1、 专题专题 03 一元一次方程一元一次方程 知识点知识点 1 1：一元一次方程的概念：一元一次方程的概念 1一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程 是一元一次方程. 2一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）. 知识点知识点 2 2：一元一次方程解法的一般步骤：一元一次方程解法的一般步骤 （1）整理方程； （2）去分母； （3）去括号； （4）移项； （5）合并同类项； （6）系数化为 1。 （检验方程的解） 知识点知识点 3 3：列一元一次方程解应用题 （1）读题分析法: 多用于“和，差，倍，分问
2、题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少， 配套-” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填 入代数式，得到方程. （2）画图分析法: 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形 各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量 与量之间的关系（可把未知数看做已知量） ，填入有关的代数式是获得方程的基础. 本章内容是代数学的基础核心。能做到熟练解方程、列方程。列方程是难点，需要学生综
3、合能力。列方 程解应用题需要对下面常用公式熟练掌握，在理解的基础上，灵活对公式进行变形。 （1）行程问题： 距离=速度时间 （2）工程问题： 工作量=工效工时 （3）比率问题： 部分=全体比率 （4）顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题： 售价=定价折 10 1 ，利润=售价-成本， %100 成本 成本售价 利润率； （6）周长、面积、体积问题： C圆=2R，S圆=R 2， C长方形=2(a+b)， S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a 2， S环形=(R 2-r2), V长方体=abc ，V正方体=a 3，V 圆柱=R 2
4、h ，V 圆锥= 3 1 R 2h. （7）其它问题。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020株洲）株洲）关于x的方程 3x8x的解为x 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为 1，即可求出解 【解析】方程 3x8x， 移项，得 3xx8， 合并同类项，得 2x8 解得x4 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020凉山州）凉山州）解方程：x 2 2 =1+ 21 3 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可 【解析】去分母，得：6x3（x2）6+2（2x1） ， 去括号，得：6x3x+66+4x2， 移项，得：6x3x4x662， 合并同类项
5、，得：x2， 系数化为 1，得：x2 【例题【例题 3 3】 （】 （20202020内江）内江）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索， 索比竿子长一托 折回索子却量竿， 却比竿子短一托 ” 其大意为： 现有一根竿和一条绳索， 用绳索去量竿， 绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长x尺则符合题意的方程 是（ ） A1 2x（x5）5 B1 2x（x+5）+5 C2x（x5）5 D2x（x+5）+5 【答案】A 【分析】设绳索长x尺，则竿长（x5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺” ，即可得出 关于x的一元一次方
6、程，此题得解 【解析】设绳索长x尺，则竿长（x5）尺， 依题意，得：1 2x（x5）5 一元一次方程单元精品检测试卷一元一次方程单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每题小题，每题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1 （20202020重庆）重庆）解一元一次方程1 2（x+1）1 1 3x 时，去分母正确的是（ ） A3（x+1）12x B2（x+1）13x C2（x+1）63x D3（x+1）62x 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案 【
7、解析】方程两边都乘以 6，得：3（x+1）62x， 2 （20202020金华）金华）如图，在编写数学谜题时， “”内要求填写同一个数字，若设“”内数字为x则列出 方程正确的是（ ） A32x+52x B320 x+510 x2 C320+x+520 x D3（20+x）+510 x+2 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可 【解析】设“”内数字为x，根据题意可得： 3（20+x）+510 x+2 3.已知下列方程：x13 x；5x8； x 34x1；x 22x30；x1； 3xy6。其中是一元一次方程的个数是（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5
8、个 【答案】B 【解析】含有一个未知数，且未知数的次数都是 1，这样的方程是一元一次方程，满足要求的有。 4.4.检验下列各数是不是方程 3x12x1 的解。 （1）x4； （2）x2。 【答案】 （1）x4 不是； （2）x2 是。 【解析】 （1）把x4 分别代入方程的左右两边，得： 左边34111；右边2419，左边右边， 所以x4 不是方程 3x12x1 的解。 （2）把x2 分别代入方程的左右两边，得： 左边3215；右边2215，左边右边， 所以x2 是方程 3x12x1 的解。 5.下列等式变形正确的是（ ） A. 如果 S1 2ab，那么 b2S a B. 如果1 2x6，那么
9、 x3 C. 如果x3y3，那么xy0 D. 如果mxmy，那么xy 【答案】C 【解析】选项 C 中，由x3y3，两边都减去y3 可得xy0。选项 D 不正确，当m0 时，由mx my可得xy；当m0 时，xy不一定成立。 6.6.已知x5 是方程 2xa3x的解，求a的值。 【答案】a12 【解析】由于x5 是方程 2xa3x的解， 所以 25a35，即 10a2， 解得a12。 7.在解方程时，方程两边同时乘以 6，去分母后，正确的是（ ） A2x1+6x=3（3x+1） B2（x1）+6x=3（3x+1） C2（x1）+x=3（3x+1） D （x1）+x=3（x+1） 【答案】B 【
10、解析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数 系数化为 1，求出解。方程两边同时乘以 6，化简得到结果，即可作出判断 方程两边同时乘以 6 得：2（x1）+6x=3（3x+1） 8.已知方程(m+1)x |m|+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是（ ） A.1 B.1 C.1 D.0 或 1 【答案】B 【解析】方程(m+1)x |m|+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 m+10，|m|=1，所以 m=1. 9.一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是 70，鸡、猪的腿数之和是 196，设鸡有 x 只，依题意可列方 程（ ） A.2x+4（7
11、0 x）=196 B.2x+470=196 C.4x+2（70 x）=196 D.4x+270=196 【答案】A 【解析】每只鸡有 2 条腿，每头猪有 4 条腿，所以可列方程 2x+4（70-x）=196. 10.家电下乡是我国应对当前国际金融危机，惠农强农，带动工业生产，促进消费，拉动内需的一项重要举 措。国家规定，农民购买家电下乡产品将得到销售价格 13%的补贴资金。今年 5 月 1 日，甲商场向农民销售 某种家电下乡手机 20 部。已知从甲商场售出的这 20 部手机国家共发放了 2340 元的补贴，若设该手机的销 售价格为x元，以下方程正确的是（ ） A. 20 x13%2340 B.
12、 20 x234013% C. 20 x（113%）2340 D. 13%x2340 【答案】A 【解析】购机补贴是按手机售价的 13%补贴的，每部手机售价x元，补贴为x13%元，20 部手机的补贴应 为 20 x13%元。 二、填空题（共二、填空题（共 1010 小题，每空小题，每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11 （20202020衢州）衢州）一元一次方程 2x+13 的解是x 【答案】1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解；将方程移项得， 2x2， 系数化为 1 得， x1 12 （20202020武威）武威）暑假期间，亮视眼镜
13、店开展学生配镜优惠活动某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌 填上原价 原价： 元 暑假八折优惠，现价：160 元 【答案】200 【分析】设广告牌上的原价为x元，根据现价原价折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即 可得出结论 【解析】设广告牌上的原价为x元， 依题意，得：0.8x160， 解得：x200 13 （20202020牡丹江）牡丹江）某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元为了拓展销路，商店准备打折销售若 使利润率为 20%，则商店应打 折 【答案】8 【分析】设商店打x折，根据利润售价进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论 【解析】设商店打x折， 依题
14、意，得：180 10 12012020%， 解得：x8 14 （20202020铜仁市）铜仁市）方程 2x+100 的解是 【答案】x5 【分析】方程移项，把x系数化为 1，即可求出解 【解析】方程 2x+100， 移项得：2x10， 解得：x5 故答案为：x5 15 （20202020衡阳）衡阳）某班有 52 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人，则女生有 名 【答案】23 【分析】设女生有x名，根据某班有 52 名学生，其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人，可以列出相应 的方程，解方程即可求解 【解析】设女生有x名，则男生人数有（2x17）名，依题意有 2x17+x
15、52， 解得x23 故女生有 23 名 16 （20202020绍兴）绍兴）有两种消费券：A券，满 60 元减 20 元，B券，满 90 元减 30 元，即一次购物大于等于 60 元、90 元，付款时分别减 20 元、30 元小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的 商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，则所购商品的标价是 元 【答案】100 或 85 【分析】可设所购商品的标价是x元，根据小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同 的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款 150 元，分所购商品的标价小于 90 元；所购商 品的标价大
16、于 90 元；列出方程即可求解 【解析】设所购商品的标价是x元，则 所购商品的标价小于 90 元， x20+x150， 解得x85； 所购商品的标价大于 90 元， x20+x30150， 解得x100 故所购商品的标价是 100 或 85 元 17.已知 x=2 是关于 x 的方程 a(x+1)=a/2+x 的解，则 a 的值是_ 【答案】4/5 【解析】把 x=2 代入方程得：3a=a/2+2， 解得：a=4/5 18x9 是方程bx2 3 1 的解，那么b ，当b1 时，方程的解 ； 【答案】1，x9 或x3 【解析】当b1 时，方程bx2 3 1 转化为两个一元一次方程 12 3 1
17、x 12 3 1 x 解得 9x或3x. 19若是 2ab 2c3x1与5ab2c6x3是同类项，则 x 。 【答案】 3 4 【解析】据同类项的意义得方程 3x1 6x3， 解得x 3 4 20.一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原 两位数大 36，则原来的两位数为 。 【答案】48 【解析】等量关系：原两位数+36=对调后新两位数 设十位上的数字 X，则个位上的数是 2x， 102x+x=（10 x+2x）+36 解得 x=4，2x=8. 则原来的两位数为 48 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 7 道题，共道题，共 6
18、060 分）分） 21 （8 分） （20202020攀枝花）攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 6 人，后来重新编组，每组 8 人， 这样就比原来减少 2 组，问这些学生共有多少人？ 【答案】见解析。 【分析】设这些学生共有x人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少 2 组，根 据此列方程求解 【解析】设这些学生共有x人， 根据题意得 6 8 = 2， 解得x48 答：这些学生共有 48 人 22 （8 分） （20202020凉山州）凉山州）解方程：x 2 2 =1+ 21 3 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可 【解析】去分母，得
19、：6x3（x2）6+2（2x1） ， 去括号，得：6x3x+66+4x2， 移项，得：6x3x4x662， 合并同类项，得：x2， 系数化为 1，得：x2 23 （8 分） （20202020杭州）杭州）以下是圆圆解方程+1 2 3 3 =1 的解答过程 【答案】见解析。 解：去分母，得 3（x+1）2（x3）1 去括号，得 3x+12x+31 移项，合并同类项，得x3 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案 【解析】圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得：3（x+1）2（x3）6 去括号，得 3x+32x
20、+66 移项，合并同类项，得x3 24.（8 分）已知（k1）x 2（k1）x30 是关于 x的一元一次方程，求k的值。 【答案】k1 【解析】因为原方程是关于x的一元一次方程，所以原方程中关于x的 2 次项系数必须等于 0，一次项系数 不等于 0。即 k10 k10 ，解得k1。 25.（10 分）有一位妇女在河边洗碗，由于碗数较多，过路的人问她家中来了多少客人。她不直接回答，倒 是给过路的人出了一道难题：这些客人每两人共用一个饭碗，每三人共用一个汤碗，每四人共吃一碗肉， 这样不多不少，加起来共 65 个碗，你知道有多少客人吗？ 【答案】【答案】客人有 60 人。 【解析】设有x位客人，饭碗
21、有1 2x 个，汤碗有1 3x 个，肉碗有1 4x 个，相等关系为：饭碗汤碗肉碗65。 根据题意，得： 1 2x 1 3x 1 4x65，即 13 12x65 两边都除以13 12，得 x60 26.（8 分）有一列数，按照一定规律排列成 1，-3,9，-27,81，-243，.其中某三个相邻数的和是-1701， 求这三个数。 【答案】这三个数是-243,729，-2187. 【解析】从符号和绝对值两个方面观察，可以发现这列数的排列规律是：后面的数是它前面的数与-3 的乘 积。如果三个相邻数中的第一个记为 x，则后 2 个数分别为-3x，9x. 根据题意列出方程为 x+（-3x）+9x=-17
22、01 合并同类项得 7x=-1701 系数化为 1 得 x=-243 从而-3x=729 9x=-2187 27.（10 分）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行 回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的 10% 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10%，但 要缴纳租金的 10%作为管理费用 （1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高
23、？为什么？（注：投资收益率= 100%） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人获得的收益将相差 5 万元问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 【答案】见解析。 【解析】利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；利用表示，根据二者 的差是 5 万元，即可列方程求解 （1）设商铺标价为 x 万元，则按方案一购买，则可获投资收益 （120%1） x+x10%5=0.7x 投资收益率为100%=70% 按方案二购买，则可获投资收益（120%0.85） x+x10%（110%）3=0.62x 投资收益率为100%72.9% 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高 （2）由题意得 0.7x0.62x=5 解得 x=62.5 万元 甲投资了 62.5 万元，乙投资了 53.125 万元