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2021届江西省上饶市六校高三下学期文科数学第一次联考试题(含答案)

1、 江西省上饶市六校 2021 届高三下学期 第一次联考(文)试题 考试时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 已 知 全 集U R, 若| 06AxxN, 2 |340Bxxx, 则 U AC B( ) A(0,4 B(0,1 C1 D1,2,3 2设复数 2021 1+i 2-i z,则 z 的虚部是( ) A 3 5 B 3 i 5 C 1 5 D 1 i 5 3已知 03 0.20.3

2、0.2,log0.3,log7abc ,则( ) Aabc Bacb Cbca Dcba 4如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星,其中这两个等边三角形的三边分别 对应平行,且各边都被交点三等分若往该图案内投掷一点,则该点落在图中空白处(非阴影 部分)的概率为( ) A 1 4 B 1 2 C 2 3 D 5 6 5若椭圆 22 : 1 5 xy C m 的一个焦点坐标为( 1,0),则实数 m 的值为( ) A9 B6 C4 D1 6秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法 如图所示的程序框图给

3、出了 利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入 n,x 的值分别为 4,3,则输出 v 的值为 ( ) A61 B183 C18 D9 7设 l,m 是两条不同的直线,是一个平面,以下命题正确的是( ) A若/ / ,/ /lm,则/ /lm B若/ / ,/ /lml,则/ /m C若,lml,则/ /m D若, / /llm,则m 8 在等差数列 n a中, 14 11,5aa 记 12 (1,2,) nn Ta aa n, 则数列 n T( ) A有最大项,有最小项 B有最大项,无最小项 C无最大项,有最小项 D无最大项,无最小项 9若实数 x,y 满足约束条件 210 |1|0 x

4、y xy ,则 22 69zxyx的最小值是( ) A2 B2 C4 D 1 2 10 在ABC中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且点 D 满足2,2CDDA BD, 若 1 cos 4 ABC,则2ca的最大值为( ) A 12 5 5 B 6 5 5 C5 D3 5 11已知 1 F、 2 F分别是双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左、右焦点,双曲线 C 的右支上一点 Q 满 足 1 |OQOF,直线 1 FQ与该双曲线的左支交于 P 点,且 P 恰好为线段 1 FQ上靠近 1 F的 三等分点,则双曲线 C 的渐近线方程为( ) A 1 2 yx B2y

5、x C2yx D 2 2 yx 12已知函数 22 ( )(31)(41)(1)(1) xx f xaaeaxex,若函数( )f x图像与 x 轴 有 4 个不同的交点,则实数 a 的取值范围为( ) A 1 2 , 3 3 B 1 2 , 2 3 C 1 11 2 , 3 22 3 D 11 2 0, 33 3 二二、填空题:本题共填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 已知命题 “存在xR, 使 2 20axx” 是假命题, 则实数 a 的取值范围是_ 14已知向量( 3,1),( 3, 3 3)ABAC ,则AB在AC方向上的射影为_ 15直三

6、棱柱 111 ABCABC内有一个体积为 V 的球,若ABC是两直角边长分别为 6,8 的直角三角形,侧棱 1 6AA ,则 V 的最大值为_ 16 若将函数( )cossincossin0,| 662 f xxx 的图像向右 平移 6 个单位得到( )g x图像,且( )g x图像过点 1 0, 2 ,若关于 x 的方程( )1g x 在 , 6 上恰有一个实数解,则的取值范围是_ 三、 解答题: 共三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考

7、生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分 17 (12 分)某研究部门为了研究气温变化与患流感人数多少之间的关系,在某地随机对 50 人进行了问卷调查得到如下列表: (附 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ) 高于 22.5 不高于 22.5 合计 患流感 20 25 不患流感 15 合计 50 (1)对上述22列联表进行填空,并判断是否有 99%的把握认为患流感与温度有关,说明 你的理由; (2)为了了解患流感与年龄的关系,已知某地患有流感的老年、中年、青年的人数分别为 108 人

8、,72 人,36 人按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行问卷调查,再从 6 人中随机抽 取 2 人进行调查结果对比,求这 2 人中至少一人是中年人的概率 2 P KK 0.10 0.05 0.025 0.01 K 2.701 3.841 5.024 6.635 18 (12 分)设数列 n a的前 n 项和为 n S,若满足 1 32(1) nn SSn ,且 1 2a (1)证明:数列1 n a 是等比数列; (2)判断数列 1 23n nn a a 的前 n 项和 n T与 1 2 的大小关系,并说明理由 19(12 分) 如图, 在三棱锥PABC中,2ABBCCA,3PAPC,2 2PB

9、 , O 为AC的中点 (1)证明:平面ABC 平面PBO; (2)求直线PA与平面ABC所成角的正弦值 20 (12 分)已知函数( )ln()f xxax aR (1)求函数( )f x的单调区间; (2)当1a 时,( )( )(2) x g xf xxe,记函数( )yg x在 1 ,1 4 上的最大值为 m, 证明:3m 21 (12 分)在平面直角坐标系xOy中,M 为直线3yx上的动点,过点 M 作抛物线 2 :2C xy的两条切线MA,MB,切点分别为 A,B,N 为AB的中点 (1)证明:MNx轴; (2)直线AB是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由 (

10、二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,则按所做的 第一题计分第一题计分 选修 44:坐标系与参数方程(10 分) 22在平面直角坐标系xOy中,曲线 1: 20Cxy,曲线 2 cos : 1sin x C y (为参 数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 1 C, 2 C的极坐标方程; (2)射线:0,0 2 l 分别交曲线 1 C, 2 C于 M,N 两点,求 | | ON OM 的最 大值 选修 45:不等式选讲(10 分) 23设函数( ) |31

11、| 1f xx,( ) |31|1| 2g xxx (1)求不等式( )2f xx的解集; (2)若存在 x 使不等式2 ( )( )|f xg xa x成立,求实数 a 的取值范围 【参考答案】 一一、单项选择题(本大题共单项选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分)分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A B C B D C B A B C 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分 )分 ) 13 1 , 8 143 15 32 3 16 4 10 , 3

12、3 三、解答题(三、解答题(17 题题 10 分,分,18-22 题,每题题,每题 12 分,共分,共 70 分解答应写出文字说明,证明过分解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤 )程或演算步骤 ) 17解: (1) 高于 22.5 不高于 22.5 合计 患流感 20 5 25 不患流感 10 15 25 合计 30 20 50 2 2 50(20 155 10) 8.3336.635 25 25 2030 k ,所以有 99%的把握认为患流感与气温有关 (2)按照分层抽样的方法随机抽取 6 人,老年、中年、青年分别抽取的人数为 3 人,2 人, 1 人,记 3 个老年人为 123 ,A

13、A A,2 个中年人为 12 ,B B,1 个青年人为 1 C, 抽取的全部结果为 121311121123 ,A AA AA BA BA CA A, 212221313231121121 ,A BA BA CA BA BA CB BB CB C 共 15 种至少 1 人是中年人包含的结果共 9 种 所以至少 1 人是中年人的概率为 93 155 p 18.解: (1)由题意 1 32(1) nn SSn 可得 1 32 ,(2) nn SSn n 两式相减, 得 1 32 nn aa ,2n , 由 21 34SS得 2 8a ,满足 21 32aa, 所以 1 32 nn aa 对于任意

14、n 为正整数都符合, 1 133 nn aa ,即 1 131 nn aa , 又 1 130a ,故数列1 n a 是以 3 为首项,3 为公比的等比数列; (2)由(1)可知13n n a ,即31 n n a , 故 11 1 232311 313131 31 nn nnnn nn a a , 22311 111111111 3 131313131312312 n nnn T . 19.解: (1)因为ABC为正三角形,所以ACBO; 因为PAPC,所以ACPO 又POBOO,,PO BO 平面BOP,所以AC 平面BOP 因为PB 平面BOP,所以ACPB,所以平面ABC 平面PBO.

15、 (2)过点 P 作BO的垂线,垂足为 H,连结AH 因为AC 平面BOP,AC 平面ABC,所以平面BOP 平面ABC, 又平面BOP平面ABCBO,PH 平面BOP,故PH 平面ABC 所以直线PA与平面ABC所成角为PAH. 在BOP中,2,3,2 2POBOPB, 由余弦定理得 2386 cos 4223 POB ,所以 10 sinsin 4 POHPOB 所以 105 sin2 42 PHPEPOH 又3PA,故 5 15 2 sin 63 PH PAH PA , 即直线PA与平面ABC所成角的正弦值为 15 6 . 20.解: (1)由函数( )lnf xxax的定义域是(0,)

16、,则 2 11 ( ) ax fxa xx 当0a 时,( )0fx恒成立, 故函数( )f x的单调递增区间为(0,),无单调递减区间 当0a 时,令( )0fx得 1 0 x a 时,令( )0fx得 1 x a , 故函数( )f x的单调递增区间为 1 0, a 单调递减区间为 1 , a ; (2)证明:当1a 时,( )( )(2)(2)ln xx g xf xxexexx, 则 11 ( )(1)1(1) xx g xxexe xx 当 1 1 4 x时,10 x ,令 1 ( ) x h xe x , 则 2 1 ( )0 x h xe x 所以( )h x在 1 ,1 4 上

17、单调增 因为 1 4 1 20 4 he ,(1)10he , 所以存在 0 1 ,1 4 x 使得 0 0h x,即 0 0 1 x e x ,即 00 lnxx 故当 0 1 , 4 xx 时,( )0h x ,此时( )0g x; 当 0,1 xx时,( )0h x ,此时( )0g x 即( )g x在 0 1 , 4 x 上单调递增,在 0,1 x上单调递减, 则 0 max00000000 00 12 ( )2ln212 x mg xg xxexxxxxx xx 令 2 ( )12G xx x , 1 ,1 2 x ,则 2 22 2 1 2 ( )20 x G x xx , 所以

18、( )G x在 1 ,1 4 x 上单调递增,则( )(1)3G xG ,所以3m 21.解: (1)设切点 2 1 1, 2 x A x , 2 2 2, 2 x B x ,yx , 切线MA的斜率为 1 x,切线 2 1 11 : 2 x MA yxxx, 设( ,3)M t t ,则有 2 1 11 3 2 x tx tx ,化简得 2 11 2360 xtxt, 同理可的 2 22 2260 xtxt. 1 x, 2 x是方程 2 2360 xtxt的两根, 12 2xxt, 12 26x xt, 12 2 NM xx xtx ,MNx轴 (2) 2 222 121212 111 3

19、442 N yxxxxx xtt , 2 ,3N t tt , 22 12 12 12 11 22 AB xx kxxt xx , 直线 2 :3()AB yttt xt ,即3(1)yt x, 直线AB过定点(1,3) 22、 (1)因为cosx,siny, 222 xy, 所以 1 C的极坐标方程为cossin20, 因为 2 C的普通方程为 22 (1)1xy, 即 22 20 xyy,对应极坐标方程为2sin (2)因为射线:0,0 2 l , 则 12 ,MN ,则 12 2 ,2sin sincos , 所以 2 1 |21 sin(sincos )sin 2 |242 ON OM

20、 , 又0 2 , 3 2, 444 , 所以当2 42 ,即 3 8 时, | | ON OM 取得最大值 21 2 . 23.解: (1)由( )2f xx得:|31| 12xx , 310 31 12 x xx 或 310 31 12 x xx , 解得: 1 2 3 x或 1 0 3 x 不等式( )2f xx的解集是0,2 (2)2 ( )( ) |31|1|f xg xxx, 当0 x 时显然成立,所以2 ( )( )|f xg xa x成立, 即 2 ( )( ) (0) | f xg x ax x , 令 2 ( )( ) ( )(0) | f xg x h xx x , 即 2 ( )( )|31|1|11 ( )314 | f xg xxx h x xxxx , 4a ,所以实数 a 的取值范围是 4,).