1、2021 年江西省七校高考数学第二次联考试卷（文科）年江西省七校高考数学第二次联考试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 UR，Ax|x|2，Bx|1x4，则（UA）B（ ） A（1，2） B（，2 C（2，4） D2，4） 2已知复数 z，则复数 z 的共轭复数 是（ ） A1+i B1i C1i D1+i 3某中学有高中生 960 人，初中生 480 人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生 中抽取容量为 n 的样本，其中高中生有 24 人，那么 n 等于（ ） A12 B18 C24 D36 4设实数 x，y 满足约束条件，则 z3x2
2、y 的最小值为（ ） A3 B2 C8 D13 5大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极 衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中 隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前 10 项依次是 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、， 则下列说法正确的是（ ） A此数列的第 19 项是 182 B此数列的第 20 项是 200 C此数列偶数项的通项公式为 a2n2n+1 D此数列的前 n 项和为 Snn（n1） 6已知实数 a，b，c 分别满足 2aa，log0.5bb，log2c，那么（ ）
3、Aabc Bacb Cbca Dcba 7已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b3c6，ABC 面积为 4， 则 sinC（ ） A B C D 8已知点 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 所在平面上一点，满足，则的最小值 是（ ） A B C D 9 已知四面体 ABCD， AB平面 BCD， ABBCCDBD1， 若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上， 则球 O 的表面积为（ ） A B7 C D 10已知点 P 为双曲线（a0，b0）右支上一点，点 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的 渐近
4、线方程是（ ） Ayx B C D 11设奇函数 f（x）的定义域为，且 f（x）的图象是连续不间断，有 f （x）cosx+f（x）sinx0，若，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 12函数 f（x），若函数 g（x）f（x）x+a 只一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（，02 B0，+）2 C（，0 D0，+） 二、填空题二、填空题(（共（共 4 小题）小题）. 13已知函数 f（x），则 f（2） 14设双曲线 C 经过点（2，2），且与x21 具有相同渐近线，则双曲线 C 的方程为 15已知直线 yx+1 是曲线 f（x）ln（x+a）的切线，则 a 16已知正项数列a
5、n中，a11，a22，2an2an12+an+12（n2），bn，数列bn的前 n 项和 为 Sn，则 S33的值是 三、解答题三、解答题(共共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤分，解答应写出文字说明或演算步骤.) 17某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进 行问卷调查， 并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 （百分制） 按照50，60），60，70） ，90， 100分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图 （1）求图中 x 的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在50，6
6、0）内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分值为50，60）的 人中随机抽取 2 人进行座谈，求 2 人均为男生的概率 18已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+c3， （1）求角 B 的大小； （2）若 ab，b2，求 cos（A+）的值 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12， （1）求证：C1B平面 ABC； （2）求点 B1到平面 ACC1A1的距离 20已知椭圆 C：的离心率为，直线 yx 交椭圆 C 于 A、B 两点，椭圆 C 的右 顶点为 P，且满足 （）求椭圆 C 的方程； （） 若直线
7、ykx+m （k0， m0） 与椭圆 C 交于不同两点 M、 N， 且定点满足， 求实数 m 的取值范围 21函数 f（x）ax2（1+a）x+lnx（a0） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）当 a0 时，方程 f（x）mx 在区间1，e2内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围 请考生在第请考生在第 22,23 两题中任选一题做答。只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分。做答两题中任选一题做答。只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分。做答 时用时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系
8、与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按 坐标变换得到曲线 C，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C的极坐标方程； （）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线 l 与曲线 C交于 M，N 两点，弦 MN 的中点为 P，求的值 选修选修 4-3:不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+1| （1）解不等式 f（x）3； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且，求 a2+b2+c2的最小值 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知 UR，Ax
9、|x|2，Bx|1x4，则（UA）B（ ） A（1，2） B（，2 C（2，4） D2，4） 解：Ax|2x2，Bx|1x4，UR， UAx|x2 或 x2，（UA）B2，4） 故选：D 2已知复数 z，则复数 z 的共轭复数 是（ ） A1+i B1i C1i D1+i 解：z1+i， 故复数 z 的共轭复数 1i， 故选：C 3某中学有高中生 960 人，初中生 480 人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生 中抽取容量为 n 的样本，其中高中生有 24 人，那么 n 等于（ ） A12 B18 C24 D36 解：由分层抽样的性质得：， 解得 n36 故选：D 4设实
10、数 x，y 满足约束条件，则 z3x2y 的最小值为（ ） A3 B2 C8 D13 解：由已知的约束条件得到可行域如图： 由目标函数变形为 y，得到当图中 A（0，1）时，z 最小，为 022； 故选：B 5大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论主要用于解释中国传统文化中的太极 衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中 隐藏着的世界数学史上第一道数列题其前 10 项依次是 0、2、4、8、12、18、24、32、40、50、， 则下列说法正确的是（ ） A此数列的第 19 项是 182 B此数列的第 20 项是 200 C此数列偶
11、数项的通项公式为 a2n2n+1 D此数列的前 n 项和为 Snn（n1） 解：观察此数列，偶数项的通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，即 a2n1a2n 2n， 由此可得， 故选项 A 错误，选项 B 正确，选项 C 错误， 因为 Snn（n1）是一个等差数列的前 n 项和，而题中的数列不是等差数列，故选项 D 错误 故选：B 6已知实数 a，b，c 分别满足 2aa，log0.5bb，log2c，那么（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 解：log0.5blog2bb，log2bb， 在同一坐标系内画出函数 y2x，yx，ylog2x，y的图象 可知 a0b1c 故选：A
12、 7已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b3c6，ABC 面积为 4， 则 sinC（ ） A B C D 解：b3c6，ABC 的面积为bcsinA6sinA4， 解得 sinA， ， cosA， 在ABC 中，由余弦定理可得：a4， 可得 sinC 故选：B 8已知点 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 所在平面上一点，满足，则的最小值 是（ ） A B C D 解：以 A 为原点，AB、AD 所在的直线分别为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1） 设 P（x，y），则，（1x，1y），（x，1y），
13、+（23x，23y）， ， （x）（23x）+（y）（23y）0，即， 点 P 在以为圆心，半径为的圆上， 又表示圆上的点到点 D 的距离， 故选：A 9 已知四面体 ABCD， AB平面 BCD， ABBCCDBD1， 若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上， 则球 O 的表面积为（ ） A B7 C D 解：取 CD 的中点 E，连结 AE，BE， 在四面体 ABCD 中，AB平面 BCD， BCD 是边长为 3 的等边三角形 RtABCRtABD，ACD 是等腰三角形， BCD 的中心为 G，作 OGAB 交 AB 的中垂线 HO 于 O，O 为外接球的中心， BE ，BGBE， R
14、， 球 O 的表面积为 S4R2 故选：A 10已知点 P 为双曲线（a0，b0）右支上一点，点 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的 渐近线方程是（ ） Ayx B C D 解：设PF1F2的内切圆半径为 r， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c， S|PF1|r，S|PF2|r， S2crcr， 由题意得：|PF1|r|PF2|rcr， 故c|PF1|PF2|2a， 故 3c23a2+3b24a2，3b2a2，即可得 ， 则双曲线的渐近线方程是 yx 故选：D 11设奇函数 f（x）的定义域为，且 f
15、（x）的图象是连续不间断，有 f （x）cosx+f（x）sinx0，若，则 m 的取值范围是（ ） A B C D 解：奇函数 f（x）的定义域为，且 f（x）的图象是连续不间断， 令，则 因为，有 f（x）cosx+f（x）sinx0， 所以当时，g（x）0，则在上单调递减 又 f（x）是定义域在上的奇函数，所以， 则也是上的奇函数并且单调递减 又等价于， 即， 所以，又， 所以 故选：D 12函数 f（x），若函数 g（x）f（x）x+a 只一个零点，则 a 的取值范围是（ ） A（，02 B0，+）2 C（，0 D0，+） 解：g（x）f（x）x+a 只有一个零点， 函数 yf（x）与
16、函数 yxa 有一个交点， 作函数函数 f（x）与函数 yxa 的图象如下， 结合图象可知， a0；函数 yf（x）与函数 yxa 有一个交点； 当 a0 时，yln（x1），可得 y，令可得 x2，所以函数在 x2 时，直线与 yln （x1）相切，可得 a2 故选：A 二、填空题二、填空题(共共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.) 13已知函数 f（x），则 f（2） 解：根据题意，函数 f（x）， 则 f（2）22， 故答案为： 14设双曲线 C 经过点（2，2），且与x21 具有相同渐近线，则双曲线 C 的方程为 解：与x21 具有相同渐近线的双曲线方程可设
17、为x2m，（m0）， 双曲线 C 经过点（2，2）， m3， 即双曲线方程为x23，即 故答案为： 15已知直线 yx+1 是曲线 f（x）ln（x+a）的切线，则 a 2 解：设切点（x0，ln（x0+a），又 ， 故切线为：，即为 yx+1 所以，解得 x01，a2 故答案为：2 16已知正项数列an中，a11，a22，2an2an12+an+12（n2），bn，数列bn的前 n 项和 为 Sn，则 S33的值是 3 解：2an2an12+an+12（n2）， 数列an2是等差数列， 又 a11，a22， 公差 da22a123， an21+3（n1）3n2， 又 an0，an ， bn
18、， S33（ +）（）3， 故答案为：3 三、解答题三、解答题(共共 5 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明或演算步骤分，解答应写出文字说明或演算步骤.) 17某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了 100 人就该城市共享单车的推行情况进 行问卷调查， 并将问卷中的这 100 人根据其满意度评分值 （百分制） 按照50，60），60，70） ，90， 100分成 5 组，制成如图所示频率分布直方图 （1）求图中 x 的值； （2）求这组数据的平均数和中位数； （3）已知满意度评分值在50，60）内的男生数与女生数的比为 3：2，若在满意度评分值为50，60）的 人中
19、随机抽取 2 人进行座谈，求 2 人均为男生的概率 解：（1）由 0.005+0.01+0.035+0.030+x）101， 解得 x0.02 （2）这组数据的平均数为 550.05+650.2+750.35+850.3+950.177 中位数设为 m，则 0.05+0.2+（m70）0.0350.5， 解得 （3）满意度评分值在50，60）内有 1000.005105 人， 其中男生 3 人，女生 2 人记为 A1，A2，A3，B1，B2， 记“满意度评分值为50，60）的人中随机抽取 2 人进行座谈，2 人均为男生”为事件 A 总基本事件个数为 n10 个， A 包含的基本事件个数为 3
20、个，分别为： （A1，A2），（A1，A3），（A2，A3）， 利用古典概型概率公式可知 2 人均为男生的概率 P（A） 18已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a+c3， （1）求角 B 的大小； （2）若 ab，b2，求 cos（A+）的值 解：（1）由，可得 bcosC2acosBccosB， 由正弦定理可得，sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB， 所以 sin（B+C）2sinAcosBsinA， 因为 sinA0， 所以 cosB， 可得 B （2）由正弦定理可得，asinA，csinC， 3a+c sinA+sinC sinA+sin（A+
21、） （sinA+sinA+cosA） （sinA+cosA） 4sin（A+）， 整理可得，sin（A+）， 由 ab 可得 A， 故A+， 所以 cos（A+） 19如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 AB侧面 BB1C1C，ABBC1，BB12， （1）求证：C1B平面 ABC； （2）求点 B1到平面 ACC1A1的距离 解：（1）因为侧面 ABBB1C1C，BC1侧面 BB1C1C， 故 ABBC1， 在BCC1中， 由余弦定理得：3 所以故，所以 BCBC1， 而 BCABB，所以 BC1平面 ABC （2）点 B1转化为点 B， ， 又 所以点 B1到平面 ACC1A1的距
22、离为 20已知椭圆 C：的离心率为，直线 yx 交椭圆 C 于 A、B 两点，椭圆 C 的右 顶点为 P，且满足 （）求椭圆 C 的方程； （） 若直线 ykx+m （k0， m0） 与椭圆 C 交于不同两点 M、 N， 且定点满足， 求实数 m 的取值范围 解：（）由即 2|4，则 a2， 由 e，所以 c，b1， 则椭圆 C 的方程为 （）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4m240， 则64k2m24（4k2+1）（4m24）0，即 4k2m21，且 x1+x2 ， 又设 MN 中点 D 的坐标为（xD，yD）， 因为，所以 DQMN，
23、即， 又 xD ，yDkxD+m， 所以 6m14k2，故 6m10，且 6m1m21，故 m6 m 的取值范围（，6） 21函数 f（x）ax2（1+a）x+lnx（a0） （）讨论函数 f（x）的单调性； （）当 a0 时，方程 f（x）mx 在区间1，e2内有唯一实数解，求实数 m 的取值范围 解：（ I）f（x），（x0），（1 分） （ i）当 a0 时，f（x），令 f（x）0，得 0 x1，令 f（x）0，得 x1， 函数 f（x）在（0，1）上单调递增，（1，+）上单调递减； （ ii）当 0a1 时，令 f（x）0，得 x11，x21 令 f（x）0，得 0 x1，x，令 f
24、（x）0，得 1x， 函数 f（x）在（0，1）和（，+）上单调递增，（1，）上单调递减； （ iii）当 a1 时，f（x）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增； （ iv）当 a1 时，01 令 f（x）0，得 0 x，x1，令 f（x）0，得x1， 函数 f（x）在（0，）和（1，+）上单调递增，（，1）上单调递减； 综上所述：当 a0 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）； 当 0a1 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+），单调递减区间为（1，）； 当 a1 时，函数 f（x）的单调递增区间为（0，+）； 当 a1 时，函数 f（
25、x）的单调递增区间为（0，）和（1，+），单调递减区间为（，1） （ II）当 a0 时，f（x）x+lnx，由 f（x）mx，得x+lnxmx，又 x0，所以 m1， 要使方程 f（x）mx 在区间1，e2上有唯一实数解， 只需 m1 有唯一实数解， 令 g（x）1，（x0），g（x）， 由 g（x）0 得 0 xe；g（x）0 得 xe， g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数 g（1）1，g（e）1，g（e2）1， 故1m1 或 m1 请考生在第请考生在第 22,23 两题中任选一题做答。只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分。做答两题中任选一题做答。只能做
26、所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题记分。做答 时用时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑.选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按 坐标变换得到曲线 C，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （）求曲线 C的极坐标方程； （）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线 l 与曲线 C交于 M，N 两点，弦 MN 的中点为 P，求的值 解：（）， 将，代入 C 的普通方程可得 x2+y21， 即 C：x2+y21，所以曲线 C的极坐标方程为 C：1 （）点直角
27、坐标是，将 l 的参数方程， 代入 x2+y21，可得 ， t1+t2 ，t1t2 ， 所以 选修选修 4-3:不等式选讲不等式选讲 23已知函数 f（x）|2x1|+|x+1| （1）解不等式 f（x）3； （2）记函数 f（x）的最小值为 m，若 a，b，c 均为正实数，且，求 a2+b2+c2的最小值 解：（1）f（x）|2x1|+|x+1|， f（x）3， 或或， 解得 x1 或 x1， 不等式的解集为：x|x1 或 x1； （2）由（1）知 f（x）minf（）， m， a+2b+3c3， 由柯西不等式有（a2+b2+c2）（12+22+32）（a+2b+3c）29， ， 当且仅当，即时取等号， a2+b2+c2的最小值为：