1、 专题专题 27 27 相似相似 知识点知识点1 1：相似三角形定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 知识点知识点 2 2：相似三角形的判定: 定理1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似； 定理2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似； 定理3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似； 定理4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似； 定理5.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 定理6.
2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三 角形也相似。 知识点知识点 3 3：相似三角形的性质: 性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、 对应中线、 对应角平分线、 外接圆半径、 内切圆半径等） 的比等于相似比。 性质2.相似三角形周长的比等于相似比。 性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 知识点知识点 4 4：位似 1.位似图形、位似中心、位似的定义 每幅图的两个多边形不仅相似，而且对应定点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似 图形，这点叫做位似中心。这时我们说这两个图形关于这点位似。 2.位似比 两个相似图形的相似比，成为位似比。
3、 3.位似图形的性质。 4.要知道用位似将一个图形放大或者缩小的办法。能说出平移、轴对称、旋转和位似之间的异同， 并举出一些他们的实际应用的例子。 一、用思维导图记忆本单元知识内在联系一、用思维导图记忆本单元知识内在联系 二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧二、以一道几何题解法为例，说明添加辅助线，构造相似形的方法和技巧 已知：如图，ABC 中，ABAC，BDAC 于 D 求证： BC 22CDAC 整体分析：整体分析：欲证 BC 22CDAC，只需证 BC AC CD BC 2 但因为结论中有“2” ，无法直接找到它们所在的相 似三角形，因此需要结合图形特点及结论
4、形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造 出单一线段后，再证明三角形相似由“2”所放的位置不同，证法也不同 证法一证法一（构造 2CD） ：如图，我们很容易想到，在 AC 截取 DEDC， （或者说在 AC 上取一点 E，使得 CD=DE, 这 样就有 CE=2CD） BDAC 于 D， BD 是线段 CE 的垂直平分线， BC=BE，C=BEC， 又 ABAC， C=ABC BCEACB BC AC CE BC ， BC AC CD BC 2 BC 22CDAC 证法二证法二（构造 2AC） ：如图，在 CA 的延长线上截取 AEAC，连结 BE，得到EBC ABAC， AB
5、AC=AE EBC=90， 又BDAC EBC=BDC=EDB=90， E=DBC， EBCBDC BC CE CD BC 即 BC AC CD BC2 BC 22CDAC 证法三证法三（构造BC 2 1 ） ：如图，取 BC 的中点 E，连结 AE，则 EC=BC 2 1 又AB=AC， AEBC，ACE=C AEC=BDC=90 ACEBCD BC AC CD CE 即 BC AC CD BC 2 1 BC 22CDAC 证法四证法四（构造BC 2 1 ） ：如图，取 BC 中点 E，连结 DE，则 CE=BC 2 1 BDAC，BE=EC=ED， EDC=C 又AB=AC，ABC=C，
6、ABCEDC EC AC CD BC ，即 BC AC CD BC 2 1 BC 22CDAC 说明：说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020重庆）重庆）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标分别是A（1，2） ，B（1，1） ，C（3， 1） ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为 2：1，则线段 DF的长度为（ ） A5 B2 C4 D25 【答案】D 【解析】把A、C的横纵坐标都乘以 2 得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长 以
7、原点为位似中心，在原点的同侧画DEF，使DEF与ABC成位似图形，且相似比为 2：1， 而A（1，2） ，C（3，1） ， D（2，4） ，F（6，2） ， DF= (2 6)2+ (4 2)2=25 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020盐城）盐城）如图，BCDE，且BCDE，ADBC4，AB+DE10则 的值为 【解析】2 【分析】由平行线得三角形相似，得出ABDE，进而求得AB，DE，再由相似三角形求得结果 【解析】BCDE， ADEABC， = = ，即 4 = 4 = ， ABDE16， AB+DE10， AB2，DE8， = = 8 4 = 2 【例题【例题 3 3】 （
8、辅助线添法）】 （辅助线添法）已知在ABC 中，AD 是BAC 的平分线 求证：AB/AC=BD/CD 【答案】见解析。 【解析】比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时， 可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中 AD 为ABC 内角 A 的平分线，这里不存在平行线，于是可 考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再 比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决 证法 1：如图，过 C 点作 CEAD，交 BA 的延长线于 E 在BCE 中， DACE， BD/DC=BA/AE 又 CEAD
9、， 1=3，2=4，且 AD 平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE BD/DC=BA/AC 证法 2： 由于 BD、CD 是点 D 分 BC 而得，故可过分点 D 作平行线 如图，过 D 作 DEAC 交 AB 于 E，则2=3 1=2， 1=3 于是 EA=ED 又， ， . 证法 3： 欲证式子左边为 AB：AC，而 AB、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将 AB 转移到与 AC 平行 的位置如图，过 B 作 BEAC，交 AD 的延长线于 E，则2=E 1=2， 1=E，AB=BE 又， . 证法 4：由于 AD 是BAC 的平分线，故可过 D 分别作 AB、AC 的平行
10、线，构造相似三角形求证如图，过 D 点作 DEAC 交 AB 于 E，DFAB 交 AC 于 F DC BD EA BE EA BE ED BE AC AB CD BD AC AB AC BE DC BD CD BD AC AB 易证四边形 AEDF 是菱形则 DE=DF 由BDEDFC，得 又 ， . 相似单元精品检测试卷相似单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1.1.（20192019 湖南邵阳）湖南邵阳）如图，以点 O 为位似中心，把ABC
11、放大为原图形的 2 倍得到ABC，以下说法 中错误的是（ ） AABCABC B点 C、点 O、点 C三点在同一直线上 CAO：AA=1：2 DE BE DF BE DC BD AC AB DE BE DC BD AC AB DABAB 【答案】C 【解析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案 解：以点O为位似中心，把ABC放大为原图形的 2 倍得到ABC， ABCABC，点C、点O、点C三点在同一直线上，ABAB， AO：OA1：2，故选项C错误，符合题意 【点评】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键 2 （20202020牡丹江）牡丹江）如图，在矩形ABCD中，A
12、B3，BC10，点E在BC边上，DFAE，垂足为F若DF6， 则线段EF的长为（ ） A2 B3 C4 D5 【答案】B 【分析】证明AFDEBA，得到 = = ，求出 AF，即可求出AE，从而可得EF 【解析】四边形ABCD为矩形， ABCD3，BCAD10，ADBC， AEBDAF， AFDEBA， = = ， DF6， AF= 102 62= 8， 8 = 10 = 6 3， AE5， EFAFAE853 3.3.（20192019海南省）海南省）如图，在RtABC中，C90，AB5，BC4点P是边AC上一动点，过点P作PQ AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分ABC时，AP
13、的长度为（ ） A. B C D 【答案】B 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键 根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到QBQD，根据相似三 角形的性质列出比例式，计算即可 C90，AB5，BC4， AC3， PQAB， ABDBDQ，又ABDQBD， QBDBDQ， QBQD， QP2QB， PQAB， CPQCAB， ，即， 解得，CP， APCACP 4 （20202020嘉兴）嘉兴）如图，在直角坐标系中，OAB的顶点为O（0，0） ，A（4，3） ，B（3，0） 以点O为位似 中心，在第三象限
14、内作与OAB的位似比为1 3的位似图形OCD，则点 C坐标（ ） A （1，1） B （ 4 3，1） C （1， 4 3） D （2，1） 【答案】B 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以 1 3即可 【解析】以点O为位似中心，位似比为1 3， 而A （4，3） ， A点的对应点C的坐标为（ 4 3，1） 5 （20202020安徽）安徽）如图，RtABC中，C90，点D在AC上，DBCA若AC4，cosA= 4 5，则 BD 的长度为（ ） A9 4 B12 5 C15 4 D4 【答案】C 【分析】在ABC中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得B
15、C，最后在BCD中由三角函数求得BD 【解析】C90，AC4，cosA= 4 5， AB= = 5， = 2 2= 3， DBCA cosDBCcosA= = 4 5， = 3 5 4 = 15 4 6 （20202020无锡）无锡）如图，等边ABC的边长为 3，点D在边AC上，AD= 1 2，线段 PQ在边BA上运动，PQ= 1 2， 有下列结论： CP与QD可能相等； AQD与BCP可能相似； 四边形PCDQ面积的最大值为313 16 ； 四边形PCDQ周长的最小值为 3+ 37 2 其中，正确结论的序号为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】利用图象法可知PCDQ，故错误 AB60
16、，当ADQCPB时，ADQBPC，故正确 设AQx，则四边形PCDQ的面积= 3 4 3 21 2 x 3 2 1 2 1 2 3（3x 1 2） 3 2 = 33 8 + 53 8 x， x的最大值为 3 1 2 = 5 2， x= 5 2时，四边形 PCDQ的面积最大，最大值= 313 16 ，故正确， 如图，作点D关于AB的对称点D，作DFPQ，使得DFPQ，连接CF交AB于点P，此时四边形P CDQ的周长最小 过点C作CHDF交DF的延长线于H，交AB于J 由题意，DD2ADsin60= 3 2 ，HJ= 1 2DD= 3 4 ，CJ= 33 2 ，FH= 3 2 1 2 1 4 =
17、3 4， CHCJ+HJ= 73 4 ， CF= 2+ 2=(3 4) 2+ (73 4 )2= 39 2 ， 四边形PCDQ的周长的最小值3+ 39 2 ，故错误。 7 （20202020成都）成都）如图，直线l1l2l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB5，BC6，EF4，则DE 的长为（ ） A2 B3 C4 D10 3 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可 【解析】直线l1l2l3， = ， AB5，BC6，EF4， 5 6 = 4 ， DE= 10 3 8 （20202020哈尔滨）哈尔滨）如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在
18、AC边上，过点E作EFBC，交 AD于点F，过点E作EGAB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ） A = B = C = D = 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可 【解析】EFBC， = ， EGAB， = ， = 9 （20202020遵义）遵义）如图，ABO的顶点A在函数y= （x0）的图象上，ABO90，过 AO边的三等分点 M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q若四边形MNQP的面积为 3，则k的值为（ ） A9 B12 C15 D18 【答案】D 【分析】 易证ANQAMPAOB， 由相似三角形的性质： 面积比等于相似比的平方可求出ANQ的面积，
19、进而可求出AOB的面积，则k的值也可求出 【解析】 NQMPOB， ANQAMPAOB， M、N是OA的三等分点， = 1 2， = 1 3， = 1 4， 四边形MNQP的面积为 3， 3: = 1 4， SANQ1， 1 =（ ） 2=1 9， SAOB9， k2SAOB18 10 （20202020铜仁市）铜仁市）如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在边AB上，BE1，DAM45，点F在射线 AM上，且AF= 2，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF下 列结论：ECF的面积为17 2 ；AEG的周长为 8；EG 2DG2+BE2；其中正确
20、的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】如图，在正方形ABCD中，ADBC，ABBCAD4，BBAD90， HAD90， HFAD，H90， HAF90DAM45， AFHHAF AF= 2，AHHF1BEEHAE+AHABBE+AH4BC， EHFCBE（SAS） ，EFEC，HEFBCE， BCE+BEC90，HEF+BEC90，FEC90， CEF是等腰直角三角形， 在 RtCBE中，BE1，BC4， EC 2BE2+BC217， SECF= 1 2EFEC= 1 2EC 2=17 2 ，故正确； 过点F作FQBC于Q，交AD于P， APF90HHAD， 四边形APFH是矩形，
21、AHHF，矩形AHFP是正方形，APPFAH1， 同理：四边形ABQP是矩形， PQAB4，BQAP1，FQFP+PQ5，CQBCBQ3， ADBC，FPGFQC， = ， 1 5 = 3 ，PG= 3 5，AGAP+PG= 8 5， 在 RtEAG中，根据勾股定理得，EG= 2+ 2= 17 5 ， AEG的周长为AG+EG+AE= 8 5 + 17 5 +38，故正确； AD4，DGADAG= 12 5 ， DG 2+BE2=144 25 +1= 169 25 ， EG 2（17 5 ） 2=289 25 169 25 ， EG 2DG2+BE2，故错误， 正确的有， 二、填空题二、填空题
22、（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11.11.（20192019 广西百色）广西百色）如图，ABC与ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2） ，B （3，4） ，C（6，1） ，B（6，8） ，则ABC的面积为 【答案】18 【解析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案 ABC与ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2） ，B（3，4） ，C（6，1） ，B（6， 8） ， A（4，4） ，C（12，2） ， ABC的面积为：6824662818 【点评】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键 1
23、2 （20202020湖州）湖州）在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格 点的三角形称为格点三角形如图，已知 RtABC是 66 网格图形中的格点三角形，则该图中所有与 Rt ABC相似的格点三角形中面积最大的三角形的斜边长是 【解析】52 【解析】在 RtABC中，AC1，BC2， AB= 5，AC：BC1：2， 与 RtABC相似的格点三角形的两直角边的比值为 1：2， 若该三角形最短边长为 4，则另一直角边长为 8，但在 66 网格图形中，最长线段为 62，但此时画出的 直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段，故最短
24、直角边长应小于 4，在图 中尝试，可画出DE= 10，EF210，DF52的三角形， 10 1 = 210 2 = 52 5 =10， ABCDEF， DEFC90， 此时DEF的面积为：10210210，DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：52 13 （20202020无锡）无锡）如图，在 RtABC中，ACB90，AB4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB2AD， AE3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 【解析】8 3 【解析】如图，过点D作DFAE， 则 = = 2 3， = 1 3， DF2EC， DO2OC， DO= 2 3DC， SADO= 2 3SADC
25、，SBDO= 2 3SBDC， SABO= 2 3SABC， ACB90， C在以AB为直径的圆上，设圆心为G， 当CGAB时，ABC的面积最大为：1 2 424， 此时ABO的面积最大为：2 3 4= 8 3 14.14.（20192019浙江宁波）浙江宁波）如图所示，RtABC中，C90，AC12，点D在边BC上，CD5，BD13点 P是线段AD上一动点，当半径为 6 的P与ABC的一边相切时，AP的长为 【答案】6.5 或 3 【解析】在RtABC中，C90，AC12，BD+CD18， AB6， 在RtADC中，C90，AC12，CD5， AD13， 当P于BC相切时，点P到BC的距离6
26、， 过P作PHBC于H， 则PH6， C90， ACBC， PHAC， DPHDAC， ， ， PD6.5， AP6.5； 当P于AB相切时，点P到AB的距离6， 过P作PGAB于G， 则PG6， ADBD13， PAGB， AGPC90， AGPBCA， ， ， AP3， CD56， 半径为 6 的P不与ABC的AC边相切， 综上所述，AP的长为 6.5 或 3， 故答案为：6.5 或 3 15. 201915. 2019 黑龙江省龙东地区）黑龙江省龙东地区） 一张直角三角形纸片ABC，ACB90，AB10，AC6，点D为BC边上 的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点
27、E处，当BDE是直角三角形时，则CD 的长为_ 【答案】3 或 24 7 . 【解析】在BDE 中，B 是锐角，有两种可能，DEB 或EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解即 可. 如图 1，DEB 是直角时，ACB90，AB10，AC6，BC= 22 106=8,设 CD=x，则 BD=8-x，由折 叠 知 CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA， ACDE ABDB ，即 6 108 x x ，解得 x=3; 如图 2，EDB 是直角时，EDAC，BEDBAC， ACED CBDB ,即 6 88 x x ，解得 x= 24 7 ，综上，CD 的 长 为 3 或 24 7 .
28、图 1 图 2 1616 （ （20192019山东泰安山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB3，BC12，E为AD中点，F为AB上一点，将AEF 沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 【答案】2 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当 的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果 连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分DCF，再证FEC90，最后证FEC EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度 如图，连接EC， 四边形ABCD为矩形， AD90，BCAD12，DCAB3， E
29、D A B C D E F A C B E为AD中点， AEDEAD6 由翻折知，AEFGEF， AEGE6，AEFGEF，EGFEAF90D， GEDE， EC平分DCG， DCEGCE， GEC90GCE，DEC90DCE， GECDEC， FECFEG+GEC18090， FECD90， 又DCEGCE， FECEDC， ， EC3， ， FE2 17.17. （20192019 江苏常州）江苏常州） 如图， 在矩形ABCD中，AD3AB310 点P是AD的中点， 点E在BC上，CE2BE， 点M、N在线段BD上若PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN_ 【答案】6 【解析】本题考
30、查了矩形的性质、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数 等几何知识点首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB310点P是AD的中点，点E在BC 上，CE2BE” ，求得PD 3 10 2 ，CE210，这样由 tanDEC 1 2 DC EC ；第四步过点P作PHBD于点 H，在BD上依次取点M、N，使MHNH2PH，于是因此PMN是所求符合条件的图形；第五步由DPH DBA，得 PHPD BABD ，即 3 10 2 1010 PH ，得PH 3 2 ，于是MN4PH6，本题答案为 6 18.18.（20192019山东省滨州市）山东省滨州市）如图，ABCD
31、的对角线AC，BD交于点O，CE平分BCD交AB于点E，交BD于 P E D C B A H N M P E D C B A 点F，且ABC60，AB2BC，连接OE下列结论：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7； FB 2OFDF其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】四边形ABCD是平行四边形， CDAB，ODOB，OAOC， DCB+ABC180， ABC60， DCB120， EC平分DCB， ECBDCB60， EBCBCECEB60， ECB是等边三角形， EBBC， AB2BC， EAEBEC， ACB90， OAOC，EAEB， OEBC， AO
32、EACB90， EOAC，故正确， OEBC， OEFBCF， ， OFOB， SAODSBOC3SOCF，故错误， 设BCBEECa，则AB2a，ACa，ODOBa， BDa， AC：BDa：a：7，故正确， OFOBa， BFa， BF 2 a 2，OFDF a （a+a）a 2， BF 2OFDF，故正确， 故答案为 19.19.（20192019 四川泸州）四川泸州）如图，在等腰 RtABC中，C90，AC15，点E在边CB上，CE2EB，点D在 边AB上，CDAE，垂足为F，则AD的长为 【答案】【答案】92 【解析】【解析】过D作DHAC于H， 在等腰 RtABC中，C90，AC1
33、5， ACBC15， CAD45， AHDH， CH15DH， CFAE， DHADFA90， HAFHDF， ACEDHC， = ， CE2EB， CE10， 15 = 15; 10 ， DH9， AD92， 故答案为：92 20.20.（20192019 四川省凉山州）四川省凉山州）在ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为 2：3 的两部分，连接BE、AC相 交于F，则SAEF：SCBF是 【答案】4：25 或 9：25 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似 比的平方是解题的关键 分AE：ED2：3、AE：ED3：2 两种情况，
34、根据相似三角形的性质计算即可 当AE：ED2：3 时， 四边形ABCD是平行四边形， ADBC，AE：BC2：5， AEFCBF， SAEF：SCBF（） 24：25； 当AE：ED3：2 时， 同理可得，SAEF：SCBF（） 29：25。 三、解答题三、解答题（6 6 个小题，每题个小题，每题 1010 分，共分，共 6060 分）分） 21 （20202020菏泽）菏泽）如图 1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OAOC，OBOD+CD （1）过点A作AEDC交BD于点E，求证：AEBE； （2）如图 2，将ABD沿AB翻折得到ABD 求证：BDCD； 若ADBC，求证：CD
35、 22ODBD 【解析】见解析。 【解析】 （1）证明：AEDC， CDOAEO，EAODCO， 又OAOC， AOECOD（AAS） ， CDAE，ODOE， OBOE+BE，OBOD+CD， BECD， AEBE； （2）证明：如图 1，过点A作AEDC交BD于点E， 由（1）可知AOECOD，AEBE， ABEAEB， 将ABD沿AB翻折得到ABD， ABDABD， ABDBAE， BDAE， 又AECD BDCD 证明：如图 2，过点A作AEDC交BD于点E，延长AE交BC于点F， ADBC，BDAE， 四边形ADBF为平行四边形 DAFB， 将ABD沿AB翻折得到ABD DADB，
36、AFBADB， 又AEDBEF， AEDBEF， = ， AECD， = ， EFCD， BEFBDC， = ， = ， CD 2DEBD， AOECOD， ODOE， DE2OD， CD 22ODBD 22 （20202020武汉）武汉）问题背景 如图（1） ，已知ABCADE，求证：ABDACE； 尝试应用 如图（2） ，在ABC和ADE中，BACDAE90，ABCADE30，AC与DE相交于点 F，点D在BC边上， =3，求 的值； 拓展创新 如图（3） ，D是ABC内一点，BADCBD30，BDC90，AB4，AC23，直接写出 AD的长 【解析】见解析。 【解析】问题背景 证明：AB
37、CADE， = ，BACDAE， BADCAE， = ， ABDACE； 尝试应用 解：如图 1，连接EC， BACDAE90，ABCADE30， ABCADE， 由（1）知ABDACE， = =3，ACEABDADE， 在 RtADE中，ADE30， =3， = =3 3 =3 ADFECF，AFDEFC， ADFECF， = =3 拓展创新 解：如图 2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM， BAD30， DAM60， AMD30， AMDDBC， 又ADMBDC90， BDCMDA， = ， 又BDCADM， BDC+CDMADM+ADC， 即BDMCDA，
38、 BDMCDA， = =3， AC23， BM23 3 =6， AM= 2 2= 62 42=25， AD= 1 2 = 5 23 （20202020南京）南京）如图，在ABC和ABC中，D、D分别是AB、AB上一点， = （1）当 = = 时，求证ABCABC 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格 （2）当 = = 时，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由 【解析】见解析。 【解答】 （1）证明： = ， = ， = = ， = = ， ADCADC， AA， = ， ABCABC 故答案为： = = ，AA （2）如图，过点D，D分别作DEBC，DEBC，DE交AC于E，D
39、E交AC于E DEBC， ADEABC， = = ， 同理， = = ， = ， = ， = ， 同理， = ， ; = ; ，即 = ， = ， = = ， = = ， DCEDCE， CEDCED， DEBC， CED+ACB90， 同理，CED+ACB180， ACBABC， = ， ABCABC 24.24.（20192019 湖北省荆门市）湖北省荆门市）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后 退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼 的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上） ，测得AC2m，BD
40、2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为 1.6m，试确定楼的高度OE 【答案】楼的高度OE为 32 米 【解析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M， 连接GF并延长交OE于点H， GFAC， MACMFG， ， 即：， ， OE32 25.25.（20192019 四川省凉山州）四川省凉山州）如图，ABDBCD90，DB平分ADC，过点B作BMCD交AD于M连接 CM交DB于N （1）求证：BD 2ADCD； （2）若CD6，AD8，求MN的长 【答案】见解析。 【解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质， 勾股定理， 直角三角形的性质， 求MC的长度是本
41、题的关键 证明： （1）通过证明ABDBCD，可得，可得结论； DB平分ADC， ADBCDB，且ABDBCD90， ABDBCD BD 2ADCD （2）由平行线的性质可证MBDBDC，即可证AMMDMB4，由BD 2ADCD 和勾股定理可求MC的长， 通过证明MNBCND，可得，即可求MN的长BMCD MBDBDC ADBMBD，且ABD90 BMMD，MABMBA BMMDAM4 BD 2ADCD，且 CD6，AD8， BD 248， BC 2BD2CD212 MC 2MB2+BC228 MC2 BMCD MNBCND ，且MC2 MN 2626(2019(2019 安徽安徽) )如图，
42、RtABC中，ACB90，ACBC，P为ABC内部一点，且APBBPC135 （1）求证：PABPBC； （2）求证：PA2PC； （3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h1 2h 2h3 【答案】见解析。 【解析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出EAPPCD是解本 题的关键 （1）ACB90，ABBC， ABC45PBA+PBC 又APB135， PAB+PBA45 PBCPAB 又APBBPC135， PABPBC （2）PABPBC 在RtABC中，ABAC， PA2PC （3）如图，过点P作PDBC，PEAC交BC.AC于点D，E， PFh1，PDh2，PEh3， CPB+APB135+135270 APC90， EAP+ACP90， 又ACBACP+PCD90 EAPPCD，RtAEPRtCDP， ，即， h32h2 PABPBC， ， 即：h1 2h 2h3