1、 专题专题 13 13 轴对称轴对称 知识点知识点 1 1：轴对称：轴对称 1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图 形；这条直线叫做对称轴。 2.对称点：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这 条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 线段的垂直平分线的性质 （1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 （2）角平分线上的点到角两边距离相等。 （3）线段垂直
2、平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。 （4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 知识点知识点 2 2：画轴对称图形的方法：画轴对称图形的方法 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点， 连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 知识点知识点 3 3：等腰三角形与等边三角形：等腰三角形与等边三角形 1.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角） 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一” 。 3.等腰三角形的判
3、定：等角对等边。 4.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于 60， 5.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 有两个角是 60的三角形是等边三角形。 6.直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 7直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 一、学习线段的垂直平分线要求一、学习线段的垂直平分线要求 1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线 2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理. 3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形. 4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其
4、逆定理解决简单的几何问题及实际问题 二、线段的垂直平分线要点梳理二、线段的垂直平分线要点梳理 要点一、线段的垂直平分线要点一、线段的垂直平分线 1. 线段的垂直平分线定义。经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂 直平分线，也叫线段的中垂线 2.线段垂直平分线的做法。求作线段 AB 的垂直平分线. 作法： （1）分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C，D 两点； 说明：作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了 （2）作直线 CD，CD 即为所求直线 说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线. 要点二、线段的垂直平分线定理要点二、线段的
5、垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之 一。同时也给出了引辅助线的方法， “线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段 垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条 件 要点三、线段的垂直平分线逆定理要点三、线段的垂直平分线逆定理 2 1 2 1 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 要点解读：要点解读： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分
6、线可以看作是与这条线 段两个端点的距离相等的所有点的集合 要点四、三角形的外心要点四、三角形的外心 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心 外心. 要点解读要点解读: : 1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点） ，该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜 边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 要点五、尺规作图要点五、尺规作图 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图” ，画图必须保留痕 迹，在现行的教材里，一般不要求
7、写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即 “xxx 即为所求”. 三、线段的垂直平分线试题类型 类型一：线段的垂直平分线定理 类型二：线段的垂直平分线的逆定理 类型三：线段的垂直平分线定理与逆定理的综合应用 类型四：尺规作图 【例题【例题 1 1】 （】 （20192019江苏泰州）江苏泰州）如图图形中的轴对称图形是（ ） ABCD 【答案】B 【解析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合根 据轴对称图形的概念判断即可 A.不是轴对称图形；B.是轴对称图形；C.不是轴对称图形；D.不是轴对称图形。 【例题 2】如图，在 10
8、10 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，网格中有一个格点ABC（即三 角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1； （要求：A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1相对应） （2）在（1）问的结果下，连接 BB1，CC1，求四边形 BB1C1C 的面积 【答案】 （1）如图，A1B1C1 是ABC 关于直线 l 的对称图形。 （2）由图得四边形 BB1C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4。 S四边形 BB1C1C。 【解析】考点是考点是作图（轴对称变换） 。 （1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分作 BM直线
9、l 于点 M，并延长到 B1，使 B1M=BM，同法得到 A，C 的对应点 A1，C1，连接相邻两点可得到所求的图形。 （2）由图得四边形 BB1 C1C 是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是 4，根据梯形的面积公式进行计算即可。 【例题 3】 （20202020滨州）滨州）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折 叠，使点A落在EF上的点A处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N若直线BA交直线CD于点O，BC 5，EN1，则OD的长为（ ） A1 2 3 B1 3 3 C1 4 3 D1 5 3 【答案】B 【解析】根据中位线定理可得AM2，根据折叠
10、的性质和等腰三角形的性质可得AMAN2，过M点作 MGEF于G，可求AG，根据勾股定理可求MG，进一步得到BE，再根据平行线分线段成比例可求OF，从 而得到OD 11 11 BB +CC4=4+2=12 22 解：EN1， 由中位线定理得AM2， 由折叠的性质可得AM2， ADEF， AMBANM， AMBAMB， ANMAMB， AN2， AE3，AF2 过M点作MGEF于G， NGEN1， AG1， 由勾股定理得MG= 22 12= 3， BEOFMG= 3， OF：BE2：3， 解得OF= 23 3 ， OD= 3 23 3 = 3 3 轴对称单元精品检测试卷轴对称单元精品检测试卷 本套
11、试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1.1.（20192019 山东东营）山东东营）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） 【答案】【答案】D D 【解析】【解析】观察图形，选项 D 中图形是轴对称图形，有 3 条对称轴，其他图形都不是轴对称图形故选 D 2.若下列选项中的图形均为正多边形，则哪一个图形恰有 4 条对称轴？（ ） A B C D 【答案】B 【解析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键直接利用 轴对称图形的性质分析得出符合题意的答案
12、A正三角形有 3 条对称轴，故此选项错误； B正方形有 4 条对称轴，故此选项正确； C正六边形有 6 条对称轴，故此选项错误； D正八边形有 8 条对称轴，故此选项错误 3.如图， 直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， 点 P 时直线 MN 上的点， 下列判断错误的是 （ ） AAM=BM BAP=BN CMAP=MBP DANM=BNM 【答案】B 【解析】根据直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴，得到点 A 与点 B 对应，根据轴对称的性质 即可得到结论 直线 MN 是四边形 AMBN 的对称轴， 点 A 与点 B 对应， AM=BM，AN=BN，ANM=BNM， 点 P 时直
13、线 MN 上的点， MAP=MBP， A，C，D 正确，B 错误。 4.下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图 形而言的，是一种具有 特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关 键分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可 A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B是中心对称图形，故本选项错误； C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D是轴对称图形，故本选项正确 5.如图,ABC关于直线l的对称图形是DEF，下列
14、判断错误的是（ ） A. AB=DE B.BCEF C.直线lBE D.ABC=DEF 【答案】B 【解析】轴对称图形的相关性质。结合轴对称图形的相关性质逐一检验，从而找到合理答案. 成轴对称的图形是全等形，故AB=DE，ABC=DEF，对称点之间的线段被对称轴垂直平分即直线lBE， 而BCEF没有依据，故B选项错误. 6.平面直角坐标系中，点 P（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ） A （2，3） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 【答案】A l B A C E D F 【解析】此题主要考查了关于 x 轴对称点 的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键直 接利用关于 x
15、 轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案 点 P（2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（2，3） 7.小莹和小博士下棋，小莹执白子，小博士执黑子如图，棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，右下角 黑子的位置用（0，-1）表示小莹将第 4 枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形他放的位置 是（ ） A （-2，1） B （-1，1） C （1，-2） D （-1，-2） 【答案】B 【解析】本题考查了轴对称图形和坐标位置的确定.棋盘中心黑子的位置用（-1，0）表示，则这点所在的 横线是 x 轴，右下角黑子的位置用（0，-1） ，则这点所在的纵线是 y 轴，则当放的位置是
16、（-1，1）时构成 轴对称图形故选 B. 8如图，AOB=120，OP 平分AOB，且 OP=2若点 M，N 分别在 OA，OB 上，且PMN 为等边三角形，则满足上述条件的PMN 有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D3 个以上 【答案】D 【解析】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等 知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型 如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=60，只要证明PEMPON 即可推出 PMN 是等边三角形，由此即可对称结论 如图在 OA、OB 上截取 OE=OF=OP，作MPN=60 OP
17、平分AOB， EOP=POF=60， OP=OE=OF， OPE，OPF 是等边三角形， EP=OP，EPO=OEP=PON=MPN=60， EPM=OPN， 在PEM 和PON 中， ， PEMPON PM=PN，MPN=60， POM 是等边三角形， 只要MPN=60，PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个 9.如图所示，底边 BC 为 2，顶角 A 为 120的等腰ABC 中，DE 垂直平分 AB 于 D，则 ACE 的周长为（ ） A2+2 B2+ C4 D3 【答案】A 【解析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性 质，含 30 度角的直角三角形
18、性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力 过 A 作 AFBC 于 F，根据等腰三角形的性质得到B=C=30，得到 AB=AC=2，根据 线段垂直平分线的性质得到 BE=AE，即可得到结论 过 A 作 AFBC 于 F， AB=AC，A=120， B=C=30， AB=AC=2， DE 垂直平分 AB，BE=AE， AE+CE=BC=2， ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2 10.如图，四边形 ABCD 中，BAD120，BD90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长 最小时，则AMNANM 的度数为（ ） A130 B120 C110 D100 【答案】
19、B 【解析】考点有【解析】考点有轴对称（最短路线问题） ，三角形三边关系，三角形外角性质，等腰三角形的性质。 根据要使AMN 的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 ED 的对称 点 A，A，即可得出AAMAHAA60，进而得出AMNANM2(AAMA)即 可得出答案： 如图，作 A 关于 BC 和 ED 的对称点 A，A，连接 AA，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 AA即为AMN 的周长最小值。作 DA 延长线 AH。 BAD120，HAA60。 AAMAHAA60。 MAAMAA，NADA， 且MAAMAAAMN， NADAANM， AMN
20、ANMMAAMAANADA 2(AAMA)260120。 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 11 （2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC 上的点F处，连接DF若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF ，BE 【答案】2，5 1 【解析】四边形ABCD是矩形， ADBC，ADCBDAE90， 把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处， CFBC，CFEB90，EFBE， CFAD，CFD90， ADE+CDFCDF+DCF90， ADFDCF， ADEFCD（ASA） ， DFA
21、E2； AFECFD90， AFEDAE90， AEFDEA， AEFDEA， = ， 2 = 2+ 2 ， EF= 5 1（负值舍去） ， BEEF= 5 1 12 （20202020武汉）武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB1，AD2设 AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是 【答案】1 4 2 1 4t+1 【解析】连接DM，过点E作EGBC于点G，设DExEM，则EA2x，由勾股定理得出（2x） 2+t2 x 2，证得ADMFEG，由锐角三角函数的定义得出 FG，求出CF，则由梯形的面积公式可得出答案 解：连接DM，过点E作EGB
22、C于点G， 设DExEM，则EA2x， AE 2+AM2EM2， （2x） 2+t2x2， 解得x= 2 4 +1，DE= 2 4 +1， 折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处， EFDM， ADM+DEF90， EGAD， DEF+FEG90， ADMFEG， tanADM= = 2 = 1 ， FG= 2， CGDE= 2 4 +1， CF= 2 4 2 +1， S四边形CDEF= 1 2（CF+DE）1= 1 4 2 1 4t+1 13 （20202020甘孜州）甘孜州）如图，有一张长方形纸片ABCD，AB8cm，BC10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE 折叠，BC的对应边
23、BC恰好经过点D，则线段DE的长为 cm 【答案】5 【分析】由折叠的性质可得ABAB8cm，BCBC10cm，CECE，由勾股定理可求BD的长，由勾股 定理可求解 将纸片沿AE折叠，BC的对应边BC恰好经过点D， ABAB8cm，BCBC10cm，CECE， BD= 2 2 = 100 64 =6cm， CDBCBD4cm， DE 2CD2+CE2， DE 216+（8DE）2， DE5cm 14 （2020铜仁市） 如图， 在矩形ABCD中，AD4， 将A向内翻折， 点A落在BC上， 记为A1， 折痕为DE 若 将B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB 【答案】23 【解
24、析】由折叠可得，A1DAD4，AEA1D90，BA1EB1A1E，BA1B1A1，BA1B1E90， EA1B1+DA1B190BA1E+CA1D， DA1B1CA1D， 又CA1B1D，A1DA1D， A1DB1A1DC（AAS） ， A1CA1B1， BA1A1C= 1 2BC2， RtA1CD中，CD= 42 22= 23， AB= 23 三、解答题三、解答题（8 8 个小题，共个小题，共 7575 分）分） 15.（5 分）如图，作出菱形ABCD关于直线l的对称图形. 【答案】 【解析】轴对称图形的画法. 作出菱形四个顶点的对称点，并顺次连接起来分别作出点A、B、C、D关于 直线l的对
25、称点E、F、G、I，连接EF，FG，GI，IE，菱形EFGI即为所求. 16.（8 分）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，1） ，B（3，3） ，C（1，3）. 画出ABC 关于 x 轴对称的A1B1C1，并写出点 A1的坐标； 画出ABC 关于原点 O 对称的A2B2C2，并写出点 A2的坐标. l D A B C l D A B C I E F G 【答案】如图所示，A1（2，1） 。 如图所示，A2（2，1） 。 【解析】考点是考点是轴对称和中心对称作图。 根据轴对称和中心对称的性质作图，写出 A1、A2的坐标。 17.（12 分） （20192019重庆）重庆）如图，在A
26、BC中，ABAC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分ABC交AC 于点E，过点E作EFBC交AB于点F （1）若C36，求BAD的度数； （2）求证：FBFE 【答案】见解析。 【解析】 （1）ABAC，CABC， C36，ABC36， BDCD，ABAC， ADBC，ADB90，BAD903654 （2）证明：BE平分ABC， ABECBEABC， EFBC，FEBCBE， FBEFEB，FBFE 18.18.（10 分） （20192019杭州）杭州）如图，在ABC中，ACABBC （1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：APC2B （2） 以点B为圆心， 线段
27、AB的长为半径画弧， 与BC边交于点Q， 连接AQ 若AQC3B， 求B的度数 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P， PAPB，BBAP， APCB+BAP，APC2B； （2）根据题意可知BABQ，BAQBQA， AQC3B，AQCB+BAQ，BQA2B， BAQ+BQA+B180， 5B180，B36 19. （8 分）如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选 择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 【答案】见解析。 【解析】从A到B要走的路线是AMNB，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要A
28、MBN 最短即可此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即 为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥 (1)如图 2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽 (2)连接BC与河岸的一边交于点N. (3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M. 则MN为所建的桥的位置 20.（8 分）如图，A、B为重庆市内两个较大的商圈，现需要在主要交通干道l上修建一个轻轨站P，问如 何修建，才能使得人们出行逛街更便捷. 【答案】 【解析】利用轴对称解决最短路径问题。作点A关于直线l的对称点A，再连接AB，交直线l于点P， 点P即为所求. 2121 （
29、12 分）如图，直线ABCD，ACD的平分线CE交AB于点F，AFE的平分线交CA延长线于 点G （1）证明：ACAF； （2）若FCD30，求G的大小 l B A P l P B A A 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：ACD的平分线CE交AB于点F， ACFDCF， ABCD， AFCDCF， ACFAFC， ACAF； （2）解：FCD30，ABCD， ACDGAF60，AFC30， AFE的平分线交CA延长线于点G 75， G180GAFAFG180607545 22 （12 分） （20202020泰安）泰安）若ABC和AED均为等腰三角形，且BACEAD90 （1）如图（1
30、） ，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由； （2）如图（2） ，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CFCD 求证：EBDC，EBGBFC 【答案】见解析。 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得EBAE45，ABE90，ABCBAE45，ABE BAC90，可证BCAE，ACBE，可得四边形BEAC是平行四边形； （2）由“SAS”可证AEBADC，可得BECD； 延长FG至点H，使GHFG，由“SAS”可证EGHCGF，可得BFCH，CFEH，可得EHBE， 由等腰三角形的性质可得结论 【解析】 （1）四边形BEAC是平行四边形， 理由如下： AED为等腰三角形，EAD90，B是DE的中点， EBAE45，ABE90， ABC是等腰三角形，BAC90， ABCBAE45，ABEBAC90， BCAE，ACBE， 四边形BEAC是平行四边形； （2）ABC和AED均为等腰三角形，BACEAD90， AEAD，ABAC，BAECAD， AEBADC（SAS） ， BECD； 延长FG至点H，使GHFG， G是EC的中点， EGDG， 又EGHFGC， EGHCGF（SAS） ， BFCH，CFEH， CFCD，CDBE， EHBE， HEBG， EBGBFC