1、勾股定理的证明勾股定理的证明 【证法【证法 1 1】 （课本的证明）】 （课本的证明） 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做 三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即 ， 整理得 . . 【证法【证法 2 2】 （邹元治证明）】 （邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于. . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使 A、 E、 B 三点在一条直线上， B、 F、 C 三点在一
2、条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. . AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. . HEF = 18090= 90. . 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c 2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. . 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. . ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于. . . . . . 【证法【证法 3 3】 （赵爽证明）】 （赵爽证明
3、） 以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 abcabba 2 1 4 2 1 4 222 222 cba ab 2 1 2ba 2 2 2 1 4cabba 222 cba DG C F A H E B a b c a b c a b c a b c b ab a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b a c G D A C B F EH a ba b c c AB C D E 三角形的面积等于. . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . RtDAH RtABE, HDA = EAB.
4、. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. . EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于. . . . . 【证法【证法 4 4】 （】 （18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明）证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于. . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. . RtEAD RtCBE, ADE =
5、 BEC. . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. . DEC = 18090= 90. . DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于. . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. . ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于. . . . . . 【证法【证法 5 5】 （梅文鼎证明）】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. . 把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于 点 P. . D、E、F 在一条直线上, 且 RtGE
6、F RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， ab 2 1 2ab 2 2 2 1 4cabab 222 cba ab 2 1 2 2 1 c 2 2 1 ba 2 2 2 1 2 1 2 2 1 cabba 222 cba P H G F E D C BA a b c a b c ab c a b c c c c ba c b a A B C E F P Q M N BEG =18090= 90. . 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ABC + CBE = 90. . Rt
7、ABC RtEBD, ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. . 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. . BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则 , . . 【证法【证法 6 6】 （项明达证明）】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条 直线上. . 过点 Q 作 QP
8、BC，交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. . BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. . 同理可证 RtQNF RtAEF. . 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. . 【证法【证法 7 7】 （欧几里得证明）】 （欧几里得证明）
9、 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点 在一条直线上，连结 , 2 1 2 22 abSba abSc 2 1 2 2 222 cba BF、CD. . 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. . AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =. . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =. . 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 ，即 . . 【证法【
10、证法 8 8】 （利用相似三角形性质证明）】 （利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过 点 C 作 CDAB，垂足是 D. . 在ADC 和ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. . ADAC = AC AB， 即 . . 同理可证，CDB ACB，从而有 . . ，即 . . 【证法【证法 9 9】 （杨作玫证明）】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们
11、拼成如图所示的多边形. . 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 BPAF，垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. . BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. . 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. . DH = BC = a，AH = AC = b. . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. . 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. . RtDGT R
12、tBCA , 2 2 1 a 2 a 2 b 222 bac 222 cba ABADAC 2 ABBDBC 2 222 ABABDBADBCAC 222 cba ABD C a c b 9 8 7 6543 21 P Q R T H G F E D CB A a b c a b cc c c b a c b a AB C D E F G H M L K RtDHA RtBCA. . RtDGT RtDHA . . DH = DG = a，GDT = HDA . . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长
13、为 a 的正方形. . GF = FH = a . . TFAF，TF = GTGF = ba . . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为 = ， ， = . . 把代入，得 = = . . . . 【证法【证法 1010】 （李锐证明）】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 b （ba） ， 斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、 b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. . 用数字表示 面积的编号（如图）. .
14、 TBE = ABH = 90， TBH = ABE. . 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. . HT = AE = a. . GH = GTHT = ba. . 又 GHF + BHT = 90， DBC + BHT = TBH + BHT = 90， GHF = DBC. . DB = EBED = ba， HGF = BDC = 90， RtHGF RtBDC. . 即 . . 过 Q 作 QMAG，垂足是 M. . 由BAQ = BEA = 90，可知 ABE = QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtABE RtQAM .
15、 . 又 RtHBT RtABE. . 所以 RtHBT RtQAM . . 即 . . 54321 2 SSSSSc abaabbSSS 2 1 438 abb 2 1 2 985 SSS 8 2 43 2 1 SabbSS 81 2 SSb 9881 2 21 2 SSSSbSSc 92 2 SSb 22 ab 222 cba 27 SS 58 SS M H Q R T G FE D C B A c b a 8 7 6 5 4 3 2 1 由 RtABE RtQAM，又得 QM = AE = a，AQM = BAE. . AQM + FQM = 90，BAE + CAR = 90，AQM
16、= BAE， FQM = CAR. . 又 QMF = ARC = 90，QM = AR = a， RtQMF RtARC. . 即. . ， 又 ， = =， 即 . . 【证法【证法 1111】 （利用切割线定理证明）】 （利用切割线定理证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. . 如图，以 B 为圆心 a 为半 径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. . 因为BCA = 90， 点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. . 由切割线定理，得 = = = ， 即， . . 【证法【证法 1
17、212】 （利用多列米定理证明）】 （利用多列米定理证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c（如图）. . 过点 A 作 ADCB， 过点 B 作 BDCA，则 ACBD 为矩形，矩形 ACBD 内接于一个圆. . 根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有 ， AB = DC = c，AD = BC = a， AC = BD = b， ，即 ， . . 【证法【证法 1313】 （作直角三角形的内切圆证明）】 （作直角三角形的内切圆证明） 在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. . 作
18、RtABC 的内切圆O， 切点分别为 D、E、F（如图） ，设O 的半径为 r. . AE = AF，BF = BD，CD = CE， 64 SS 54321 2 SSSSSc 61 2 SSa 873 2 SSSb 27 SS 58 SS 64 SS 87361 22 SSSSSba 52341 SSSSS 2 c 222 cba ADAEAC 2 BDABBEAB acac 22 ac 222 acb 222 cba BDACBCADDCAB 222 ACBCAB 222 bac 222 cba BFAFCDBDCEAEABBCAC a b a a BA C ED c b a c a b
19、c A C BD = = r + r = 2r, 即 ， . . ， 即 ， ， ， 又 = = = = ， ， ， ， . . 【证法【证法 1414】 （利用反证法证明）】 （利用反证法证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过 点 C 作 CDAB，垂足是 D. . 假设，即假设 ，则由 = 可知 ，或者 . . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB. . 在ADC 和ACB 中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则 ADCACB. . 在CDB 和ACB 中， B = B， 若 BD：BCBC：AB，
20、则 CDBACB. . 又 ACB = 90， ADC90，CDB90. . 这与作法 CDAB 矛盾. . 所以，的假设不能成立. . . . 【证法【证法 1515】 （辛卜松证明）】 （辛卜松证明） CDCE rcba2 crba2 2 2 2crba 2222 42crcrabba abS ABC 2 1 ABC Sab 42 AOCBOCAOBABC SSSS brarcr 2 1 2 1 2 1 rcba 2 1 rccr2 2 1 rcr 2 ABC Srcr 44 2 abrcr24 2 222 22cababba 222 cba 222 cba 222 ABBCAC ABAB
21、AB 2 BDADAB BDABADAB ADABAC 2 BDABBC 2 222 ABBCAC 222 cba c b a r r r O F E D C B A AB D C a c b ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 ab 2 1 2 c 2 b 2 a A A D D BB CC b a ba b a b a b a c c c c b a ab ab b ab a 设直角三角形两直角边的长分别为a、 b， 斜边的长为c. . 作边长是a+b的正方形ABCD. . 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为 ；把正方形 ABCD 划分成上
22、方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD 的 面积为 =. . , . . 【证法【证法 1616】 （陈杰证明）】 （陈杰证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、 b （ba） ， 斜边的长为 c. . 做两个边长分别为 a、 b 的正方形（ba） ，把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M 三点在一条直线上. . 用数字表 示面积的编号（如图）. . 在 EH = b 上截取 ED = a，连结 DA、DC， 则 AD = c. . EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b. . 又 CMD = 90，CM = a， AED = 9
23、0， AE = b， RtAED RtDMC. . EAD = MDC，DC = AD = c. . ADE + ADC+ MDC =180， ADE + MDC = ADE + EAD = 90， ADC = 90. . 作 ABDC，CBDA，则 ABCD 是一个边长为 c 的正方形. . BAF + FAD = DAE + FAD = 90， BAF=DAE. . 连结 FB，在ABF 和ADE 中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE. . AFB = AED = 90，BF = DE = a. . 点 B、F、G、H 在一条直线上. . 在 RtABF 和 RtBCG 中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. . ， ， ， ， abbaba2 22 2 2 2 2 1 4cabba 2 2cab 222 22cababba 222 cba ab 5432 2 SSSSc 621 2 SSSb 73 2 SSa 76451 SSSSS A B C D E F G HM a b c a b c a c a b c1 2 3 4 5 6 7 = = = . . 62173 22 SSSSSba 76132 SSSSS 5432 SSSS 2 c 222 cba