1、 广西玉林市、柳州市 2021 届高三第二次模拟考试 数学试卷（文） 第 I 卷(选择题，共 60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 AxN|2x70，Bx|x22x30，则 AB（ ） A.x|0bc B.cba C.bac D.bca 5.2020 年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种 方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智 能手机对学习成绩的影响” ，得到了如下样本数据： 附： 2 2 () ()()()
2、() n adbc K ab cd ac bd ，nabcd. 根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ） A.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响； B.有 99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响； C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习无影响； D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为中学生使用手机对学习有影响. 6.函数 f(x)x3x22x1 的图象在点(1， f(1)处的切线为 l， 则 l 在 y 轴上的截距为 （ ） A.1 B.1 C.2 D.2 7.若 571 sincos 1212tan ，则 tan（ ） A.
3、4 B.3 C.4 D.3 8.等差数列an的前 n 项和为 Sn，当首项 a1和公差 d 变化时，a3a8a10是一个定值，则下 列选项中为定值的是（ ） A.S7 B.S8 C.S13 D.S15 9.已知函数 yx称为高斯函数，其中x表示不超过实数 x 的最大整数.执行如图程序框图， 则输出的 S 值为（ ） A.42 B.43 C.44 D.45 10.已知点 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 所在平面上一点， 满足 PCPAPB0， 则PB 的最小值是（ ） A. 52 2 B. 21 2 C.1 D. 73 2 11.圆 C：(x2)2(y3)21 上一动点 M，抛物线 y28
4、x 上一动点 N(x0，y0)，则 x0|MN| 的最小值为（ ） A.251 B.2 C.3 D.4 12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a， 点 E， F， G 分别为棱 AB， AA1， C1D1的中点， 下列结论中正确的个数是（ ） 过 E，F，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； B1D1/平面 EFG； 异面直线 EF 与 BD1所成角的正切值为2； 四面体 ACB1D1的体积等于 3 3 a . A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.设 x，y 满足约束
5、条件 20 0 360 xy xy xy ，则 xxy 的最小值是 . 14.正项等比数列an中，a11，a64a4，记 Sn为an的前 n 项和.若 Sm127，则 m . 15.已知点 F 是双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点， 若|OP|c，且POF 3 ，则双曲线的离心率为 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：ykx8 上存在点 P，过点 P 作圆 O：x2y24 的切线，切点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2y1y22，则实数 k 的取值范围 为 . 三、解答题：共 70 分.解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f(x)sin(2x )(0 2 )的一条对称轴为 x 6 ，且 f(A) 1 2 . (1)求 A 的值； (2)若 a2，ABC 的面积为 3 2 ，求ABC 的周长. 18.(本小题满分 12 分)随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研 发投入的力度.华为技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场
7、调研与模 拟，得到科技升级投入 x(亿元)与科技升级直接收益 y(亿元)的数据统计如下： 当 017 时确定 y 与 x 满足的线性回归方程为0.7yxa . (1)根据下列表格中的数据，比较当 01，都有 f(x)4x1 1x x 恒成立，求整数 a 的最大值. (二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 l 的参数方程为 2 4 2 2 2 2 xt yt (t 为参数).以坐标原点 O 为 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
8、，曲线 C 的极坐标方程为 cos2atan(a0). (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)设 P(4，2)，直线 l 与曲线 C 相交于 M，N 两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， 求实数 a 的值. 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)|x4|x3|. (1)求不等式 f(x)12 的解集； (2)若关于 x 的不等式 f(x)( 1 3 )1 3a20 恒成立，求实数 a 的取值范围. 参考答案 一、选择题：一、选择题：(每小题 5 分, 满分 60 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
9、B C D C B D A C D D B B 二、填空题：二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 2 147 15. 31 163 3,)(， 三、解答题三、解答题: （本大题共 6 小题，共 70 分） 17解：（1） 6 x 是 f x的对称轴，2 62 kk Z，1 分 解得： 6 kk Z，2 分 又0 2 ， 6 ，3 分 sin 2 6 fxx ， 1 sin 2 62 fAA ，4 分 0,A， 13 2, 666 A ，5 分 5 2 66 A ， 解得： 3 A .6 分 （2）由面积 13 sin 22 SbcA， 7 分 2bc 得 9
10、 分 由余弦定理得： 2222 2cos()34abcbcAbcbc，10 分 解得10cb 11 分 即ABC的周长为2+ 10. 12 分 18解：（1）由表格中的数据，182.479.2， 77 22 11 182.479.2 ii ii yyyy ， 1 分 77 22 11 182.479.2 11 ii tt yyyy 2 分 可见模型的相关指数 2 1 R小于模型的相关指数 2 2 R3 分 所以回归模型的拟合效果更好 4 分 所以当17x 亿元时，科技升级直接收益的预测值为 21.317 14.421.3 4.1 14.472.93y （亿元）6 分 （2）当17x 时，由已知
11、可得 2122232425 23 5 x ， 7 分 68.56867.56666 67.2 5 y 8 分 0.767.20.72383.3ayx 9 分 当 17x 时，y 与 x 满足的线性回归方程为 0.783.3yx 当20 x=时，科技升级直接收益的预测值为 0.72083.369.3y 亿元10 分 当20 x=亿元时，实际收益的预测值为69.3 574.3 亿元72.93亿元，11 分 技术升级投入 20 亿元时，公司的实际收益更大12 分 19.解：（1）证明：是边长为的正三角形，为的中点， ， 2 分 同理，又，3 分 ， 4 分 又，平面，5 分 又平面， 平面 平面6
12、分 （2）解：由（1）得平面，因为 3PNNA ，即, 7 分 ， 9 分 11 分 2MAB CMAB3CM 3PM 6PC 222 CMPMPC CMPM ABPMMCM PAB CM PCM PCM PAB CM PAB 3 4 PN PA 3333 3 3 4888 PNMPAMPAB SSS 1 3 P CMNC PMNPMN VVSCM 13 33 3 388 三棱锥P CMN 的体积为 3 8 . 12 分 20解：（1） 2 22 131 1, 42 b aba 由题意有2 分 2,1ab解得 3 分 椭圆方程为. 1 4 2 2 y x 4 分 （2）)0 , 3(, 3 1
13、 Fc， 当直线斜率.1800 0，不合题意 时，显然AOBk 5 分 当时0k，设直线l：)3( xky 联立直线l与椭圆 )3( 1 4 2 2 xky y x 6 分 有04123841 2222 kxkxk ）（ 设 A),( 11 yx，),( 22 yxB， 2 2 21 2 2 21 41 412 , 41 38 k k xx k k xx 7 分 2 2 2121 2 2121 41 ) 333()3()3( k k xxxxkxkxkyy 8 分 1212 0,0.AOBOA OBx xy y为钝角，则 9 分 0 41 411 41 412 41 2 2 2 2 2 2 2
14、121 k k k k k k yyxx 10 分 . 11 44 11 44 , 0411 2 kk，且. 0k 11 分 综上，) 11 44 , 0()0 , 11 44 (的取值范围是k 12 分 21解：（1）当时3a， 3 ( )ln43f xxx x ，)(xf定义域为（0，+）1 分 22 2 2 ) 1)(34(43 4 31 )( x xx x xx xx xf ,注意到034x 2 分 .)(, 0)( 10单调递增时，当xfxfx .)(, 0)(1 单调递减时，当xfxfx ）递减区间为（）的单调递增区间为（, 1,1 , 0)(xf 3 分 ( )f x在 1x 时
15、取得极大值且极大值为 14f，无极小值4 分 （2）.1ln 1 1lnxxaxaxx x x a x a x 恒成立原不等式5 分 变形有) 1(12lnxaxxx ., 1 1 12ln , 1）恒成立在（即 a x xxx x 6 分 设) 1( 1 12ln )( x x xxx xh原问题等价于axh min )( 2 ) 1( 2ln )( x xx xh ，令2ln)(xxxg 7 分 则0 11 1)( x x x xg）单调递增在（ , 1)(xg . 04ln224ln4)4(, 03ln123ln3)3(gg 8 分 由零点存在定理有.ln2, 02ln)()4 , 3(
16、 000000 xxxxxgx即使存在 9 分 当.)(, 0)(, 0)(), 1 ( 0 单调递减时，xhxhxgxx 当.)(, 0)(, 0)(),( 0 单调递增时，xhxhxgxx 1 12ln )()( 0 000 0min x xxx xhxh ，利用 00 ln2xx 10 分 1 1 12)2( )( 0 0 000 min x x xxx xh 11 分 )5 , 4(1),4 , 3( 00 xx aZ，a的最大值为 4. 12 分 22解：（1）由 2 4 2 2 2 2 xt yt 消去t， 可得直线 l 的普通方程为20 xy；2 分 由cos2 tana得 2
17、cos2 sina，3 分 22 cos2sina， cosx，siny， 2 2(0)xay a4 分 由tan有意义可知cos0，cos0 x， 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2(0,0)xay xa5 分 （2）由( 4, 2)P ，直线l的参数方程为 2 4 2 2 2 2 xt yt （t 为参数） 将该方程代入曲线 C 的直角坐标方程 2 2(0,0)xay xa中， 得 2 2 2(4)8(4)0ta ta6 分 设 M，N 两点对应的参数分别为 1 t， 2 t， 则 12 2 2(4)tta，1 2 8(4)t ta 7 分 |,|,|PMMNPN成等比数列， 2 |PM
18、| |PN|=|MN|， 2 1212 | | |tttt，8 分 即 2 1 2121 2 4t tttt t， 21 2 21 5)(t ttt 2 8(4)40(4)aa，9 分 1a 10 分 23 解：（1） 原不等式等价于 4 4312 x xx 或 34 4312 x xx 或 3 4312 x xx ， 1 分 解得 13 2 x 或x或 11 2 x .4 分 不等式的解集为 13 2 x x 或 11 2 x . 5 分 （2）不等式 1 3 1 ( )20 3 a f x 恒成立，等价于 1 3 min 1 2 3 a f x （ ）， 6 分 即 1 3 min 1 43( ) 3 2 a xx . 7 分 43437xxxx ，当且仅当34x 时，等号成立. 8 分 1 3 1 9( ) 3 a ， 13 39 a 则312a ，解得1a ， 9 分 实数a的取值范围是(,1. 10 分