1、 专题专题 17 17 勾股定理勾股定理 知识点知识点 1 1：勾股定理：勾股定理 1.直角三角形的性质（重点记住并理解的知识） ： (1)直角三角形的两个锐角互余； (2)直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半； (3)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 2.勾股定理： 直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 222 cba 3.勾股定理的作用 （1）已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； （2）用于解决带有平方关系的证明问题； （3）与勾股定理有关的面积计算； （4）勾股定理在实际生活中的应用 知识点知识点 2 2：勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理 1
2、.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a 2+b2c2，那么这个三角形是直角三角形。 用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证 c 2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2a2+b2，则ABC 是以C 为直角的直角三角形（若 c2a2+b2， 则ABC 是以C 为钝角的钝角三角形；若 c 2n,m,n是正整数） ，则ABC是直 角三角形吗？ 【答案】见解析。 【解析】 先来判断 a,b,c 三边哪条最长，可以代 m,n 为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4. 则 a=9,b=40,c=41,c
3、 最大。 （m 2-n2）2+（2mn）2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2=（m2+n2）2， a 2+b2=c2， 能成为直角三角形的三边长 20.（15 分）在ABC 中，AB=13,AC=15,高 AD=12,则ABC 的周长为多少. 【答案】见解析。 【解析】对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角 三角形的高线在三角形的外部，而 BC 求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状. (1)如图甲，如果该三角形是锐角三角形时当 BC 边上的高线在ABC 内部 时，如图所示： 2 1 2 1 D A
4、BC ADBC ADB=ADC=90， ADB 与ADC 为直角三角形. 在 RtADB 中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得 BD= 2222 1312ABAD=5 在 RtADC 中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得 DC= 2222 1512ACAD=9 BC=BD+DC=5+9=14. ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42 （2）如图乙，如果该三角形是钝角三角形时, BC 边上的高线在ABC 外部时，同理可得： BC=BDDC=95=4 ABC 的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32. D A B C 图甲 图乙 21.（10 分）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a 2b2c233810a24b26c，试说明这个三角形 是直角三角形 【答案】见解析。 【解析】 本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求出a，b，c的值，然后再说明 将式子变形，得 a 2b2c233810a24b26c0， 即a 210a25b224b144c226c1690. 整理，得(a5) 2(b12)2(c13)20. 因此a50，b120，c130， a5，b12，c13. a 2b252122132c2， 这个三角形是直角三角形