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2021年数学中考一轮单元总复习达标精准突破专题03一元一次方程(解析版)

1、 专题专题 03 一元一次方程一元一次方程 知识点知识点 1 1:一元一次方程的概念:一元一次方程的概念 1一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程 是一元一次方程. 2一元一次方程的标准形式: ax+b=0(x 是未知数,a、b 是已知数,且 a0). 知识点知识点 2 2:一元一次方程解法的一般步骤:一元一次方程解法的一般步骤 (1)整理方程; (2)去分母; (3)去括号; (4)移项; (5)合并同类项; (6)系数化为 1。 (检验方程的解) 知识点知识点 3 3:列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法: 多用于“和,差,倍,分问

2、题” 仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如: “大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少, 配套-” ,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填 入代数式,得到方程. (2)画图分析法: 多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形 各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利用量 与量之间的关系(可把未知数看做已知量) ,填入有关的代数式是获得方程的基础. 本章内容是代数学的基础核心。能做到熟练解方程、列方程。列方程是难点,需要学生综

3、合能力。列方 程解应用题需要对下面常用公式熟练掌握,在理解的基础上,灵活对公式进行变形。 (1)行程问题: 距离=速度时间 (2)工程问题: 工作量=工效工时 (3)比率问题: 部分=全体比率 (4)顺逆流问题: 顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度; (5)商品价格问题: 售价=定价折 10 1 ,利润=售价-成本, %100 成本 成本售价 利润率; (6)周长、面积、体积问题: C圆=2R,S圆=R 2, C长方形=2(a+b), S长方形=ab, C正方形=4a,S正方形=a 2, S环形=(R 2-r2), V长方体=abc ,V正方体=a 3,V 圆柱=R 2

4、h ,V 圆锥= 3 1 R 2h. (7)其它问题。 【例题【例题 1 1】 (】 (20202020株洲)株洲)关于x的方程 3x8x的解为x 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把x系数化为 1,即可求出解 【解析】方程 3x8x, 移项,得 3xx8, 合并同类项,得 2x8 解得x4 【例题【例题 2 2】 (】 (20202020凉山州)凉山州)解方程:x 2 2 =1+ 21 3 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可 【解析】去分母,得:6x3(x2)6+2(2x1) , 去括号,得:6x3x+66+4x2, 移项,得:6x3x4x662, 合并同类项

5、,得:x2, 系数化为 1,得:x2 【例题【例题 3 3】 (】 (20202020内江)内江)我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题: “一条竿子一条索, 索比竿子长一托 折回索子却量竿, 却比竿子短一托 ” 其大意为: 现有一根竿和一条绳索, 用绳索去量竿, 绳索比竿长 5 尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5 尺设绳索长x尺则符合题意的方程 是( ) A1 2x(x5)5 B1 2x(x+5)+5 C2x(x5)5 D2x(x+5)+5 【答案】A 【分析】设绳索长x尺,则竿长(x5)尺,根据“将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5 尺” ,即可得出 关于x的一元一次方

6、程,此题得解 【解析】设绳索长x尺,则竿长(x5)尺, 依题意,得:1 2x(x5)5 一元一次方程单元精品检测试卷一元一次方程单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分,答题时间分,答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题(共一、选择题(共 1010 小题,每题小题,每题 3 3 分,共分,共 3030 分)分) 1 (20202020重庆)重庆)解一元一次方程1 2(x+1)1 1 3x 时,去分母正确的是( ) A3(x+1)12x B2(x+1)13x C2(x+1)63x D3(x+1)62x 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案 【

7、解析】方程两边都乘以 6,得:3(x+1)62x, 2 (20202020金华)金华)如图,在编写数学谜题时, “”内要求填写同一个数字,若设“”内数字为x则列出 方程正确的是( ) A32x+52x B320 x+510 x2 C320+x+520 x D3(20+x)+510 x+2 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可 【解析】设“”内数字为x,根据题意可得: 3(20+x)+510 x+2 3.已知下列方程:x13 x;5x8; x 34x1;x 22x30;x1; 3xy6。其中是一元一次方程的个数是( ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5

8、个 【答案】B 【解析】含有一个未知数,且未知数的次数都是 1,这样的方程是一元一次方程,满足要求的有。 4.4.检验下列各数是不是方程 3x12x1 的解。 (1)x4; (2)x2。 【答案】 (1)x4 不是; (2)x2 是。 【解析】 (1)把x4 分别代入方程的左右两边,得: 左边34111;右边2419,左边右边, 所以x4 不是方程 3x12x1 的解。 (2)把x2 分别代入方程的左右两边,得: 左边3215;右边2215,左边右边, 所以x2 是方程 3x12x1 的解。 5.下列等式变形正确的是( ) A. 如果 S1 2ab,那么 b2S a B. 如果1 2x6,那么

9、 x3 C. 如果x3y3,那么xy0 D. 如果mxmy,那么xy 【答案】C 【解析】选项 C 中,由x3y3,两边都减去y3 可得xy0。选项 D 不正确,当m0 时,由mx my可得xy;当m0 时,xy不一定成立。 6.6.已知x5 是方程 2xa3x的解,求a的值。 【答案】a12 【解析】由于x5 是方程 2xa3x的解, 所以 25a35,即 10a2, 解得a12。 7.在解方程时,方程两边同时乘以 6,去分母后,正确的是( ) A2x1+6x=3(3x+1) B2(x1)+6x=3(3x+1) C2(x1)+x=3(3x+1) D (x1)+x=3(x+1) 【答案】B 【

10、解析】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数 系数化为 1,求出解。方程两边同时乘以 6,化简得到结果,即可作出判断 方程两边同时乘以 6 得:2(x1)+6x=3(3x+1) 8.已知方程(m+1)x |m|+3=0 是关于 x 的一元一次方程,则 m 的值是( ) A.1 B.1 C.1 D.0 或 1 【答案】B 【解析】方程(m+1)x |m|+3=0 是关于 x 的一元一次方程,则 m+10,|m|=1,所以 m=1. 9.一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是 70,鸡、猪的腿数之和是 196,设鸡有 x 只,依题意可列方 程( ) A.2x+4(7

11、0 x)=196 B.2x+470=196 C.4x+2(70 x)=196 D.4x+270=196 【答案】A 【解析】每只鸡有 2 条腿,每头猪有 4 条腿,所以可列方程 2x+4(70-x)=196. 10.家电下乡是我国应对当前国际金融危机,惠农强农,带动工业生产,促进消费,拉动内需的一项重要举 措。国家规定,农民购买家电下乡产品将得到销售价格 13%的补贴资金。今年 5 月 1 日,甲商场向农民销售 某种家电下乡手机 20 部。已知从甲商场售出的这 20 部手机国家共发放了 2340 元的补贴,若设该手机的销 售价格为x元,以下方程正确的是( ) A. 20 x13%2340 B.

12、 20 x234013% C. 20 x(113%)2340 D. 13%x2340 【答案】A 【解析】购机补贴是按手机售价的 13%补贴的,每部手机售价x元,补贴为x13%元,20 部手机的补贴应 为 20 x13%元。 二、填空题(共二、填空题(共 1010 小题,每空小题,每空 3 3 分,共分,共 3030 分)分) 11 (20202020衢州)衢州)一元一次方程 2x+13 的解是x 【答案】1 【分析】将方程移项,然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解 【解答】解;将方程移项得, 2x2, 系数化为 1 得, x1 12 (20202020武威)武威)暑假期间,亮视眼镜

13、店开展学生配镜优惠活动某款式眼镜的广告如下,请你为广告牌 填上原价 原价: 元 暑假八折优惠,现价:160 元 【答案】200 【分析】设广告牌上的原价为x元,根据现价原价折扣率,即可得出关于x的一元一次方程,解之即 可得出结论 【解析】设广告牌上的原价为x元, 依题意,得:0.8x160, 解得:x200 13 (20202020牡丹江)牡丹江)某种商品每件的进价为 120 元,标价为 180 元为了拓展销路,商店准备打折销售若 使利润率为 20%,则商店应打 折 【答案】8 【分析】设商店打x折,根据利润售价进价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论 【解析】设商店打x折, 依题

14、意,得:180 10 12012020%, 解得:x8 14 (20202020铜仁市)铜仁市)方程 2x+100 的解是 【答案】x5 【分析】方程移项,把x系数化为 1,即可求出解 【解析】方程 2x+100, 移项得:2x10, 解得:x5 故答案为:x5 15 (20202020衡阳)衡阳)某班有 52 名学生,其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人,则女生有 名 【答案】23 【分析】设女生有x名,根据某班有 52 名学生,其中男生人数是女生人数的 2 倍少 17 人,可以列出相应 的方程,解方程即可求解 【解析】设女生有x名,则男生人数有(2x17)名,依题意有 2x17+x

15、52, 解得x23 故女生有 23 名 16 (20202020绍兴)绍兴)有两种消费券:A券,满 60 元减 20 元,B券,满 90 元减 30 元,即一次购物大于等于 60 元、90 元,付款时分别减 20 元、30 元小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一件标价相同的 商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款 150 元,则所购商品的标价是 元 【答案】100 或 85 【分析】可设所购商品的标价是x元,根据小敏有一张A券,小聪有一张B券,他们都购了一件标价相同 的商品,各自付款,若能用券时用券,这样两人共付款 150 元,分所购商品的标价小于 90 元;所购商 品的标价大

16、于 90 元;列出方程即可求解 【解析】设所购商品的标价是x元,则 所购商品的标价小于 90 元, x20+x150, 解得x85; 所购商品的标价大于 90 元, x20+x30150, 解得x100 故所购商品的标价是 100 或 85 元 17.已知 x=2 是关于 x 的方程 a(x+1)=a/2+x 的解,则 a 的值是_ 【答案】4/5 【解析】把 x=2 代入方程得:3a=a/2+2, 解得:a=4/5 18x9 是方程bx2 3 1 的解,那么b ,当b1 时,方程的解 ; 【答案】1,x9 或x3 【解析】当b1 时,方程bx2 3 1 转化为两个一元一次方程 12 3 1

17、x 12 3 1 x 解得 9x或3x. 19若是 2ab 2c3x1与5ab2c6x3是同类项,则 x 。 【答案】 3 4 【解析】据同类项的意义得方程 3x1 6x3, 解得x 3 4 20.一个两位数,个位上的数是十位上的数的 2 倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原 两位数大 36,则原来的两位数为 。 【答案】48 【解析】等量关系:原两位数+36=对调后新两位数 设十位上的数字 X,则个位上的数是 2x, 102x+x=(10 x+2x)+36 解得 x=4,2x=8. 则原来的两位数为 48 三、解答题(本大题有三、解答题(本大题有 7 7 道题,共道题,共 6

18、060 分)分) 21 (8 分) (20202020攀枝花)攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组 6 人,后来重新编组,每组 8 人, 这样就比原来减少 2 组,问这些学生共有多少人? 【答案】见解析。 【分析】设这些学生共有x人,先表示出原来和后来各多少组,其等量关系为后来的比原来的少 2 组,根 据此列方程求解 【解析】设这些学生共有x人, 根据题意得 6 8 = 2, 解得x48 答:这些学生共有 48 人 22 (8 分) (20202020凉山州)凉山州)解方程:x 2 2 =1+ 21 3 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可 【解析】去分母,得

19、:6x3(x2)6+2(2x1) , 去括号,得:6x3x+66+4x2, 移项,得:6x3x4x662, 合并同类项,得:x2, 系数化为 1,得:x2 23 (8 分) (20202020杭州)杭州)以下是圆圆解方程+1 2 3 3 =1 的解答过程 【答案】见解析。 解:去分母,得 3(x+1)2(x3)1 去括号,得 3x+12x+31 移项,合并同类项,得x3 圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,写出正确的解答过程 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案 【解析】圆圆的解答过程有错误, 正确的解答过程如下: 去分母,得:3(x+1)2(x3)6 去括号,得 3x+32x

20、+66 移项,合并同类项,得x3 24.(8 分)已知(k1)x 2(k1)x30 是关于 x的一元一次方程,求k的值。 【答案】k1 【解析】因为原方程是关于x的一元一次方程,所以原方程中关于x的 2 次项系数必须等于 0,一次项系数 不等于 0。即 k10 k10 ,解得k1。 25.(10 分)有一位妇女在河边洗碗,由于碗数较多,过路的人问她家中来了多少客人。她不直接回答,倒 是给过路的人出了一道难题:这些客人每两人共用一个饭碗,每三人共用一个汤碗,每四人共吃一碗肉, 这样不多不少,加起来共 65 个碗,你知道有多少客人吗? 【答案】【答案】客人有 60 人。 【解析】设有x位客人,饭碗

21、有1 2x 个,汤碗有1 3x 个,肉碗有1 4x 个,相等关系为:饭碗汤碗肉碗65。 根据题意,得: 1 2x 1 3x 1 4x65,即 13 12x65 两边都除以13 12,得 x60 26.(8 分)有一列数,按照一定规律排列成 1,-3,9,-27,81,-243,.其中某三个相邻数的和是-1701, 求这三个数。 【答案】这三个数是-243,729,-2187. 【解析】从符号和绝对值两个方面观察,可以发现这列数的排列规律是:后面的数是它前面的数与-3 的乘 积。如果三个相邻数中的第一个记为 x,则后 2 个数分别为-3x,9x. 根据题意列出方程为 x+(-3x)+9x=-17

22、01 合并同类项得 7x=-1701 系数化为 1 得 x=-243 从而-3x=729 9x=-2187 27.(10 分)某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款: 投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁 5 年,5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进行 回购,投资者可在以下两种购铺方案中做出选择: 方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可以获得的租金为商铺标价的 10% 方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10%,但 要缴纳租金的 10%作为管理费用 (1)请问:投资者选择哪种购铺方案,5 年后所获得的投资收益率更高

23、?为什么?(注:投资收益率= 100%) (2)对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么 5 年后两人获得的收益将相差 5 万元问:甲、乙两人各投资了多少万元? 【答案】见解析。 【解析】利用方案的叙述,可以得到投资的收益,即可得到收益率,即可进行比较;利用表示,根据二者 的差是 5 万元,即可列方程求解 (1)设商铺标价为 x 万元,则按方案一购买,则可获投资收益 (120%1) x+x10%5=0.7x 投资收益率为100%=70% 按方案二购买,则可获投资收益(120%0.85) x+x10%(110%)3=0.62x 投资收益率为100%72.9% 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高 (2)由题意得 0.7x0.62x=5 解得 x=62.5 万元 甲投资了 62.5 万元,乙投资了 53.125 万元