； （3）求证：CDHF 21.市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分 比） ，进行随机抽样调查，分为四个类别：A非常满
8、意；B满意；C基本满意；D不满意依据调 查数据绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） 根据以上信息，解答下列问题： （1）将图 1 补充完整； （2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是 ； （3）市扶贫办从该县甲乡镇 3 户、乙乡镇 2 户共 5 户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两 户贫困户恰好都是同一乡镇的概率 22.某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球， 规定试销期间单价不低于成本价， 且获利不得高于 40% 经 试销发现，销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足如图所示的一次函数关系 （1）试确定 y 与 x 之间的函数关系式； （
9、2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润 Q 元，试写出利润 Q（元）与销售单价 x（元）之 间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ （3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于 600 元，请确定销售单价 x 的取值范围 23.如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，现将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得 到CBE（点 A 的对应点为点 C） ，延长 AE 交 CE于点 F （1）如图 1，求证：四边形 BEFE是正方形； （2）连接 DE， 如图 2，若 DADE，求证：F 为 CE的中点； 如图 3，若 AB
10、15，CF3，试求 DE 的长 2020-2021 学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷学年安徽省芜湖市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A戴口罩讲卫生 B勤洗手勤通风 C有症状早就医 D少出门少聚集 【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意； D、
11、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C 2如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值根据垂径定理和勾股定理求解 【解答】解：根据垂线段最短知，当 OMAB 时，OM 有最小值， 此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点， 连接 OA，AMAB4， 由勾股定理知，OM3 故选：B 3如图，一个斜边长为 6cm 的红色直角三角形纸片，一个斜边长为 10cm 的蓝色直角三角形纸片，一张黄 色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则
12、红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A30cm2 B40cm2 C50cm2 D60cm2 【分析】如图，因为 DFDE，AFDDEB90，所以将三角形 DEB 绕点 D 逆时针旋转 90后， 得到FDT，此时 A，F，T 共线，证明ADT90，求出ADT 的面积即可 【解答】解：如图，因为 DFDE，AFDDEB90，所以将三角形 DEB 绕点 D 逆时针旋转 90 后，得到FDT，此时 A，F，T 共线 EDF90， ADF+EDB90， EDBFDT， ADF+FDT90 红、蓝两张纸片的面积之和ADT 的面积10630 故选：A 4如图，ABC 的三个顶点都在 55 的网格（每个小正方形
13、的边长均为 1 个单位长度）的格点上，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转到ABC的位置，且点 A、C仍落在格点上，则线段 AB 扫过的图形的面 积是（ ）平方单位（结果保留 ） A B C D 【分析】 在 RtABC 中， 由勾股定理求 AB， 观察图形可知， 线段 AB 扫过的图形为扇形， 旋转角为 90， 根据扇形面积公式求解 【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理，得 AB， 由图形可知，线段 AB 扫过的图形为扇形 ABA，旋转角为 90， 线段 AB 扫过的图形面积 故选：B 5成语“水中捞月”所描述的事件是（ ） A必然事件 B随机事件 C不可能事件 D无法确定 【分析】根据必
14、然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可 【解答】解：水中捞月是不可能事件， 故选：C 6如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，顶点 B 在 x 轴正半轴上，OA， OB 的长分别是一元二次方程 x27x+120 的两个根（OAOB） ，在直线 BC 上取点 P，使PCD 为等 腰三角形，则点 P 的坐标为（ ） A （3，0） B （7，3） C （11，6） D （11，6）或（3，0） 【分析】根据正方形的性质，点 P 与点 B 重合时，PCD 为等腰三角形；点 P 为点 B 关于点 C 的对称 点时，PCD 为等腰三角形，然后求解即可 【解答
15、】解：x27x+120， 解得 x13，x24， OAOB， OA4，OB3， ABBC5， 过点 C 作 CMx 轴于点 M， 四边形 ABCD 是正方形， BCAB，ABC90， CBM+OBA90，ABO+OAB90， OABCBM， CMOB， BMC90AOB， 在BCM 和ABO 中， ， BCMABO（AAS） ， CMOB3，BMOA4， OM7， C（7，3） ， 点 P 与点 B 重合时，P1（3，0） ， 点 P 与点 B 关于点 C 对称时，点 C 是 BP 的中点，设 P（x，y） ， 7，3， x11，y6， 则 P2（11，6） 故选：D 7某种植基地 2016
16、年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨， 求蔬菜产量的年平均增长率， 设蔬菜产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（ ） A80（1+x）2100 B100（1x）280 C80（1+2x）100 D80（1+x2）100 【分析】利用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，设平均每次增长的百分率为 x，根据“从 80 吨 增加到 100 吨” ，即可得出方程 【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为 x， 根据 2016 年蔬菜产量为 80 吨，则 2017 年蔬菜产量为 80（1+x）吨 ，2018 年蔬菜产量为 80（1+x） （1+x）吨，预计 2018
17、 年蔬菜产量达到 100 吨， 即：80（1+x） （1+x）100 或 80（1+x）2100 故选：A 8若关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0（a0）有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa2 Ba2 C2a0 D2a0 【分析】由关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0（a0）有两个不相等的实数根可得b24ac22 4a（）4+2a0，解不等式即可求出 a 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2x0（a0）有两个不相等的实数根， b24ac224a（）4+2a0， 解得：a2， a0， 2a0 故选：C 9如图，在正三角形网格中，ABC 的顶点都
18、在格点上，点 P，Q，M 的 AB 与格线的交点，则ABC 的 外心是（ ） AP 点 BQ 点 CM 点 DN 点 【分析】首先证明ACB 是直角三角形，根据直角三角形的外心是斜边的中点即可解决问题 【解答】解：由题意可知，BCN60，ACN30， ACBACN+BCN90， ABC 是直角三角形， ABC 的外心是斜边 AB 的中点， 点 Q 是 AB 中点， ABC 的外心是点 Q， 故选：B 10如图，四边形 ABCD 为正方形，若 AB4，E 是 AD 边上一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，BE 的中垂线 交 AB 于 M，交 DC 于 N，设 AEx，则图中阴影部分的面积 S
19、 与 x 的大致图象是（ ） A B C D 【分析】根据 ABCD 是正方形，可以证明 BEMN，阴影部分的面积等于正方形 ABCD 的面积减去四边 形 MBNE 的面积，得到 S 关于 x 的二次函数，然后确定函数的大致图形 【解答】解：在ABE 中，BE， ABCD 是正方形， BEMN， S四边形MBNEBEMNx2+8， 阴影部分的面积 S16（x2+8）x2+8 根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是 Y 轴，顶点是（0，8） ，自变量的取 值范围是 0 x4 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 11点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标
20、是 （1，2） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案 【解答】解：点 A（1，2）关于原点对称点 B 的坐标是（1，2） ， 故答案为： （1，2） 12如图，A、B 是双曲线的一个分支上的两点，且点 B（a，b）在点 A 的右侧，则 b 的取值范围是 0 b2 【分析】先把 A（1，2）代入求出双曲线的函数的表达式，再根据反比例函数的性质求出 b 的取值 范围 【解答】解：由双曲线过 A（1，2） ，则 k2， B 在双曲线上， ab2，b， 当 a1 时，0b2 故答案为：0b2 13设 ab2+，bc2，则 2a2+2b2+2c22ab2ac2bc 3
21、0 【分析】将 ab2+和 bc2相加，得到 ac4，再将 2a2+2b2+2c22ab2ac2bc 转化 成关于 ab，bc，ac 的完全平方的形式，再将 ab2+，bc2和 ac4 整体代入即 可 【解答】解：ab2+，bc2， 两式相加得 ac4， 原式a22ab+b2+a22ac+c2+b22bc+c2 （ab）2+（ac）2+（bc）2 （2+）2+42+（2）2 7+4+16+74 30 故答案为：30 14已知O 的两条半径 OA 与 OB 相互垂直，C 为优弧 AB 上一点，且满足 AB2+OB2BC2，则OAC 15 或 75 度 【分析】先设圆的半径是 r，作直径 BD，作
22、 BC 关于直径 BD 的对称线段 BE，连接 EC，BE，ED，AC， 再由直角三角形的性质即可解答 【解答】解：如图，设圆的半径是 r， 则 ABr，OBr，BCr， cosCBD CBD30，而BCAAOB45， 在ABC 中，OAC180ABOCBDACBBAO15 作直径 BD，作 BC 关于直径 BD 的对称线段 BE，连接 EC，BE，ED，AC，CD，OE， 在直角BED 中，可以得EBD30，EOD60，AOE30， OAE18030）75 故答案为：15 或 75 三解答题三解答题 15解方程：x22x150 【分析】利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，利用两数相乘积
23、为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解 【解答】解：x22x150， 分解因式得： （x5） （x+3）0， 可得 x50 或 x+30， 解得：x15，x23 16如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（3，2） ， （1）画出平面直角坐标系 （2）仅用一把无刻度的直尺，利用网格，找出该圆弧的圆心，并直接写出圆心的坐标 【分析】 （1）根据点 A 的坐标为（3，2）即可确定平面直角坐标系； （2）利用网格即可画出线段的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而即可写出圆心坐标 【解答】解：
24、 （1）直角坐标系如图； （2）画法如图： 结论：点 P 就是所求圆心 圆心坐标为（2，1） 17.杨辉算法中有这么一道题： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一 块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它的长与宽共 60 步，问它的长比宽多了多少步？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】应用题；一次方程（组）及应用 【答案】见试题解答内容 【分析】设矩形的长为 x 步，则宽为（60 x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果 【解答】解：设矩形的长为 x 步，则宽为（60 x）步， 依题意得：x（60 x）864， 整理得：x260 x+8640， 解得
25、：x36 或 x24（不合题意，舍去） ， 60 x603624（步） ， 362412（步） ， 则该矩形的长比宽多 12 步 18.如图，已知某二次函数的顶点坐标是（1，4） ，且经过点 A（4，5） （1）求该二次函数的表达式； （2）点 P（m，n）是该二次函数图象上一点，若点 P 到 y 轴的距离不大于 4，请根据图象直接写出 n 的 取值范围 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式 【专题】二次函数图象及其性质；应用意识 【答案】 （1）yx22x3； （2）4n21 【分析】 （1）利用待定系数法可求解析式； （2）由题意可得4m4，由二次
26、函数的性质可求解 【解答】解： （1）二次函数的顶点坐标是（1，4） ， 设抛物线的解析式为 ya（x1）24， 二次函数的图象经过点 A（4，5） 59a4， a1， 二次函数的表达式为 y（x1）24x22x3； （2）由题意可得点 P 到 y 轴的距离为|m|， 则4m4， 点 P（m，n）是该二次函数 yx22x3 的图象上一点， 4n21 19.如图，一次函数 yx+b 的图象与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点，与反比例函数 y的图象交于点 E（1，5）和点 F （1）求 k，b 的值以及点 F 的坐标； （2）求EOF 的面积； （3）请根据函数图象直接写出反比例函数值
27、大于一次函数值时 x 的范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】反比例函数及其应用；运算能力 【答案】 （1）b6，k5， （5，1） ； （2）12； （3）0 x1 或 x5 【分析】 （1）根据待定系数法即可求得； （2）由一次函数的解析式求得 C 点的坐标，进而求得 CF4，一次函数的解析式和反比例函数的解析 式联立方程求得交点 A、B 的坐标，然后根据 SABFSACF+SBCF求得即可； （3）根据函数图象即可写出反比例函数值大于一次函数值时 x 的范围 【解答】解： （1）将点 E（1，5）代入 yx+b 和 y，得 b6，k5， 由题意，联立方程组得， ， 解得或
28、， 点 F 的坐标为（5，1） ； （2）一次函数 yx+b 的图象与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交于 B 点， A（6，0） ，B（0，6） ， SEOFSAOBSAOFSBOE6616118612； （3）观察函数图象可知： 反比例函数值大于一次函数值时 x 的范围为： 0 x1 或 x5 20.如图，在ABC 中，C90，ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E，过点 E 作直线 BE 的垂线交 AB 于点 F，O 是BEF 的外接圆 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）过点 E 作 EHAB 于点 H，求证：EF 平分AEH； （3）求证：CDHF 【考点】切线的判定与性质
29、【专题】圆的有关概念及性质 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）连接 OE，由于 BE 是角平分线，则有CBEOBE；而 OBOE，就有OBEOEB， 等量代换有OEBCBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得 OEBC；又C90，所以 AEO90，即 AC 是O 的切线； （2）根据等角的余角相等即可证明； （3）连接 DE，先根据 AAS 证明CDEHFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出 CDHF 【解答】 （1）证明：如图，连接 OE BEEF，BEF90， BF 是圆 O 的直径， OBOE， OBEOEB， BE 平分ABC， CBEOBE， OEBCBE， OEBC， A
30、EOC90， AC 是O 的切线； （2）证明：CBHE90，EBCEBA， BECBEH， BF 是O 是直径， BEF90， FEH+BEH90，AEF+BEC90， FEHFEA， FE 平分AEH （3）证明：如图，连接 DE BE 是ABC 的平分线，ECBC 于 C，EHAB 于 H， ECEH CDE+BDE180，HFE+BDE180， CDEHFE， CEHF90， CDEHFE（AAS） ， CDHF， 21.市扶贫办为了全面了解某贫困县对扶贫工作的满意度情况（即达到基本满意及以上的户数占总体的百分 比） ，进行随机抽样调查，分为四个类别：A非常满意；B满意；C基本满意；D
31、不满意依据调 查数据绘制成图 1 和图 2 的统计图（不完整） 根据以上信息，解答下列问题： （1）将图 1 补充完整； （2）通过分析，贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是 ； （3）市扶贫办从该县甲乡镇 3 户、乙乡镇 2 户共 5 户贫困户中，随机抽取两户进行满意度回访，求这两 户贫困户恰好都是同一乡镇的概率 【考点】条形统计图；列表法与树状图法 【专题】统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；推理能力 【答案】 （1）将图 1 补充完整见解析； （2）95%； （3） 【分析】 （1）先由 A 类别户数和所占百分比求得样本总量，再根据各类别户数和等于总户数求得 C 的数
32、 量即可补全图形； （2）用 A、B、C 户数和除以总户数即可得； （3）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得 【解答】解： （1）被调查的总户数为 6060%100（户） ， C 类别户数为 100（60+20+5）15（户） ， 补全图形如下： （2）贫困户对扶贫工作的满意度（A、B、C 类视为满意）是100%95%， 故答案为：95%； （3）画树状图如下： 由树状图知共有 20 种等可能结果，其中这两户贫困户恰好都是同一乡镇的有 8 种结果， 这两户贫困户恰好都是同一乡镇的概率为 22.某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球， 规定试销期间单价不低于成本价， 且获利
33、不得高于 40% 经 试销发现，销售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足如图所示的一次函数关系 （1）试确定 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润 Q 元，试写出利润 Q（元）与销售单价 x（元）之 间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？ （3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于 600 元，请确定销售单价 x 的取值范围 【考点】一次函数的应用；二次函数的应用 【专题】应用题；数形结合 【答案】见试题解答内容 【分析】 （1）利用待定系数法将图中点的坐标求出一次函数解析式即可； （2）根据利润（售价成
34、本）销售量列出函数关系式； （3）令函数关系式 Q600，解得 x 的范围，利用“获利不得高于 40%”求得 x 的最大值，得出销售单 价 x 的范围 【解答】解： （1）设 ykx+b，根据题意得： 解得：k1，b120 所求一次函数的表达式为 yx+120 （2）利润 Q 与销售单价 x 之间的函数关系式为：Q（x50） （x+120）x2+170 x6000； Qx2+170 x6000（x85）2+1225； 成本为 50 元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于 40% 50 x70， 当试销单价定为 70 元时，该商店可获最大利润，最大利润是 1000 元 （3）依题
35、意得：x2+170 x6000600， 解得：60 x110， 获利不得高于 40%， 最高价格为 50（1+40%）70， 故 60 x70 的整数 23.如图 1，点 E 为正方形 ABCD 内一点，AEB90，现将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90，得 到 CBE （ 点A的 对 应 点 为 点C ） ， 延 长AE交CE 于 点 F （1）如图 1，求证：四边形 BEFE是正方形； （2）连接 DE， 如图 2，若 DADE，求证：F 为 CE的中点； 如图 3，若 AB15，CF3，试求 DE 的长 【考点】四边形综合题 【专题】几何综合题；矩形 菱形 正方形；平移、旋转
36、与对称；运算能力；推理能力 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； 3 【分析】 （1）由旋转的性质可得AEBCEB90，BEBE，EBE90，由正方形的判定可证 四边形 BEFE 是正方形； （2）过点 D 作 DHAE 于 H，由等腰三角形的性质可得 AHAE，DHAE，由“AAS”可得ADH BAE，可得 AHBEAE，由旋转的性质可得 AECE，可得结论； 利用勾股定理可求 BEBE9，再利用勾股定理可求 DE 的长 【解答】 （1）证明：将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AEBCEB90，BEBE，EBE90， 又BEF90， 四边形 BEFE 是
37、矩形， 又BEBE， 四边形 BEFE 是正方形； （2）证明：如图 2，过点 D 作 DHAE 于 H， DADE，DHAE， AHAE， ADH+DAH90， 四边形 ABCD 是正方形， ADAB，DAB90， DAH+EAB90， ADHEAB， 又ADAB，AHDAEB90， ADHBAE（AAS） ， AHBEAE， 将 RtABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90， AECE， 四边形 BEFE 是正方形， BEEF， EFCE， CFEF， F 为 CE的中点； 解：如图 3，过点 D 作 DHAE 于 H， 四边形 BEFE 是正方形， BEEFBE， ABBC15，CF3，BC2EB2+EC2， 225EB2+（EB+3）2， EB9BE， CECF+EF12， 由（2）可知：BEAH9，DHAECE12， HE3， DE3