1、 专题专题 02 整式的加减整式的加减 知识点知识点 1：整式的概念：整式的概念 1单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类 代数式叫单项式. 2单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不 为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3多项式：几个单项式的和叫多项式. 4多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项 式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。 知识点知识点 2：整式的加减：整式的加减 1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也
2、分别相同的项叫做同类项. 2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 3. 合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变. 4. 去括号法则： （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 5. 整式加减的运算法则： 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 本章需要重点掌握的问题如下：本章需要重点掌握的问题如下： 1. 理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。 2. 理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去
3、括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并 和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。 3. 理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是 分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。 4能够分析实际问题中的数量关系，并用还有字母的式子表示出来。 【例题【例题 1】 （】 （2020 湖南湘潭）湖南湘潭）已知 13 2 n xy 与 43 1 3 x y是同类项，则n的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】根据同类项的概念可得关于 n的一元一次方程，求解方程即可得到 n
4、的值. 13 2 n xy 与 43 1 3 x y是同类项， n+1=4， 解得，n=3 【点拨】本题考查了同类项，解决本题的关键是判断两个项是不是同类项，只要两看，即一看所含有的字 母是否相同，二看相同字母的指数是否相同 【例题【例题 2】 （】 （2020 江苏苏州）江苏苏州）若单项式 12 2 m xy 与单项式 21 1 3 n x y 是同类项，则mn_ 【答案】4 【解析】 根据同类项的定义： 所含字母相同， 相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2, 分别求出 m,n 的值，再代入求解即可. 单项式 12 2 m xy 与单项式 21 1 3 n x
5、 y 是同类项， m-1=2,n+1=2, 解得：m=3,n=1. m+n=3+1=4. 【点拨】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键. 【例题【例题 3】 （】 （2020 山东济宁）山东济宁）先化简，再求值:(x+1)(x-1)+x(2-x),其中 x= 1 2 【答案】21x；0 【解析】先去括号，再合并同类项，最后将 x 值代入求解. 原式= 22 1 2xxx =21x 将 x= 1 2 代入， 原式=0. 【点拨】本题考查了整式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，单项式乘多项式的运算 法则. 整式的加减单元精品检测试卷整式的加减单元精品检测试卷 本套
6、试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 2 2 分，共分，共 3030 分）分） 1.一个五次多项式，它的任何一项的次数都（ ） A小于 5 B等于 5 C不小于 5 D不大于 5 【答案】D 【解析】多项式中每一项都有次数，多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数。 所以所以它的任何一项的次数都不大于 5 2.下列说法错误的是（ ） A.有数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。 B.几个单项式的和叫做多项式。 C.单项式与多项式统称整式。 D.一个数字不是一个单项式，它的次数是 0。 【答案】D 【解析】A.有
7、数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。符合单项式定义； B.几个单项式的和叫做多项式。符合多项式定义； C.单项式与多项式统称整式。符合整式定义； D.一个数字页是一个单项式，它的次数是 0。 3.观察下列关于 x 的单项式，探究其规律： x，3x 2，5x3，7x4，9x5，11x6， 按照上述规律，第 2019 个单项式是（ ） A2019x 2019 B4029x 2018 C4037x 2019 D4038x 2019 【答案】C 【解析】此题考查单项式问题，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关 键 系数的规律：第 n 个对应的系数是 2n1 指数的规律：第 n 个对应
8、的指数是 n 第 n 个对应的关于 x 的单项式为（2n1）x n 根据分析的规律，当 n=2019 时得 第 2019 个单项式是 4037x 2019 4.下列说法中，正确的是（ ） A x 2的系数是 B a2的系数是 C 3ab 2的系数是 3a D xy2的系数是 【答案】D 【解析】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指 数的和叫做单项式的次数2 根据单项式的概念求解 A. x 2的系数是 ，故本选项错误； B. a 2的系数是 ，故本选项错误； C.3ab 2的系数是 3，故本选项错误； D. xy 2的系数 ，故本选项正确 5.已知
9、一个单项式的系数是 2，次数是 3，则这个单项式可以是（ ） A 2xy 2 B 3x2 C 2xy3 D 2x3 【答案】D 【解析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数。2x 3符合。 6.多项式 1+2xy-3xy 2的次数及最高次项的系数分别是( ) A.3,-3 B.2,-3 C.5,-3 D.2,3 【答案】A 【解析】其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫 做多项式的次数。 7.某企业今年 3 月份的产值为 a 万元，4 月份比 3 月份减少了 10%，5 月份比 4 月份增加
10、了 15%，则 5 月份 的产值是( ) A.(a-10%)(a+15%)万元 B.a(1-10%)(1+15%)万元 C.(a-10%+15%)万元 D.-a(1-10%+15%)万元 【答案】B 【解析】4 月份比 3 月份减少了 10%，4 月份的产值为 a-a10%= a(1-10%) 5 月份比 4 月份增加了 15%，则 5 月份的产值是 a(1-10%)+a15%(1-10%) = a(1-10%)(1+15%) 8.若x 3ya 与 x by 是同类项，则 a+b 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】C 【解析】根据同类项中相同字母的指数相同的概念求解 x 3ya 与
11、 x by 是同类项， a=1，b=3， 则 a+b=1+3=4 9.在下列单项 式中，与 2xy 是同类项的是（ ） A2x 2y2 B3y C xy D4x 【答案】C 【解析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类 项与字母的顺序无关，与系数无关 与 2xy 是同类项的是 xy 10.下列运算中，正确的是（ ） A3a+2b=5ab B2a 3+3a2=5a5 C3a 2b3ba2=0 D5a24a2=1 【答案】C 【解析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系 数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断 A.3a
12、和 2b 不是同类项，不能合并，A 错误； B.2a 3+和 3a2 不是同类项，不能合并，B 错误； C.3a 2b3ba2=0，C 正确； D.5 a 24a2=a2，D 错误。 11.化简16（x0.5）的结果是（ ） A. 16x0.5 B.16x+0.5 C16x8 D16x+8 【答案】D 【解析】此题考查去括号，关键是根据括号外是负号，去括号时应该变号 16（x0.5）=16x+8， 12.如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式例如：x 3+2xy2+2xyz+y3 是 3 次齐次多项式若 x m+2y2+3xy3z2 是齐次多项式，则 m 等 于（ ） A.
13、 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 根据齐次多项式的定义一个多项式的各项的次数都相同， 得出关于 m 的方程 m+2+2=6， 解方程即可求出 m 的值 由题意，得 m+2+2=6，解得 m=2 13.13.若 a m+2b3 与（n-2）a 2b3 是 同类项，而且它们的和为 0，则（ ） A. m=0，n=2 B. m=0，n=1 C. m=2，n=0 D. m=0，n=-1 【答案】B 【解析】本题考查同类项和相反数的定义，由同类项和相反数的定义可先求得 m 和 n 的值由 a m+2b3 与（n-2）a 2b3 是同类项， 可得 m+2=2，m=0 又因为它们的和
14、为 0，则 a m+ 2b3+（n-2）a2b3=0， 即 n-2=-1，n=1则 m=0，n=1 14.14.有理数 a， b， c 在数轴上的位置如图所示， 则化简|a+b|-|b-1|-|a- c|-|1-c|的结果是 （ ） A. -2a B. -2 C . 2c-2a-2 D. 2b-2c 【答案】B 【解析】先根据数轴判断出 a、b、c 的正负情况以及绝对值的大小，然后判断出（a+b） ， （b-1） ， （a-c） ， （1-c）的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，合并同类项即可 根据图形，ba0c1， a+b0，b-10，a-c0，1-c0， 原式=（-a-b）+（b-
15、1）+（a-c）-（1-c） ， =-a-b+b-1+a-c-1+c=-2 15.15.若 3x 3-x=1，则 9x4+12x3-3x2-7x+2019 的值等于（ ） A. 1997 B. 2019 C. 2021 D. 2023 【答案】D 【解析】本题利用 3x 3-x=1，先将本式乘以 3x，再将本式乘以 4，然后将得到的两个式子相加， 便可得 9x 4+12x3-3x2-7x=4则 9x4+12x3-3x2-7x+2019=2023 3x 3-x=1， 3x 得：9x 4-3x2=3x， 4 得：12x 3-4x=4， +得：9x 4+12x3-3x2-4x=3x+4 将上式移项得
16、：9x 4+12x3-3x2-7x=4 则 9x 4+12x3-3x2-7x+2019=2023 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3636 分）分） 16.一台电视机原价是 2500 元，现按原价的 8 折出售，则购买 a 台这样的电视机需要 元 【答案】2000a 元 【解析】本题考查了列代数式，解题的关键是理解打折问题在实际问题中的应用现在以 8 折出售，就是 现价占原价的 80%，把原价看作单位“1” ，根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答 2500a80%=2000a（元） 17.一列单项式：x 2，3x3，5x4，7x5，按此规律排列，则第 7 个单项式为 【
17、答案】13x 8 【解析】 （1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式。 （2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 （3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 观察这列单项式发现第奇数项的系数为负，偶数项系数为正，并且后一项比前一项系数绝对值都大 2.后项 次数比前一项次数大 1，这样一来我们可以找出通项具有这个特点： （-1） n (2n-1) xn+1 则第 7 个单项式为（-1） n (2n-1) xn+1 =（-1） 7 (27-1) x7+1 =-13x 8 18单项式 x 2y3的次数是 【答案】5 【解析】一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的
18、次数。 x 次数是 2 ，y 的次数是 3 ，所有字母次数纸盒为 5。 19.单项式 7a 3b2的系数是 【答案】7 【解析】单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 20.将一列整式按某种规律排成 x，-2x 2，4x3，-8x4，16x5，则排在第六个位置的整式为 . 【答案】-32x 6 【解析】观察各项单项式特点发现，奇数项系数为正，偶数项系数为负，这列数后一项系数是前一项系数 的 2 倍，这样可以确定第六项系数为-32；单项式次数后一项大于前一项 1.所以排在第六个位置的整式为 -32x 6. 21.21.多项式 2 235xx是 次 项式 【答案】二；三 【解析】【解析】几个单项
19、式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做 常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 22.22.若3axy m是关于 x、y的单项式，且系数为6，次数为 3，则a_，m_ 【答案】2, 2 【解析】-3a=-6 a=2 1+m=3 m=2 23.多项式 与 m 2+m-2 的和是 m2-2m. 【答案】-3m+2 【解析】设多项式为 M，则 M+（m 2+m-2）= m2-2m. M=m 2-2m-（m2+m-2） =m 2-2m-m2-m+2=-3m+2 24.24.某商店压了一批商品， 为尽快售出， 该商店采取如下销售方案： 将原来每件
20、 m 元， 加价 50%， 再做两次降价处理，第一次降价 30%，第二次降价 10%经过两次降价后的价格为 元（结 果用含 m 的代数式表示） 【答案】0.945m 元 【解析】先算出加价 50%以后的价格，再求第一次降价 30%的价格，最后求出第二次降价 10%的 价格，从而得出答案 根据题意得：m（1+50%） （1-30%） （1-10%）=0.945m（元） 25.25.如果 x=1 时，代数式 2ax 3+3bx+4 的值是 5，那么 x=-1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 【答案】3 【解析】将 x=1 代入代数式 2ax 3+3bx+4，令其值是 5 求出 2a+3b
21、 的值，再将 x=-1 代入代数式 2ax 3+3bx+4，变形后代入计算即可求出值 x=1 时，代数式 2ax 3+3bx+4=2a+3b+4=5，即 2a+3b=1， x=-1 时，代数式 2ax 3+3bx+4=-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=-1+4=3 三、解答题三、解答题（7 7 个小题，共个小题，共 5454 分）分） 26.（8 分）一个关于字母a、b的多项式，除常数项外，其余各项的次数都是 3，这个多项式最多有几项？ 试写出一个符合这种要求的多项式，若a、b满足ab（b1） 20，求你写出的多项式的值. 【答案】见解析。 【解析】最多有 5 项（可以含有a 3，b3，
22、a2b，ab2） ，如 a 3+a2bab2b31（答案不唯一）. 因为ab （b1） 20，所以 b1，a1，所以原式111111 27.（6 分）如果多项式x 4（a1）x35x2（b3）x1 不含 x 3和 x项，求a、b的值. 【答案】【答案】a的值是 1，b的值是3. 【解析】【解析】多项式不含x 3和 x项，则x 3和 x项的系数就是 0. 根据这两项的系数等于 0 就可以求出a和b的 值了. 因为多项式不含x 3项， 所以其系数（a1）0， 所以a1. 因为多项式也不含x项， 所以其系数（b3）0， 所以b3. 28.（6 分）求 x/2-2(x-y 2/3)+(-3x/2+y2
23、/3)的值，其中 x=-2,y=2/3 【答案】58/9 【解析】先化简，再代入数值进行计算比较简单。 x/2-2(x-y 2/3)+(-3x/2+y2/3) =x/2-2x+2y 2/3-3x/2+y2/3 =-3x+y 2 当 x=-2,y=2/3 时， 原式=（-3）x（-2）+（2/3） 2 =6+4/9=58/9 29.（8 分）请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表面积，这 些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式. 【答案】纸盒的容积为abc；表面积为ab2bc2ac（或abacbcac bc） . 它们都是整式；abc是单
24、项式，ab2bc2ac（或abacbcacbc） 是多项式. 【解析】【解析】容积是长宽高，表面积（无盖）是五个面的面积，在分辨它们是 不是整式，是单项式还是多项式时，牵牵把握住概念，根据概念判断. 纸盒的容积为abc；表面积为ab2bc2ac（或abacbcacbc）. 它们都是整式；abc是单项 式，ab2bc2ac（或abacbcacbc）是多项式. 30.30.（8 分）求证：不论 x、y 取何有理数，多项式（x 3+3x2y-2xy2+4y3+1）+（y3-xy2+x2y-2x3+2） +（x 3-4x2y+3xy2-5y3-8）的值恒等于一个常数，并求出这个常数 【答案】常数为-5
25、 【解析】把所求的式子去括号、然后合并同类项即可 证明 （x 3+3x2y- 2xy2+4y3+1）+（y3-xy2+x2y-2x3+2）+（x3-4x2y+3xy2-5y3-8） =x 3+3x2y-2xy2+4y3+1+y3-xy2+x2y-2x3+2+x3-4x2y+3xy2-5y3-8 =-5 31.31.（8 分）若 16 x=x8，y7=-9233，求 x2-15xy-16y2 的值 【答案】当 x=2，y=-3 时， x 2-15xy-16y2 等于-50； 当 x=4，y=-3 时，x 2-15xy-16y2 等于 52 【解析】 16 x=x8， 即可求得 x 的值 ， 再根
26、据 y7=-92 33， 求得 y 的值， 即可求得代数式 x2-15xy-16y2 的值 16 x=x8，即 16x=42x=x8，则 x=4 或 2； y 7=-9233=-3433=-37，则 y=-3 当 x=2，y=-3 时， x 2-15xy-16y2 等于-50； 当 x=4，y=-3 时，x 2-15xy-16y2 等于 52 32.32.（10 分）若关于 x，y 的单项式 2ax my 与 5bx2m-3y 是同类项，且 a，b 不为零 （1）求（4m-13） 2019 的值 （2）若 2ax my+5bx2m-3y=0，且 xy0，求(2a+3b)/(a+5b)的值 【答案】-16/5 【解析】根据同类项的定义列出方程，求出 m 的值 （1） 将 m 的值代入代数式计算（2）将 m 的值代入 2ax my+5bx2m-3y=0， 且 xy0， 得出 2a+5b=0， 即 a=-2.5b代入求值 单项式 2ax my 与 5bx2m-3y 是同类项，且 a，b 不为零 m=2m-3，解得 m=3 （1）将 m=3 代入， （4m-13） 2019=-1 （2）2ax my+5bx2m-3y=0，且 xy0， （2a+5b）x 3y=0， 2a+5b=0，a=-2.5b (2a+3b)/(a+5b)=-16/5