1、 专题专题 09 不等式与不等式组不等式与不等式组 知识点知识点 1 1：不等式：不等式 1.用符号“”“”“ ”“”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.不等式的性质： 不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 知识点知识点 2 2：一元一次不等式：一元
2、一次不等式 一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，像这样的 不等式，叫做一元一次不等式。 知识点知识点 3 3：一元一次不等式组：一元一次不等式组 一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不 等式组。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体 会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增 强创新精神和应用数学的意识。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020新疆新疆）不等式组 2( 2) 2
3、， +2 2 +3 3 的解集是（ ） A0 x2 B0 x6 Cx0 Dx2 【答案】A 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 2( 2) 2 +2 2 +3 3 ， 解不等式，得：x2， 解不等式，得：x0， 则不等式组的解集为 0 x2。 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020连云港）连云港）不等式组2 1 3， + 12 的解集在数轴上表示为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可 解不等式 2x13，得：x2， 解不等式x+12，得：x1， 不等式
4、组的解集为 1x2， 表示在数轴上如下： 【例题【例题 3 3】 （】 （20202020凉山州）凉山州）若不等式组 23( 3) + 1 3+2 4 + 恰有四个整数解，则a的取值范围是 【答案】 11 4 a 5 2 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有 4 个整数解可得关于a的不等式组，解不等式组 可得a的范围 解不等式 2x3（x3）+1，得：x8， 解不等式3+2 4 x+a，得：x24a， 不等式组有 4 个整数解， 1224a13， 解得： 11 4 a 5 2 【例题【例题 4 4】 （】 （20202020北京）北京）解不等式组： 5 32， 21 3 2 【答
5、案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式 5x32x，得：x1， 解不等式21 3 2，得：x2， 则不等式组的解集为 1x2 【例题【例题 5 5】 （】 （20202020济宁）济宁）为加快复工复产，某企业需运输一批物资据调查得知，2 辆大货车与 3 辆小货车 一次可以运输 600 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱 （1）求 1 辆大货车和 1 辆小货车一次可以分别运输多少箱物资； （2）计划用两种货车共 12 辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 5000 元，每
6、辆小货车一次需费用 3000 元若运输物资不少于 1500 箱，且总费用小于 54000 元请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费 用最少最少费用是多少？ 【答案】见解析。 【分析】 （1）设 1 辆大货车一次运输x箱物资，1 辆小货车一次运输y箱物资，由“2 辆大货车与 3 辆小货 车一次可以运输 600 箱；5 辆大货车与 6 辆小货车一次可以运输 1350 箱” ，可列方程组，即可求解； （2）设有a辆大货车， （12a）辆小货车，由“运输物资不少于 1500 箱，且总费用小于 54000 元”可列 不等式组，可求整数a的值，即可求解 【解析】 （1）设 1 辆大货车一次运输x箱物资
7、，1 辆小货车一次运输y箱物资， 由题意可得：2 + 3 = 600 5 + 6 = 1350， 解得： = 150 = 100， 答：1 辆大货车一次运输 150 箱物资，1 辆小货车一次运输 100 箱物资， （2）设有a辆大货车， （12a）辆小货车， 由题意可得：150 + 100(12 ) 1500 5000 + 3000(12 )54000， 6a9， 整数a6，7，8； 当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用50006+3000648000 元， 当有 7 辆大货车，5 辆小货车时，费用50007+3000550000 元， 当有 8 辆大货车，4 辆小货车时，费用50008+
8、3000452000 元， 480005000052000， 当有 6 辆大货车，6 辆小货车时，费用最小，最小费用为 48000 元 不等式与不等式组单元精品检测试卷不等式与不等式组单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3636 分）分） 1 （20202020株洲）株洲）下列哪个数是不等式 2（x1）+30 的一个解？（ ） A3 B 1 2 C1 3 D2 【答案】A 【解析】首先求出不等式的解集，然后判断哪个数在其解集范围之内即可 解不等式 2（x1）+30，得
9、 1 2， 因为只有3 1 2，所以只有3 是不等式 2（x1）+30 的一个解， 2 （20202020贵阳）贵阳）已知ab，下列式子不一定成立的是（ ） Aa1b1 B2a2b C1 2a+1 1 2b+1 Dmamb 【答案】D 【解析】根据不等式的基本性质进行判断 A.在不等式ab的两边同时减去 1，不等号的方向不变，即a1b1，原变形正确，故此选项不符合题 意； B.在不等式ab的两边同时乘以2，不等号方向改变，即2a2b，原变形正确，故此选项不符合题 意； C.在不等式ab的两边同时乘以1 2，不等号的方向不变，即 1 2a 1 2b，不等式 1 2a 1 2b 的两边同时加上 1
10、，不 等号的方向不变，即1 2a+1 1 2b+1，原变形正确，故此选项不符合题意； D.在不等式ab的两边同时乘以m，不等式不一定成立，即mamb，或mamb，或mamb，原变形不正 确，故此选项符合题意 3 （20202020株洲）株洲）在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（ ） A1 B 3 2 C4 3 D4 或4 【答案】B 【解析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可 点A（a，2）是第二象限内的点， a0， 四个选项中符合题意的数是 3 2 4 （20202020衢州）衢州）不等式组3( 2) 4 32 1 的解集在数轴上
11、表示正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集，再在数轴上表示出来即 可求解 3( 2) 4 32 1 ， 由得x1； 由得x1； 故不等式组的解集为1x1， 在数轴上表示出来为： 5 （20202020苏州）苏州）不等式 2x13 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可 移项得，2x3+1， 合并同类项得，2x4， x的系数化为 1 得，x2 在数轴上表示为： 6 （20202020广元）广元）关于x的不等式 0 7 21的整数解只有 4 个，则
12、m的取值范围是（ ） A2m1 B2m1 C2m1 D3m2 【答案】C 【解析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得出关于m的不等式组，求出不等式组的 解集即可 不等式组整理得： 3 ， 解集为mx3， 由不等式组的整数解只有 4 个，得到整数解为 2，1，0，1， 2m1 7 （20202020天水）天水）若关于x的不等式 3x+a2 只有 2 个正整数解，则a的取值范围为（ ） A7a4 B7a4 C7a4 D7a4 【答案】D 【解析】 先解不等式得出x 2 3 ， 根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2， 据此得出2 2 3 3， 解之可得答案 3x+a2， 3
13、x2a， 则x 2 3 ， 不等式只有 2 个正整数解， 不等式的正整数解为 1、2， 则 2 2 3 3， 解得：7a4 8 （20202020广东）广东）不等式组2 3 1， 1 2( + 2)的解集为（ ） A无解 Bx1 Cx1 D1x1 【答案】D 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式 23x1，得：x1， 解不等式x12（x+2） ，得：x1， 则不等式组的解集为1x1 9 （20202020重庆）重庆）小明准备用 40 元钱购买作业本和签字笔已知每个作业本 6 元，每支签字笔 2.2 元，小
14、 明买了 7 支签字笔，他最多还可以买的作业本个数为（ ） A5 B4 C3 D2 【答案】B 【解析】设还可以买x个作业本，根据总价单价数量结合总价不超过 40 元，即可得出关系x的一元一 次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论 设还可以买x个作业本， 依题意，得：2.27+6x40， 解得：x4 1 10 又x为正整数， x的最大值为 4 10 （20202020杭州）杭州）若ab，则（ ） Aa1b Bb+1a Ca+1b1 Da1b+1 【答案】C 【解析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C A、设a0.5，b0.4，ab，但是a1b，不符合题意； B、设a
15、3，b1，ab，但是b+1a，不符合题意； C、ab，a+1b+1，b+1b1，a+1b1，符合题意； D、设a0.5，b0.4，ab，但是a1b+1，不符合题意 11.(201911.(2019 甘肃省陇南市甘肃省陇南市) )不等式 2x+93（x+2）的解集是（ ） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3 【答案】A 【解析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为 1 即可 去括号，得 2x+93x+6， 移项，合并得x3 系数化为 1，得x3。 【点拨】本题属于一元一次不等式的解集问题。 12.从3， 1， ， 1， 3 这五个数中， 随机抽取一个数， 记为a， 若数a使关于x的不等式组 无
16、解，且使关于x的分式方程=1 有整数解，那么这 5 个数中所有满足条件的a的值之和是 （ ） A3 B2 C D 【答案】B 【解析】根据不等式组无解，求得a1，解方程得x=，于是得到a=3 或 1，即可 得到结论 解：得， 不等式组无解， a1， 解方程=1 得x=， x=为整数，a1， a=3 或 1， 所有满足条件的a的值之和是2 【点评】本题属于不等式无解的问题，但也考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方 程和一元一次不等式组的方法是解题的关键 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 13 （20202020鄂州）鄂州）关于x的不等式
17、组24 5 0的解集是 【答案】2x5 【解析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分24 5 0 由得：x2， 由得：x5， 所以不等式组的解集为：2x5， 故答案为 2x5 14.14.（20192019铜仁）铜仁）如果不等式组的解集是xa4，则a的取值范围是 【答案】a3 【解析】解这个不等式组为xa4， 则 3a+2a4， 解这个不等式得a3 故答案a3 【点拨】本题属于明确不等式组解集，求范围问题。 15 （20202020攀枝花）攀枝花）世纪公园的门票是每人 5 元，一次购门票满 40 张，每张门票可少 1 元若少于 40 人 时，一个团队至少要有 人进公园，买 40
18、张门票反而合算 【答案】33 【解析】先求出购买 40 张票，优惠后需要多少钱，然后再利用 5x160 时，求出买到的张数的取值范围再 加上 1 即可 设x人进公园， 若购满 40 张票则需要：40（51）404160（元） ， 故 5x160 时， 解得：x32， 则当有 32 人时，购买 32 张票和 40 张票的价格相同， 则再多 1 人时买 40 张票较合算； 32+133（人） 则至少要有 33 人去世纪公园，买 40 张票反而合算 16 （20202020岳阳）岳阳）不等式组 + 3 0， 10 的解集是 【答案】3x1 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小
19、取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式x+30，得：x3， 解不等式x10，得：x1， 则不等式组的解集为3x1 17 （20202020黑龙江）黑龙江）若关于x的一元一次不等式组 10 2 0有 2 个整数解，则 a的取值范围是 【答案】6a8 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式 组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案 解不等式x10，得：x1， 解不等式 2xa0，得：x 2， 则不等式组的解集为 1x 2， 不等式组有 2 个整数解， 不等式组的整数解为 2、3， 则 3 2 4， 解得 6
20、a8 18 （20202020滨州）滨州）若关于x的不等式组 1 2 0， 4 2 0 无解，则a的取值范围为 【答案】a1 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得答案 解不等式1 2xa0，得：x2a， 解不等式 42x0，得：x2， 不等式组无解， 2a2， 解得a1 19 （20202020哈尔滨）哈尔滨）不等式组 3 1， 3 + 52 的解集是 【答案】x3 【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 3 1 3 + 52 ， 由得，x3； 由得，x1， 故此不等式组的解集为：x3 20 （20202020黔东南州）黔东南州）不等式组 5 13(
21、+ 1) 1 2 1 4 1 3 的解集为 【答案】2x6 【解析】先根据解不等式的基本步骤求出每个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可确定不等式组 的解集 解不等式 5x13（x+1） ，得：x2， 解不等式1 2x14 1 3x，得：x6， 则不等式组的解集为 2x6 21 （20202020遂宁）遂宁）若关于x的不等式组 2 4 1 3 2 2 有且只有三个整数解，则m的取值范围是 【答案】1m4 【解析】解不等式组得出其解集为2x +2 3 ，根据不等式组有且只有三个整数解得出 1 +2 3 2，解 之可得答案 解不等式2 4 1 3 ，得：x2， 解不等式 2xm2x，得：x +
22、2 3 ， 则不等式组的解集为2x +2 3 ， 不等式组有且只有三个整数解， 1 +2 3 2， 解得 1m4 22 （20202020黔西南州）黔西南州）不等式组 2 63， +2 5 1 4 0的解集为 【答案】6x13 【解析】首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可 2 63 +2 5 1 4 0， 解得：x6， 解得：x13， 不等式组的解集为：6x13 三、解答题三、解答题（8 8 个小题，共个小题，共 5454 分）分） 23 （5 分） （20202020武威）武威）解不等式组：3 5 + 1 2(2 1) 3 4，并把它的解集在数轴上表示出来 【答案】见解析
23、。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无 解了确定不等式组的解集 解不等式 3x5x+1，得：x3， 解不等式 2（2x1）3x4，得：x2， 则不等式组的解集为2x3， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 24 （5 分） （20202020上海）上海）解不等式组： 107 + 6， 1 +7 3 【答案】见解析。 【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解 107 + 6 1 +7 3 ， 解不等式得x2， 解不等式得x5 故原不等式组的解集是 2x5 25 （5 分） （20202020扬州）扬州）解不
24、等式组 + 5 0， 31 2 2 + 1，并写出它的最大负整数解 【答案】见解析。 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小确定不等式组的解集，从而得出答案 解不等式x+50，得x5， 解不等式31 2 2x+1，得：x3， 则不等式组的解集为x5， 所以不等式组的最大负整数解为5 26 （6 分） （20202020苏州）苏州）如图， “开心”农场准备用 50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长 为a（m） ，宽为b（m） （1）当a20 时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为 18a26，求b的取值范围 【答案】见解析。 【分析】 （1）由护栏的总
25、长度为 50m，可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）由a的取值范围结合a502b，即可得出关于b的一元一次不等式，解之即可得出结论 【解析】 （1）依题意，得：20+2b50， 解得：b15 （2）18a26，a502b， 50 2 18 50 2 26， 解得：12b16 答：b的取值范围为 12b16 27 （6 分） （20202020辽阳）辽阳）某校计划为教师购买甲、乙两种词典已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共 需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元 （1）求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？ （2） 学校计划购买
26、甲种词典和乙种词典共 30 本， 总费用不超过 1600 元， 那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】见解析。 【分析】 （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元，购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元” ，即可得出关于x，y的二元一次 方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30m）本，根据总价单价数量结合总费用不超过 1600 元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论 【解析】 （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y
27、元， 依题意，得： + 2 = 170 2 + 3 = 290， 解得： = 70 = 50 答：每本甲种词典的价格为 70 元，每本乙种词典的价格为 50 元 （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典（30m）本， 依题意，得：70m+50（30m）1600， 解得：m5 答：学校最多可购买甲种词典 5 本 28 （8 分） （20202020长沙）长沙）今年 6 月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的 影响 “一方有难，八方支援” ，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严 重的地区具体运输情况如下： 第一批 第二批 A型货车的辆数（
28、单位：辆） 1 2 B型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨） 28 50 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 （1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了 62.4 吨生活物资，现已联系了 3 辆A种型号货车试问至少还需联系多少辆B种 型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？ 【答案】见解析。 【分析】 （1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，根据 前两批具体运算情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物
29、资运往目的地，根据要求一次性运送 62.4 吨 生活物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论 【解析】 （1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资， 依题意，得： + 3 = 28 2 + 5 = 50， 解得： = 10 = 6 答：A种型号货车每辆满载能运 10 吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运 6 吨生活物资 （2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意，得：103+6m62.4， 解得：m5.4， 又m为正整数， m的最小值为 6 答：至少还需联系 6 辆B种型号货车才能一次性将
30、这批生活物资运往目的地 29 （9 分） （20202020菏泽）菏泽）今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在 不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材已知购买 2 根跳绳和 5 个毽子 共需 32 元；购买 4 根跳绳和 3 个毽子共需 36 元 （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是 54，且购买的总费用不能超过 260 元；若要求购买跳绳的数量多 于 20 根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案 【答案】见解析。 【分析】 （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据“购
31、买 2 根跳绳和 5 个毽子共需 32 元；购买 4 根跳绳和 3 个毽子共需 36 元” ，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m根跳绳，则购买（54m）个毽子，根据购买的总费用不能超过 260 元且购买跳绳的数量多 于 20 根，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各 购买方案 【解析】 （1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元， 依题意，得：2 + 5 = 32 4 + 3 = 36， 解得： = 6 = 4 答：购买一根跳绳需要 6 元，购买一个毽子需要 4 元 （2）设购买m根跳绳，则购买（54m
32、）个毽子， 依题意，得：6 + 4(54 ) 260 20 ， 解得：20m22 又m为正整数， m可以为 21，22 共有 2 种购买方案，方案 1：购买 21 根跳绳，33 个毽子；方案 2：购买 22 根跳绳，32 个毽子 30 （10 分） （20202020自贡）自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微” ，数形结合是 解决数学问题的重要思想方法例如，代数式|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与 2 所对应的点之 间的距离：因为|x+1|x（1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1 所对应的点之 间的距离 （1）发现问题：代数式|x+1|+|
33、x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， 当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 ； 利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x1|4； 当a为何值时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是 2 【答案】见解析。 【分析】观察阅读材料中的（1）和（2） ，总结出求最值方法； （3）原式变形2 和 4 距离x最小值为 4（2）6； 根据题意画出相应的图形，确定出所求
34、不等式的解集即可； 根据原式的最小值为 2，得到 3 左边和右边，且到 3 距离为 2 的点即可 【解析】 （1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3 |x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和， 当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3 |x+1|+|x2|的最小值是 3 （3）解决问题： |x4|+|x+2|的最小值是 6； 故答案为：6； 如图所示，满足|x+3|+|x1|4 的x范围为x3 或x1； 当a为1 或5 时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是 2