1、 专题专题 11 11 三角形三角形 知识点知识点 1 1：与三角形有关的线段：与三角形有关的线段 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角 形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 知
2、识点知识点 2 2：与三角形有关的角：与三角形有关的角 1.三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 4.三角形外角的性质： 性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点知识点 3 3：多边形：多边形与内角和与内角和 1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 4.多
3、边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 7.多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2） 180 8.多边形的外角和：多边形的内角和为 360。 9.多边形对角线的条数： （1）从 n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个 三角形。 （2）n 边形共有 2 3)-n(n 条对角线。 三角形是初中数学中几何部分的基础图形，定义、概念、定理、性质比较多，要想深刻理解和吃透知
4、识点很难，所以要有方法和策略。在记忆和理解这些知识点时，最好的办法就是通过作图，进行对比，理 解。对有的重要定理、性质一定要学习老师教给的方法技巧，最重要的自己一定要独立的给以证明。 【例题【例题 1 1】 （】 （20202020济宁）济宁）已知三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个三角形的第三边长可以是 （写出一 个即可） 【答案】4 【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于三边” ，求得第三边的取值 范围，即可得出结果 根据三角形的三边关系，得 第三边应大于 633，而小于 6+39， 故第三边的长度 3x9，这个三角形的第三边长可以，4 【例题【例题 2
5、 2】 （】 （20202020自贡）自贡）如图，在 RtABC中，ACB90，A50，以点B为圆心，BC长为半径画 弧，交AB于点D，连接CD，则ACD的度数是（ ） A50 B40 C30 D20 【答案】D 【解析】根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论 在 RtABC中，ACB90，A50， B40， BCBD， BCDBDC= 1 2（18040）70， ACD907020， 【例题【例题 3 3】 （】 （20202020鄂州）鄂州）如图，ab，一块含 45的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若1 65，则2 的度数为（ ） A25 B35 C55 D65 【答案】
6、A 【解析】根据两直线平行，同位角相等可得31，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和求出4，然后根据对顶角相等解答 如图： 165，1+45+3180， 3180456570， ab， 4+2370， 445， 2704704525 【例题【例题 4 4】 （】 （20202020北京）北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则ABC的面积与ABD 的面积的大小关系为：SABC SABD（填“” ， “”或“” ） 【答案】 【解析】分别求出ABC的面积和ABD的面积，即可求解 SABC= 1 2 244，SABD25 1 2 51 1 2 13 1 2
7、224， SABCSABD 【例题【例题 5 5】 （】 （20202020怀化）怀化）若一个多边形的内角和为 1080，则这个多边形的边数为（ ） A6 B7 C8 D9 【答案】C 【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于 180（n2） ，即可得方程 180（n2） 1080，解此方程即可求得答案 【解析】设这个多边形的边数为n， 根据题意得：180（n2）1080， 解得：n8 三角形单元精品检测试卷三角形单元精品检测试卷 本套试卷满分本套试卷满分 120120 分，答题时间分，答题时间 9090 分钟分钟 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 3 分，共分，共 3
8、636 分）分） 1.已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（ ） A1 B2 C8 D11 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系可得 73x7+3，再解即可 设三角形第三边的长为 x，由题意得：73x7+3， 4x10， 2如图，在ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC 的中线，则该线段是（ ） A线段 DE B线段 BE C线段 EF D线段 FG 【答案】B 【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得 根据三角形中线的定义知线段 BE 是ABC 的中线。 3下列图形具有稳定性的是（ ） A B
9、 C D 【答案】A 【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断 4下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A4cm，5cm，9cm B8cm，8cm，15cm C5cm，5cm，10cm D6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论 A5+4=9，9=9， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； B8+8=16，1615， 该三边能组成三角形，故此选项正确； C5+5=10，10=10， 该三边不能组成三角形，故此选项错误； D6+7=13，1314， 该三边不能组成三角形，故此选项错误。
10、5.在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的 3 倍，那么这个外角是（ ） A.150 B.135 C.120 D. 100 【答案】B 【解析】设这个内角为，则与其相邻的外角为 3，根据邻补角的和等于 180列式进行计算即可得解 设这个内角为，则与其相邻的外角为 3， 所以，+3=180， 解得=45， 3=345=135 6.在ABC 中，若A=95，B=40，则C 的度数为（ ） A35 B40 C45 D50 【答案】C 【解析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是 180是 解答此题的关 键 在ABC 中，根据三角形内角和是 180 度来求C 的度数 三角形
11、的内角和是 180， 又A=95，B=40 C=180AB =1809540=45 7.如图，ABC 中，AD 为ABC 的角平分线，BE 为ABC 的高，C=70，ABC=48，那么3 是（ ） A.59 B.60 C.56 D.22 【答案】A 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是 解题的关键 根据高线的定义可得AEC=90，然后根据C=70，ABC=48求出CAB，再根据角平分线的定义求出 1，然后利用三角形的内角和等于 180列式计算即可得解。 BE 为ABC 的高， AEB=90 C=70，ABC=48， CAB=62， AF
12、是角平分线， 1= CAB=31， 在AEF 中，EFA=1803190=59 3=EFA=59 8 （20202020黄冈）黄冈）已知一个正多边形的一个外角为 36，则这个正多边形的边数是（ ） A7 B8 C9 D10 【答案】D 【分析】利用多边形的外角和是 360，正多边形的每个外角都是 36，即可求出答案 【解析】3603610，所以这个正多边形是正十边形 9 （20202020福建）福建）如图的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则ABC 度 【答案】30 【解析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边 形每个内角的度数，即可求出
13、ABC的度数 正六边形的每个内角的度数为：(62)180 6 =120， 所以ABC1209030， 10 （20202020淮安）淮安）六边形的内角和为（ ） A360 B540 C720 D1080 【答案】C 【分析】利用多边形的内角和（n2） 180即可解决问题 【解析】根据多边形的内角和可得： （62）180720 11 （2020广东）若一个多边形的内角和是 540，则该多边形的边数为（ ） A4 B5 C6 D7 【答案】B 【分析】根据多边形的内角和公式（n2） 180列式进行计算即可求解 【解析】设多边形的边数是n，则 （n2） 180540， 解得n5 12 （202020
14、20扬州）扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进 10 米到达点B，向左转 45后又沿直线前进 10 米到 达点C，再向左转 45后沿直线前进 10 米到达点D照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路 程为（ ） A100 米 B80 米 C60 米 D40 米 【答案】B 【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用 360除以 45求出边数，然后再乘以 10 米即可 【解析】小明每次都是沿直线前进 10 米后向左转 45 度， 他走过的图形是正多边形， 边数n360458， 他第一次回到出发点A时，一共走了 81080（m） 二、填空题二、填空题（每空（每空 3 3 分，共分，共
15、2424 分）分） 13已知等腰三角形两边长是 4cm 和 9cm，则它的周长是 【答案】22cm 【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两 种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键 题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析 当腰长为 4cm 时，4+49cm，不符合三角形三边关系，故舍去； 当腰长为 9cm 时，符合三边关系，其周长为 9+9+4=22cm 故该三角形的周长为 22cm 14已知 a，b，c 是ABC 的三边长，a，b 满足|a7|+（b1） 2=0，c 为
16、奇数，则 c= 【答案】7 【解析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边求出 c 的取值范围，再根据 c 是奇数求出 c 的值 a，b 满足|a7|+（b1） 2=0， a7=0，b1=0， 解得 a=7，b=1， 71=6，7+1=8， 6c8， 又c 为奇数，c=7 15.如图，直线 a，b 被直线 c 所截，若 ab，1=40，2=70，则3= 度 【答案】110 【解析】 ab，1=40， 4=1=40， 3=2+4=70+40=110 16.如图，CE 是ABC 的外角ACD 的平 分线 ，若 B=35，ACE=60，则A
17、=（ ） A35 B95 C85 D75 【答案】C 【解析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于 和它不相邻的两个内角的和 根据三角形角平分线的性质求出ACD，根据三角形外角性质求出A 即可 CE 是ABC 的外角ACD 的平分线，ACE=60 ACD=2ACE=120 ACD=B+A A=ACDB=12035=85 17 （20202020泰州）泰州）如图，将分别含有 30、45角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形 成的角为 65，则图中角的度数为 【答案】140 【解析】求出ACD，根据三角形内角和定理求出AFC，求出DFB，根据三角形的
18、外角性质求出即可 如图， ACB90，DCB65， ACDACBACD906525， A60， DFBAFC180ACDA180256095， D45， D+DFB45+95140 18 （20202020河北）河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的 4 倍，则n 【答案】12 【解析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于 120，再根据多边形的外角和是 360即 可解答 正六边形的一个内角为：(62)180 6 = 120， 正六边形的一个内角是正n边形一个外角的 4 倍， 正n边形一个外角为：120430， n3603012 19 （20202020重庆）重庆）一个多边形
19、的内角和等于它的外角和的 2 倍，则这个多边形的边数是 【答案】6 【解析】n边形的内角和可以表示成（n2） 180，外角和为 360，根据题意列方程求解 设这个多边形的边数为n，依题意，得： （n2） 1802360，解得n6 20 （20202020遂宁）遂宁）已知一个正多边形的内角和为 1440，则它的一个外角的度数为 度 【答案】36 【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n2）1440，即可求得n10，再由多边形的外 角和等于 360，即可求得答案 设此多边形为n边形， 根据题意得：180（n2）1440， 解得：n10， 这个正多边形的每一个外角等于：3601036
20、三、解答题三、解答题（6 6 个小题，每题个小题，每题 1010 分，共分，共 6060 分）分） 21.如图，A=90，B=21，C=32，求BDC 的度数 【答案】143 【解析】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 连接 AD 并延长 AD 至点 E， 根据三角形的外角性质求出BDE=BAE+B， CDE=CAD+C， 即可求出答案 如图，连接 AD 并延长 AD 至点 E， BDE=BAE+B，CDE=CAD+C BDC=BDE+CDE=CAD+C+BAD+B=BAC+B+C A=90，B=21，C=32， BDC=90+21+32=14
21、3 22如图，已知在ABC 中，C=ABC=2A，BD 是 AC 边上的高，求DBC 的度数 【答案】18 【解析】根据三角形的内角和定理与C=ABC=2A，即可求得ABC 三个内角的度数，再根据直角三角形 的两个锐角互余求得DBC 的度数 C=ABC=2A， C+ABC+A=5A=180， A=36 则C=ABC=2A=72 又 BD 是 AC 边上的高， 则DBC=90C=18 23.如图所示， CD 为ABC 的 AB 边上的中线， BCD 的周长比ACD 的周长大 3cm， BC8cm， 求边 AC 的长 【答案】AC 的长为 5cm 【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：ADB
22、D，BCD 的周长比ACD 的周长大 3 依题意：BCD 的周长比ACD 的周长大 3cm， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)3 又 CD 为ABC 的 AB 边上的中线， ADBD，即 BC-AC3 又 BC8， AC5 24.如图，B=42，A+10=1，ACD=64，求证：ABCD 【答案】见解析。 【解析】 在ABC 中， B=42即已知A+1=18042=138， 又A+10=1 可以求出A 的大小， 只要能得到A=64，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论 证明：在ABC 中，A+B+1=180，B=42， A+1=138 又A+10=1 A+A+10=138 解
23、得：A=64 A=ACD=64 ABCD（内错角相等，两直线平行） 25.如图，ABC 中，分别延长ABC 的边 AB、AC 到 D、E，CBD 与BCE 的平分线相交于点 P，爱动脑筋 的小明在写作业的时发现如下规律： （1）若A=50，则P= ； （2）若A=90，则P= ； （3）若A=100，则P= ； （4）请你用数学表达式归纳A 与P 的关系，并说明理由 【答案】见解析。 【解析】若A=50，则有ABC+ACB=130，DBC+BCE=360130=230，根据角平分线的定义 可以求得PBC+PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得P 的度数利用角平分线的性质和三 角形的外
24、角性质可求出BCP= （A+ABC） ，CBP= （A+ACB） ；再利用三角形内角和定理便可求出 A 与P 的关系 （1）A=50， ABC+ACB=18050=130，DBC+BCE=360130=230， 又CBD 与BCE 的平分线相交于点 P， ， =115， P=65 同理得： （2）45； （3）40 （4）P=90 A理由如下： BP 平分DBC，CP 平分BCE， DBC=2CBP，BCE=2BCP 又DBC=A+ACBBCE=A+ABC， 2CBP=A+ACB，2BCP=A+ABC， 2CBP+2BCP=A+ACB+A+ABC=180+A， CBP+BCP=90+ A 又CBP+BCP+P=180， P=90 A 26如图的七边形 ABCDEFG 中，AB、DE 的延长线相交于 O 点若图中1、2、3、4 的外角的角度和 为 220，求BOD 的度数。 【答案】40 【解析】延长 BC 交 OD 与点 M，根据多边形的外角和为 360可得出OBC+MCD+CDM=140，再根据四 边形的内角和为 360即可得出结论 延长 BC 交 OD 与点 M，如图所示 多边形的外角和为 360， OBC+MCD+CDM=360220=140 四边形的内角和为 360， BOD+OBC+180+MCD+CDM=360， BOD=40