1、 专题专题 12 12 全等三角形全等三角形 知识点知识点 1 1：全等三角形：全等三角形 1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称 变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。 2全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 知识点知识点 2 2：全等三角形的判定：全等三角形的判定 （1）“边角边”简称“SAS”； （2）“角边角”简称“ASA” ； （3）“边边边”简称“SSS”； （4）“角角边”简称“AAS”； （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL） 。 知识点知识点 3 3：角平分线的性质 角的内部到角的两
2、边的距离相等的点在叫的平分线上。 1.1.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤 （1）确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等 所隐含的边角关系） ， （2）回顾三角形判定，搞清我们还需要什么， （3）正确地书写证明格式. 2.2.三角形中作辅助线的常用方法三角形中作辅助线的常用方法 （1）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形， 使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明. （2）在利用三角形的
3、外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造 三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定 理. （3）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. （4）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 （5）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。 （6）截长补短法作辅助线。 （7）延长已知边构造三角形. （8）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 （9）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 （10）连接已知点，构造全等三角形。 （11）取线段中
4、点构造全等三有形。 3.3.全等三角形辅助线做法顺口溜全等三角形辅助线做法顺口溜 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020黔东南模拟）黔东南模拟）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个 适当的条件 使得ABCDEFwww-2-1-cnjy-com 【答案】A=D 【解析】根据全
5、等三角形的判定定理填空 添加A=D理由如下： FB=CE， BC=EF 又ACDF， ACB=DFE 在ABC 与DEF 中， ABCDEF（AAS） 【例题【例题 2 2】 （】 （20202020衡阳）衡阳）如图，在ABC中，BC，过BC的中点D作DEAB，DFAC，垂足分别为点 E、F （1）求证：DEDF； （2）若BDE40，求BAC的度数 【答案】见解析。 【解析】 （1）证明：DEAB，DFAC， BEDCFD90， D是BC的中点， BDCD， 在BED与CFD中， = = = ， BEDCFD（AAS） ， DEDF； （2）解：BDE40， B50， C50， BAC80
6、【例题【例题 3 3】 如图， 已知点 D 为等腰直角ABC 内一点， CAD=CBD=15， E 为 AD 延长线上的一点， 且 CE=CA. (1)求证：DE 平分BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC=DM，求证：ME=BD. 【答案】见解析。 【解析】(1)证明：在等腰直角ABC 中，CAD=CBD=15， BAD=ABD=45-15=30， BD=AD， BDCADC， DCA=DCB=45. 由BDE=ABD+BAD=30+30=60，EDC=DAC+DCA=15+45=60， BDE=EDC， DE 平分BDC. (2)证明：连接 MC， DC=DM，且MDC=60，
7、MDC 是等边三角形，即 CM=CD. 又EMC=180-DMC=180-60=120，ADC=180-MDC=180-60=120， EMC=ADC. 又CE=CA， DAC=CEM=15， ADCEMC， EM=AD=DB. 全等三角形单元精品检测试卷全等三角形单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 1已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，在证明该结论时， 需添加辅助线，则作法不正确的是（
8、 ） A作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C B过点 P 作 PCAB 于点 C 且 AC=BC C取 AB 中点 C，连接 PC D过点 P 作 PCAB，垂足为 C 【答案】B 【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论 A利用 SAS 判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； C利用 SSS 判断出PCAPCB，CA=CB，PCA=PCB=90，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合 题意； D利用 HL 判断出PCAPCB，CA=CB，点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，符合题意， B过线段外一点作已知
9、线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。 2.如图，已知ABC=DCB，添加以下条件，不能判定ABCDCB 的是（ ） AA=D BACB=DBC CAC=DB DAB=DC 【答案】C 【解析】全等三角形的判定方法有 SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可 AA=D，ABC=DCB，BC=BC，符合 AAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误； BABC=DCB，BC=CB，ACB=DBC，符合 ASA，即能推出ABCDCB，故本选项错误； CABC=DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出ABCDCB，本选项正确； DAB=DC，ABC=
10、DCB，BC=BC，符合 SAS，即能推出ABCDCB，故本选项错误。 3如图：若ABEACF，且 AB=5，AE=2，则 EC 的长为（ ） A2 B3 C5 D2.5 【答案】B 【解析】ABEACF，AB=5， AC=AB=5， AE=2， EC=ACAE=52=3 4如图，ABCABC，ACB=90，ACB=20，则BCB的度数为（ ） A20 B40 C70 D90 【答案】C 【解析】ACBACB， ACB=ACB， BCB=ACBACB=70 5.（20192019贵贵州省安顺市州省安顺市）如图，点B、F、C、E在一条直线上，ABED，ACFD，那么添加下列一个条件 后，仍无法判
11、定ABCDEF的是（ ） AAD BACDF CABED DBFEC 【解答】选项A、添加AD不能判定ABCDEF，故本选项正确； 选项B、添加ACDF可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项C、添加ABDE可用AAS进行判定，故本选项错误； 选项D、添加BFEC可得出BCEF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误 故选：A 6.6.（20192019 广西池河）广西池河）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BECF，则图中与AEB相等的 角的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 根据正方形的性质， 利用SAS即可证明ABEBCF， 再根据全等三角形的性
12、质可得BFCAEB， 进一步得到BFCABF，从而求解 证明：四边形ABCD是正方形， ABBC，ABBC，ABEBCF90， 在ABE和BCF中， ， ABEBCF（SAS） ， BFCAEB， BFCABF， 故图中与AEB相等的角的个数是 2 7 7 （ （20192019山东临沂）山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DEFE，FCAB，若AB4，CF3，则BD 的长是（ ） A0.5 B1 C1.5 D2 【答案】B 【解析】根据平行线的性质，得出AFCE，ADEF，根据全等三角形的判定，得出ADECFE， 根据全等三角形的性质，得出ADCF，根据AB4，CF3，即可求线
13、段DB的长 CFAB， AFCE，ADEF， 在ADE和FCE中， ADECFE（AAS） ， ADCF3， AB4， DBABAD431 8.已知，如图，ABCDEF，ACDF，BCEF则不正确的等式是（ ） AAC=DF BAD=BE CDF=EF DBC=EF 【答案】C 【解析】AABCDEF，AC=DF，故此结论正确； BABCDEF，AB=DE；DB 是公共边，ABBD=DEBD，即 AD=BE；故此结论正确； CABCDEF，AC=DF，故此结论 DF=EF 错误； DABCDEF，BC=EF，故此结论正确。 9.如图，若ABCDEF，A=45，F=35，则E 等于（ ） A35
14、 B45 C60 D100 【答案】D 【解析】ABCDEF，A=45，F=35 D=A=45 E=180DF=100 10如图，ABCCDA，并且 BC=DA，那么下列结论错误的是（ ） A1=2 BAC=CA CAB=AD DB=D 【答案】C 【解析】ABCCDA，BC=DA AB=CD，1=2，AC=CA，B=D， A，B，D 是正确的，C、AB=AD 是错误的 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共 3030 分）分） 11.11.（20202020怀化模拟怀化模拟）如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件： ，使得ABCDEC 【答案】CE=BC 【解析
15、】本题要判定ABCDEC，已知 AC=DC，BC=EC，具备了两组边对应相等，利用 SSS 即可判定两三 角形全等了 添加条件是：CE=BC， 在ABC 与DEC 中， ABCDEC 故答案为：CE=BC本题答案不唯一 12.一个三角形的三边为 2、5、x，另一个三角形的三边为 y、2、6，若这两个三角形全等，则 x+y= 【答案】11 【解析】这两个三角形全等，两个三角形中都有 2 长度为 2 的是对应边，x 应是另一个三角形中的边 6同理可得 y=5 x+y=11 13如图，ABDCBD，若A=80，ABC=70，则ADC 的度数为 【答案】130 【解析】ABDCBD， C=A=80，
16、ADC=360AABCC=360807080=130 14.如图，ACBACB，BCB=30，则ACA的度数为 【答案】30 【解析】ACBACB， ACB=ACB， BCB=ACBACB， ACA=ACBACB， ACA=BCB=30 15.已知ABCABC，A 与 A，B 与 B是对应点，ABC周长为 9cm，AB=3cm，BC=4cm，则 AC= cm 【答案】2 【解析】ABCABC，A 与 A，B 与 B是对应点， AC=AC， 在ABC 中，周长为 9cm，AB=3cm，BC=4cm， AC=2cm，即 AC=2cm 16如图，若OADOBC，且0=65，BEA=135，则C 的度
17、数为 【答案】C=35 【解析】OADOBC， C=D，OBC=OAD， 0=65， OBC=18065C=115C， 在四边形 AOBE 中，O+OBC+BEA+OAD=360， 65+115C+135+115C=360， 解得C=35 17.如图，OC 为AOB 的平分线，CMOB，OC=5，OM=4，则点 C 到射线 OA 的距离为 【答案】3 【解析】过 C 作 CFAO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 CF=CM，进而可得答案 过 C 作 CFAO， OC 为AOB 的平分线，CMOB， CM=CF， OC=5，OM=4， CM=3， C
18、F=3， 18如图，AOE=BOE=15，EFOB，ECOB 于 C，若 EC=1，则 OF= 【答案】2 【解析】作 EHOA 于 H，根据角平分线的性质求出 EH，根据直角三角形的性质求出 EF，根据等腰三角形的 性质解答 作 EHOA 于 H， AOE=BOE=15，ECOB，EHOA， EH=EC=1，AOB=30， EFOB， EFH=AOB=30，FEO=BOE， EF=2EH=2，FEO=FOE， OF=EF=2， 19 如图， 在ABC 中， AF 平分BAC， AC 的垂直平分线交 BC 于点 E， B=70， FAE=19， 则C= 度 【答案】24 【解析】根据线段的垂直
19、平分线的性质得到 EA=EC，得到EAC=C，根据角平分线的定义、三角形内角和 定理计算即可 DE 是 AC 的垂直平分线， EA=EC， EAC=C， FAC=EAC+19， AF 平分BAC， FAB=EAC+19， B+BAC+C=180， 70+2（C+19）+C=180， 解得，C=24， 20如图，ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得ADCBEC（不添加其他字母及 辅助线），你添加的条件是 【答案】AC=BC 【解析】添加 AC=BC，根据三角形高的定义可得ADC=BEC=90，再证明EBC=DAC，然后再添加 AC=BC 可利用 AAS 判定ADCBE
20、C 添加 AC=BC， ABC 的两条高 AD，BE， ADC=BEC=90， DAC+C=90，EBC+C=90， EBC=DAC， 在ADC 和BEC 中， ADCBEC（AAS） 三、解答题三、解答题（6 6 个小题，共个小题，共 6060 分）分） 21 （8 分）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，ABCD，AEDF，AD （1）求证：ABCD； （2）若ABCF，B40，求D的度数 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据平行线的性质求出BC，根据AAS推出ABEDCF，根据全等三角形的性质得出 即可； （2）根据全等得出ABCD，BECF，BC，求出CFCD，推
21、出DCFD，即可求出答案 【解答】 （1）证明：ABCD， BC， 在ABE和DCF中， = = = ， ABEDCF（AAS） ， ABCD； （2）解：ABEDCF， ABCD，BECF，BC， B40， C40 ABCF， CFCD， DCFD= 1 2 （18040）70 22.（8 分）如图，点 A、D、C、F 在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF （1）求证：ABCDEF； （2）若A=55，B=88，求F 的度数 【答案】见解析。 【解析】求出 AC=DF，根据 SSS 推出ABCDEF由（1）中全等三角形的性质得到：A=EDF，进而得 出结论即可 证明：（1）AC
22、=AD+DC，DF=DC+CF，且 AD=CF AC=DF 在ABC 和DEF 中， ABCDEF（SSS） （2）由（1）可知，F=ACB A=55，B=88 ACB=180（A+B）=180（55+88）=37 F=ACB=37 23 （8 分）如图，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，ABEACD，C=42，AB=9，AD=6，G 为 AB 延长线 上一点 （1）求EBG 的度数 （2）求 CE 的长 【答案】 （1）EBG=138； （2）CE=3 【解析】 （1）ABEACD， EBA=C=42， EBG=18042=138； （2）ABEACD， AC=AB=9，AE=AD=6
23、， CE=ACAE=96=3 24 （10 分）已知：如图，在 RtABC 中，C90，D 是 AC 上一点，DEAB 于 E， 且 DEDC （1）求证：BD 平分ABC； （2）若A36，求DBC 的度数 【答案】见解析。 【解析】（1）证明：DCBC，DEAB，DEDC， 点 D 在ABC 的平分线上，BD 平分ABC （2）C90，A36，ABC54， BD 平分ABC，DBCABC27 25（14 分） （20202020苏州）苏州） 问题 1： 如图， 在四边形ABCD中， BC90，P是BC上一点，PAPD， APD90求证：AB+CDBC 问题 2：如图，在四边形ABCD中，B
24、C45，P是BC上一点，PAPD，APD90求+ 的 值 【答案】见解析。 【分析】 （1）由“AAS”可知BAPCPD，可得BPCD，ABPC，可得结论； （2）过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F，由（1）可知EFAE+DF，由等腰直角三角形的性质可 得BEAE，CFDF，AB= 2AE，CD= 2DF，即可求解 【解答】证明： （1）BAPD90， BAP+APB90，APB+DPC90， BAPDPC， 又PAPD，BC90， BAPCPD（AAS） ， BPCD，ABPC， BCBP+PCAB+CD； （2）如图 2，过点A作AEBC于E，过点D作DFBC于F， 由（1）可知，
25、EFAE+DF， BC45，AEBC，DFBC， BBAE45，CCDF45， BEAE，CFDF，AB= 2AE，CD= 2DF， BCBE+EF+CF2（AE+DF） ， + = 2(+) 2(+) = 2 2 26 （12 分） （20202020哈尔滨）哈尔滨）已知：在ABC中，ABAC，点D、点E在边BC上，BDCE，连接AD、AE （1）如图 1，求证：ADAE； （2）如图 2，当DAEC45时，过点B作BFAC交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情 况下，请直接写出图 2 中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于 45 【答案】见解析。 【分析】 （1）根据SAS可证ABDACE，根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据等腰三角形的判定即可求解 【解答】 （1）证明：ABAC， BC， 在ABD和ACE中， = = = ， ABDACE（SAS） ， ADAE； （2）ADAE， ADEAED， BFAC， FDBC45， ABCCDAE45，BDFADE， FBDF，BEABAE，CDACAD， 满足条件的等腰三角形有：ABE，ACD，DAE，DBF